1、 高三理数试题共 4 页第 2 页曲周县第一中学 2015-2016 学年高三第二次摸底考试理科数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 A=（x，y）|y=3 x，B=（x，y）|y=2 x，则 AB=( )A0 B1 C （0，1） D（1，0）2已知复数 Z= 13i=( )A.2+i B.2-i C.-l-2i D.-1+2i3函数 f（x）=（x+1）|log 2x|1 的零点个数为A 1 B 2 C 3 D 44下列说法中，不正确的是( )A已知 ,abmR，命题“若 2amb，则 a3”是 “x2”的充
2、分不必要条件5现有四个函数： yxsin; cosyx; |cos|yx; 2xy的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A B C D6已知数列a n的 前 n 项和为 Sn，过点 P(n，S n)和 Q(n1，S n1 )(nN *)的直线的斜率为 3n2，则 a2a 4a 5a 9 的值等于A52 B40 C26 D207执行如图所示的程序框图，若输出的 k 值为 5，则输入的整数 p 的最大值为（） A7 B 15C31 D 638. 某几何体的三视图如图所示，若其正视图为等腰梯形，侧视图为正三角形，则该几何体的表面积为（ ）A 2 +
3、2 B 4 +2C 6 D 89若函数 f（x）=sin（ x ） （ 0）在区间（0， ）上单调递增，则 的取值范围是（）A （0， BC D （0 ，210已知椭圆 C： + =1（ab0）的离心率为 ，且与抛物线 y2=x 交于 A、B 两点，若OAB（O 为坐标原点）的面积为 2 ，则椭圆 C 的方程为（）A + =1 B +y2=1 C + =1 D + =111已知各项都是正数的等比数列a n中，存在两项 am，a n(m，nN *)使得4a 1，且 a7a 62a 5，则 的最小值是( )aman1m 4nA . B. C. D .32 43 23 3412已知 a、bR，当 x
4、0 时，不等式 ax+blnx 恒成立，则 a+b 的最小值为（）A 1 B 0 C D 1本卷包括必考题和选考题两部分，第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22-24 题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13若变量 x、y 满足条件 ，则 z=2xy 的最小值为 _14已知双曲线 C1： =1（a0，b0）与 C2： =1（a0，b0） ，给出下列四个结论：C1 与 C2 的焦距相等；C1 与 C2 的离心率相等；C1 与 C2 的渐近线相同；C1 的焦点到其渐近线的距离与 C2 的焦点到其渐近线的距离相等其中一定正确的结论是（填序号
5、）_15已知 D、E 分别是ABC 边 AB、AC 上的点，且 BD=2AD，AE=2EC，点 P 是线段DE上的任意一点，若 =x +y ，则 xy 的最大值为_16已知三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱垂直于底面，M、N 分别为棱 BB1，B 1C1 的中点，由M，N，A 三点确定的平面将该三棱柱分成体积不相等的两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤17如图，在 ABC 中， D 为 AB 边上一点， DA=DC，已知 4B， BC=1（）若 ABC 是锐角三角形，63C，求角 A 的大小； （）若 BCD 的面积为16，求边 AB 的
6、长 18 已知某种集成电路 E 由 3 个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为 12,，且每个电子元件能否正常工作相互独立若三个电子元件中至少有 2 个正常工作，则 E 能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路 E 所需费用为 100 元(I)求集成电路 E 需要维修的概率；(II)若某电子设备共由 2 个集成电路 E 组成，设 X 为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求 X 的分布列和期望19如图 1，已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 互相垂直，A=60 ，C=90 ，CD=CB=2，将 ABD 沿 BD 折起，得到三棱锥 ABCD，如
7、图 2（1）若二面角 ABDC 的余弦值为 ，求证：AC 平面 BCD；（2）当三棱锥 ABCD 的体积最大时，求直线 AD 与平面 ABC 所成角的正弦值20已知动点 P 到定点 F（1，0）的距离比到直线 x+2=0 的距离小 1（1）求动点 P 的轨迹 E 的方程；（2）若曲线 E 上存在 A、B 两点关于直线 l：2x+4y 9=0 对称，且线段 AB 的延长线与直线x+1=0 相交于点 C，求：（i）直线 AB 的方程；（ii）FAB 与FCB 的面积之比21已知函数 f（x）=xlnx x2（a R） （1）若 a=2，求曲线 y=f（x）在点处的切线方程；（2）若函数 g（x）=
8、f（x）x 有两个极值点 x1、x 2，求证： + 2ae请考生在 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修 4-1：几何证明选讲 】22如图，P 为圆外一点，PD 为圆的切线，切点为 D，AB 为圆的一条直径，过点 P 作AB 的垂线交圆于 C、E 两点（ C、D 两点在 AB 的同侧） ，垂足为 F，连接 AD 交 PE 于点G（1）证明：PC=PD；（2）若 AC=BD，求证：线段 AB 与 DE 互相平分【选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 】23 （已知曲线 C1 的参数方程是 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
9、，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程是 =4cos（1）求曲线 C1 与 C2 交点的极坐标；（2）A、B 两点分别在曲线 C1 与 C2 上，当|AB| 最大时，求 OAB 的面积（O 为坐标原点）【选修 4-5：不等式选讲】24设函数 f（x）=|2x+1|+|xa| （a R） （1）当 a=2 时，求不等式 f（ x）4；（2）当 a 时，若存在 x 使得 f（x）+x3 成立，求 a 的取值范围参考答案与试题解析数学一模试卷（理科 ）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 A=（x，y）|y=3
10、x，B=（x，y）|y=2 x，则 AB=（）A 0 B 1 C （0，1） D （1，0）考点： 交集及其运算 专题： 集合分析： 直接作出两个集合中函数的图象得答案解答： 解：作出函数 y=3x 与 y=2x 的图象如图，由图可知，AB= （0，1）故选：C点评： 本题考查了交集及其运算，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题2 （5 分）选：C点评： 本题考查复数的乘除运算和几何意义，属基础题3 （5 分）函数 f（x）=（x+1）|log 2x|1 的零点个数为（）A 1 B 2 C 3 D 4考点： 根的存在性 及根的个数判断 专题： 函数的性质及应用分析： 由 f（ x）=0 ，得
11、|log 2x|= ，然后在坐标系中分别作出函数 y=log2x，y= 的图象，利用图象观察函数零点的个数解答： 解：函数的定义域为x|x0 ，由 f（x）=0，得 log2x= ，在坐标系中分别作出函数 y=log2x，y= 的图象如图：由图象可知两个函数只有 2 个交点，函数 f（x）= （x+1）|log 2x|1 的零点个数为 2 个故选：B点评： 本题主要考查函数零点的个数判断，利用数形结合的思想是解决本题的关键4 （5 分）选 B5 （5 分）选：C6 （5 分 B C D （0，2考点： 正弦函数的单调性 专题： 三角函数的图像与性质分析： 由正弦函数的增区间求出三角函数 f（x
12、）=sin（x ） （0）的增区间，取k=0 得一个增区间为 ，由 求得 的取值范围解答： 解：由 x ，得 ，取 k=0，得 ，函数 f（x）=sin （x ） （ 0）在区间（0， ）上单调递增， ，即 又 0， 的取值范围是（0， 故选：A点评： 本题给出函数 y=Asin（x+）的一个单调区间，求 的取值范围，着重考查了正弦函数的单调性和三角函数的图象变换等知识，属于基础题10 （5 分）已知椭圆 C： + =1（ab0）的离心率为 ，且与抛物线 y2=x 交于A、B 两点，若OAB（O 为坐标原点）的面积为 2 ，则椭圆 C 的方程为（）A + =1 B +y2=1 C + =1 D
13、 + =1考点： 椭圆的标准方程 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 由已知得 ，由此能求出椭圆 C 的方程解答： 解：椭圆 C： + =1（ab0）与抛物线 y2=x 交于 A、B 两点，OAB（O 为坐标原点）的面积为 2 ，设 A（ x， ） ，B （x， ） ， ，解得 x=2，由已知得 ，解得 a=2 ，b=2，椭圆 C 的方程为 + =1故选：A点评： 本题考查椭圆方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质的合理运用11 （5 分）(54) . 故选 A16 3212 （5 分）已知 a、bR，当 x0 时，不等式 ax+blnx 恒成立，则 a+b 的最小值
14、为（）A 1 B 0 C D 1考点： 函数恒成立问题；基本不等式 专题： 计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用分析： 令 y=lnxaxb，求出导数，当 a0 时，y0，函数递增，无最值当 a0 时，求得单调区间，和极值及最值，进而得到 a+b 的不等式，再令 f（a）=a1lna，通过导数求出单调区间和极值、最值，进而得到 a+b 的最小值解答： 解：令 y=lnxaxb，则 y = （x0） ，当 a0 时，y0，函数递增，无最值当 a0 时，0x 时，y 0，函数递增；当 x 时，y 0，函数递减则 x= 处取得极大值，也为最大值，且为lna 1b当 x0 时，不等式 ax+bln
15、x 恒成立，即有lna1 b0，即 b1lna，a+ba1lna，令 f（a） =a1lna，f （a ）=1 = ，当 a1 时，f （a）0，f （a）递增；当 0a1 时，f（a ）0，f（a）递减则 a=1 处 f（a）取得极小值，也为最小值，且为 0即有 a+b0即有 a+b 的最小值为 0故选：B点评： 本题考查不等式的恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，运用导数判断单调性，求极值和最值是解题的关键，属于中档题本卷包括必考题和选考题两部分，第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22-24 题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分
16、13 （5 分）若变量 x、y 满足条件 ，则 z=2xy 的最小值为 2考点： 简单线性规划 专题： 不等式的解法及应用分析： 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，由最优解可得 z=2xy 的最小值解答： 解：由约束条件 作出可行域如图，化 z=2xy 为 y=2xz，由图可知，当直线 y=2xz 与 y=2x+2 重合时，直线 y=2xz 在 y 轴上的截距最大，z 有最小值，最小值为2故答案为：2点评： 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14 （5 分）已知双曲线 C1： =1（a0，b0）与 C2： =1（a0，b0）
17、，给出下列四个结论：C1 与 C2 的焦距相等；C1 与 C2 的离心率相等；C1 与 C2 的渐近线相同；C1 的焦点到其渐近线的距离与 C2 的焦点到其渐近线的距离相等其中一定正确的结论是（填序号） 考点： 双曲线的简单性质 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 对四个选项分别进行判断，即可得出结论解答： 解：C 1 与 C2 的 c 都等于 ，C 1 与 C2 的焦距相等；双曲线 C1 离心率为 ，双曲线 C2 离心率为 ，C 1 与 C2 的离心率不一定相等；双曲线 C1 与 C2 的渐近线都为 y= x，即 C1 与 C2 的渐近线相同；C1 的焦点（c，0）到其渐近线的
18、距离 =b，C 2 的焦点（0，c）到其渐近线的距离 =a，故 C1 的焦点到其渐近线的距离与 C2 的焦点到其渐近线的距离不一定相等故答案为：点评： 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础15 （5 分）已知 D、E 分别是 ABC 边 AB、AC 上的点，且 BD=2AD，AE=2EC，点 P 是线段 DE 上的任意一点，若 =x +y ，则 xy 的最大值为 考点： 平面向量的基本定理及其意义 专题： 平面向量及应用分析： BD=2AD，AE=2EC，点 P 是线段 DE 上的任意一点， =x +y ，可得 =3x+ ，利用向量共线定理可得 =1，再利用基本不等式的性质即可得出解答： 解：如图所示，BD=2AD，AE=2EC，点 P 是线段 DE 上的任意一点， =x +y ， =3x + ， =1，2x+y= x， y 0， ，当且仅当 y=2x= 时取等号则 xy 的最大值为 故答案为：
