1、 杭西高 2015 年 5 月高二数学试卷问卷出卷人：徐斌华 审卷人：钱敏剑一、选择题（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集 UR，集合 2,1,(1)20ABx，则 UACB=（ ） A 2,1 B , C , D ,1 2. 某几何体的正视图如左图所示，则该几何体的俯视图不可能的是（ ）3要得到函数 sin2yx的图象，只需将函数 cos(2)3yx的图象（ ）A向右平移 6个单位长度 B向左平移 6个单位长度C向右平移 12个单位长度 D向左平移 12个单位长度4.已知两条不同的直线 ,lm和两个不同的平面 ,，有如下命
2、题：若 ,/ll， 则 ；若 ,/l l， 则 ；若 ,/ll， 则 ，其中正确命题的个数是( )A.3 B.2 C.1 D.05若函数 ()(01)xfkaa且 在（ ， ）上既是奇函数又是增函数，则函数()logax的图象是 （ ）6已知直线 )(2sinco: Ryxl ，圆 0sin2co:2yxyxC)(R，则直线 l与圆 C的位置关系是（ ）A相交 B相切 C相离 D与 ,相关7已知函数 0,421)(xxf，若函数 )(axfy有四个零点，则实数 a的取值范围为（ ）A ), B )5,1 C )2,1 D )5,28如图，O： 62yx， 0,(A， ,(B为两个定点， l是O
3、 的一条切线，若过 A，B 两点的抛 物线以直线 l为准线，则该抛物线的焦点的轨迹是( )A圆 B双曲线C椭圆 D抛物线二、填空题（本大题共 7小题，第 9-12题每题 6分 ，第 13-15题每题 4分，共 36分）9已知等差数列 na的公差 0d，首项 1a，且 135,a依次成等比数列，则该数列的通项公式 na ，数列 2的前 6项和为 .10若实数 yx,满足不等式组 142yax，目标函数 yxz2.若 1a，则 z的最大值为 ；若 z存在最大值，则 a的取值范围为 11. M是抛物线 xy42上一点， F是焦点，且 4M过点 作准线 l的垂线，垂足为 K，则三角形MFK的面积为 该
4、抛物线的焦点与双曲线21xyab的一个焦点相同，且双曲线的离心率为 2，那么该双曲线21xyab的渐近线方程为_.12设函数3()9(13)2xf， ， ， ， ，则 3(log2)f=_ _；若 ()01ft， ，则实数 t的取值范围是_ _.13.已知 ABC的面积为 S，且 SACB2 求 cosA= 14设函数 12()logfx，给出下列四个命题： 函数 ()fx为偶函数；若 ()fafb 其中0,ab，则 ab；函数 2()fx在 1,上为单调增函数；若 01，则(1)()ff。则正确命题的序号是 .15若关于 x的不等式 2(1)xa 的解集中整数恰好有 3个，则实数 a的取值范
5、围是_ 三、解答题16(本小题满分 10分)已知 cos,in是关于 x的二次方程 0)13(2mxx， R的两个实数根，求：（I） m的值； （II） ta1ni的值 17(本小题满分 10分)已知函数 12|)(2xf （ a为实常数） （I）若 1a，求函 数 x的单调区间； （II）设 )(xf在区间 2,上的最小值为 )(g，求 )(的表达式18.（本小题 10分）如图，三棱柱 1ABC中，点 1A在平面 BC内的射影 D在线段 AC上，09ACB， 1,.（I）证明： 1；（II）设直线 A与平面 BC所成角为 06，求二 面角1的平面角的余弦值19 （本小题 10分）如图，椭圆
6、1C：21xyab（ 0a）和圆 2C： 2xyb，已知圆 2C将椭圆1C的长轴三等分，且24ac，椭圆 的下顶点为 E，过坐标原点 O且与坐标轴不重合的任意直线 l与圆 2相交于点 A、 B（ ）求椭圆 1的方程；（ ）若直线 E、 分别与椭圆 1C相交 于另一个交点为点 P、 M 求证：直线 经过一定点； 试问：是否存在以 (,0)m为圆心， 325为 半径的圆G，使得直线 和直线 AB都与圆 G相交？若 存在，请求出所有 m的值；若不存在，请说明理由xOEBAM P杭西高 2015 年 5 月高二数学试卷答卷 祝你考试愉快 一、选择题（每小题 3分，共 24分）二、填空题9. 3n ;
7、1008 10. 6 ; )10,( 11. 34 ; xy3 12. ; 13. 14. 15. 1649,25( 三、解答题（共 40分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）1623 cosincosincosin1-31 2mm） 由 韦 达 定 理 得 ：（-5分（2） 13sincosincotan1sico22 -5分171）当 时， 1|)(2xf.0,12x作图（如右所示）增区间 ， ,)2，减区间 1(,2， 0,4分（2）当 ,x时， .(2axf若 0a，则 1)x在区间 ,上是减函数，32()fg 5分若 0，则 142)()axa， )(xf图像的对称轴是直线
8、 ax21当 a0 时， f在区间 ,1上是减函数， 362ag,6分题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C C C C D C C当 120a，即 2时， )(xf在区间 2,1上时增函数，3)(fg 7分当 ，即 4时， 14)2()afag，8 分当 21a，即 0 1a时， xf在区间 ,1上是减函数， 36)2(afg9分综上可得 21,234,14,36)( aaag当当当10分18.（本小题 10分）如图，三棱柱 1ABC中，点 1A在平面 BC内的射影 D在线段 AC上，09ACB， 1,2.（I）证明： 1；（II）设直线 与平面 ABC所成角为 06，求二面角 1
9、的平面角的余弦值（I）证明：因为 1AD平面 BC， 1AD平面 1AC，所以二面角 为直二面角， ，所以 BC平面 1，-1 分所以 A，平行四边形 1中， 12C，所以 C为菱形，所以 A，-2 分所以 1A平面 1B，-4 分而 平面 ，所以 1C-5 分（II） （解法一）由于 1AD平面 BC，所以 1即为直线 与平面 所成的角，故 1AD06，-6 分作 DKB于 ，连结 1K，则 1，所以 K即为二面角 1ABC的平面角，-7 分1RtA中， 01sin63AtKD中， 1i5CB-8 分1t中， 111tanDAK，- -9 分所以 cos4A即二面角 1BC的平面角的余弦值为
10、 4- 10 分（解法二）由于 平面 ，所以 1AD即为直线 1A与平面 B所成的角，故 1AD06， C， 3-6 分在平面 B内，过点 作 的垂线 Dy，则 1,A两两垂直，建立空间直角坐标系如图，则 1,0A， 1,0， 1,A-7 分所以 2， 3，平面 1B的一个法向量为 3,21m-8 分平面 BC的一个法向量为 ,n-1cos,4mn-10 分即二面角 1A的平面角的余弦值为 14-10 分19 （本小题 10分）如图，椭圆 1C：2xyab（ 0a）和圆 2C： 2xyb，已知圆 2C将椭圆1C的长轴三等分，且2ac，椭圆 1的下顶点为 E，过坐标原点 O且与坐标轴不重合的任意
11、直线 l与圆 2相交于点 A、 B（ ）求椭圆 1的方程； （ ）若直线 A、 B分别 与椭圆 1相交于另一个交点为点 P、M 求证：直线 MP经过一定点； xOEBAM Py 试问：是否存在以 (,0)m为圆心， 325为 半径的圆 G，使得直线 PM和直线 AB都与圆 G相交？若存在，请求出所有 的值；若不存在，请说明理由（ ）依题意， 123ba，则 3b， ca，又224c， 1b，则 3a，椭圆方程为219xy3 分（）由题意知直线 ,PEM的斜率存在且不为 0，设直线 PE的斜率为 k，则 PE：1ykx，由 2,9y得28,91,kx或 ,xy2218(,)kP，5 分用 去代
12、，得22189(,)kM，方法 1：22291019Pkk， ： 8()yxk，即21405kyx，6 分直线 M经过定点 40,)5T7 分方法 2：作直线 l关于 y轴的对称直线 l，此时得到的点 P、 M关于 y轴对称，则 PM与P相交于 y轴，可知定点在 轴上，当 1k时， 9(,)P， 9(,)，此时直线 经过 y轴上的点 4(0,)5T，222415,809PTk222415,1809MTkk TMk， 、 、 三点共线，即直线 P经过点 T，综上所述，直线 经过定点 4(,)5由 21,ykx得2,1,ky或 0,xy21(,)kA，则直线 AB：2xk，设210kt，则 tR，
13、直线 PM：45ytx，直线 AB： 5ytx，假设存在圆心为 (,)m，半径为 32的圆 G，使得直线 PM和直线 都与圆 G相交，则22|53,14|,()5titi由（ i）得2185()25tm对 tR恒成立，则2185m，由（ i）得，218(0mtt对 tR恒成立，当25时，不合题意；当2185时，218()4()(052，得25，即，存在圆心为 (,0)m，半径为 325的圆 G，使得直线 PM和直线 AB都与圆 G相交，所有 m的取值集合为 2,5解法二：圆 218:()5Gxy，由上知 过定点 4(0,)5，故 2418()5m；又直线 AB过原点，故 20m，从而得 2(,)m10 分
