87全国高中数学联赛试题及解答.doc

1987年全国高中数学联赛试题一试题(10月11日上午800930)一选择题(每个小题选对得5分，不选得1分；选错或选出的代号超过一个者得0分本题满分20分)：1对任意给定的自然数n，若n6+3a为正整数的立方，其中a为正整数，则( ) A这样的a有无穷多个 B这样的a存在，但只有有限个 C这样的a不存在 D以上A、B、C的结论都不正确(上海供题) 2边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条不小于6，则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是( ) A10 B14 C5 D12(天津供题) 3在平面直角坐标系中纵横坐标均为有理数的点称为有理点，若a为无理数，则过(a，0)的所有直线中( ) A有无穷多条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点 B恰有n(2n+)条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点 C有且仅有一条直线至少通过两