1、2010 年高考福建数学试题（理科）第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题。每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1计算 的结果等于（ ）sin43co1s43in1A. B. C. D. 22322以抛物线 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )24yxA. B. C. D. x+=02+y=02x+y-=02x+y-=03设等差数列 的前 n 项和为 ,若 , ,则当 取最小值anS1a46anS时,n 等于A.6 B.7 C.8 D.94函数 ，的零点个数为 ( )2x+-3,0)=lnf（A.0 B.1 C.
2、2 D.35阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 值等于（ ）iA.2 B.3 C.4 D.56如图,若 是长方体 被平面 截去几何体1ABCD-EFGH后得到的几何体,其中 E 为线段 上异于 的点，F 为线段1EFGHB1B1上异于 的点，且 ，则下列结论中不正确的是（ ）H1A. B.四边形 是矩形 C. 是棱柱 D. 是F棱台7若点 O 和点 分别为双曲线 的中心和左焦点,(2,0)21(0)xya点 P 为双曲线右支上的任意一点,则 的取值范围为 ( )OPFA. B. C. D. 3-2)32,)7-,)47,48设不等式组 ，所表示的平面区域是 ,平面区域 与 关于直线
3、x1-y+0121对称,对于 中的任意点 A 与 中的任意点 B, 的最小值等于( )3490xy12|ABA. B.4 C. D.2285259对于复数 ,若集合 具有性质“对任意 ,必有 ”,则当,abcd,SabcdxyS时, 等于 ( )21.cb+A.1 B.-1 C.0 D. i10对于具有相同定义域 D 的函数 和 ,若存在函数 为常数), 对任给f(x)gh(x)=k+b(,的正数 m,存在相应的 ,使得当 且 时,总有 ,则称直0x0)(1组函数如下: , ; , ;来源:Zxxk.Com2()fx()gx()102xf3()xg , ; , .1flnf 1)xe其中, 曲
4、线 和 存在“分渐近线”的是( )y=f(x)g)A. B. C. D.二、填空题：11在等比数列 中,若公比 ,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通na4q项公式 .n12若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 .13某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概08率等于 .14已知函数 和 的图象的对称轴完全()3sin(-)06fx()2cos()1gx相同.若 ，则 的取值范围是 .0
5、,215已知定义域为 的函数 满足：（1）对任意 ，恒有0（ ， ） ()fx0x（ ， ）成立；（2）当 时， .给出如下结论：()(fxf（ ， 2()2f对任意 ，有 ；函数 的值域为 ；存在 ，使得mZ()mfx， ） nZ；“函数 在区间 上单调递减”的充要条件是 “存在 ，(1)9nfx(,)abk使得 ”.1,(2,)kab其中所有正确结论的序号是 .三、解答题：16 （本小题满分 13 分）设 是不等式 的解集，整数 .S260x,mnS（）记使得“ 成立的有序数组 ”为事件 A，试列举 A 包含的基本事件；mn()（）设 ，求 的分布列及其数学期望 .2E17 （本小题满分
6、13 分）已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A（2，3） ，且点 F（2，0）为其右焦点.（）求椭圆 C 的方程；（）是否存在平行于 OA 的直线 ，使得直线 与椭圆 C 有公共点，且直线 OA 与 的距ll l离等于 4？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.18 （本小题满分 13 分）如图，圆柱 内有一个三棱柱 ，三棱柱的底面为1O1ABC-圆柱底面的内接三角形，且 AB 是圆 O 直径.（）证明：平面 平面 ；11（）设 AB= ，在圆柱 内随机选取一点，记该点取自于三棱柱 内的概率为 .1ABC-p（i）当点 C 在圆周上运动时，求 的最大值；（ii）记平面 与平
7、面 所成的角为 ，当 取最大值时，求11BOC(09)p的值.cos19 （本小题满分 13 分）. ，O某 港 口 要 将 一 件 重 要 物 品 用 小 艇 送 到 一 艘 正 在 航 行 的 轮 船 上 在 小 艇 出 发 时轮船位于港口 O 北偏西 且与该港口相距 20 海里的 A 处，并以 30 海里/ 小时的航行速度30沿正东方向匀速行驶.假设该小船沿直线方向以 海里/小时的航行速度匀速行 驶，经过 tv小时与轮船相遇.（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度
8、的大小） ，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.20 （本小题满分 14 分）（）已知函数 ， .3()-fx其 图 象 记 为 曲 线 C（i）求函数 的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数 ，曲线 C 与其在点 处的切线交于另一点1x11(,)Pxf，曲线 C 与其在点 处的切线交于另一点 ，线段 与22(,)Pxf 2P33123,P曲线 所围成封闭图形的面积分别记为 则 为定值；12,S1（）对于一般的三次函数 请给出类似于（） （ii）的3()(0),gxabcxda正确命题，并予以证明.21本题设有（1） （2） （3）三个选考题，每题 7 分，请考生任选 2 题做答
9、，满分 14 分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑， 并将所选题号填入括号中 .（1） （本小题满分 7 分）选修 4-2：矩阵与变换已知矩阵 M= ， ，且 ，1ab20cNd20MN（）求实数 的值；（）求直线 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的, 3yx像的方程.（2） （本小题满分 7 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线 的参数方程为 （t 为参数）.在极坐标系（与l23,5xy直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，圆xC 的方程为 .25sin（）求
10、圆 C 的直角坐标方程；（）设圆 C 与直线 交于点 A、B，若点 P 的坐标为 ，求|PA|+|PB|.l (3,5)（3） （本小题满分 7 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 .()|fxa（）若不等式 的解集为 ，求实数 的值；3|15xa（）在（）的条件下，若 对一切实数 恒成立，求实数 m 的取值()fmx范围.福建理数参考答案一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 50 分1A 2D 3 A 4C 5C 6D 7B 8B 9B 10C二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 4 分，满分 20 分11 12 130.128 14 1514n623,2
11、三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想，满分 13 分解：（）由 得 ，即 20x23x|23Sx由于 且 ，所以 A 包含的基本事件为：,mnZSmn(2)(1),(,)17本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想满分 13 分解法一：（）依题意，可设椭圆 C 的方程为 ，21(0)xyab且可知左焦点为 (2,0)F从而有 解得,358,caA2,
12、4.ca又 ，所以 ，故椭圆 C 的方程为 22bc21b216xy解法二：（）依题意，可设椭圆 C 的方程为 ，且有：21(0)xyab2491,.ab解得 或 （舍去） 从而 所以椭圆 C 的方程为 21b2326216xy（）同解法一18本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想满分 13 分解法一：来源:Zxxk.Com（） 平面 ABC， ， 1ABCA平 面 1BCAB 是圆 O 的直径， 又 11,C平 面而 ，所以平面 1B平 面
13、 11平 面（） （i）设圆柱的底面半径为 r，则 故三棱柱 2,ABr的体积 1AC12VCC又 ，当且224,BAr22r仅当 时等号成立2ACBr从而， 而圆柱的体积 ，故 ，当且31V23Vrr 312Vrp仅当 ，即 时等号成立 所以， 的最大值等于 2rOCAB（ii）由（i）可知， 取最大值时， 于是，以 O 为坐标原点，建立空间p直角坐标系 （如图） ，xyz则 ， 是平面1(,0)(,)(0,2)CrBrr1BAC平 面 (,0)Br的一个法向量1A解法二：（）同解法一（） （i）设圆柱的底面半径为 ，则 ，故三棱柱 的体r12ABr1ABC积 12VACBrC设 ，(09)
14、则 ，coss,sin2irBAr由于 ，当且仅当 即224incACBrsin21时等号成立故 45 21V而圆柱的体积 故 ，23,rr 312Vrp当且仅当 即 时等号成立sin145所以， 的最大值等于 p（）同解法一解法三：（）同解法一（） （）设圆柱的底面半径为 ，则 ，故圆柱的体积r12ABr23VrrA因为 ，所以当 取得最大值时， 取得最大值.1p1Vp又因为点 在圆周上运动，所以当 时， 的面积最大，进而，三棱COCABC柱 的体积 最大，且其最大值为1AB1 312r故 的最大值为p（）同解法一19.本小题主要考察解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能
15、力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、树形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分 13 分.解法一：即，小艇以 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.30（）设小艇与轮船在 处相遇，则B224930cos(930)vtttA故 260t 3 24990t即 2,tt解 得又 时，23t0v此时，轮船航行时间 103,013tv即，小艇以 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.（）猜想 时，小艇能以最短时间与轮船在 处相遇，此时30vD30ADOt又 ，所以6OAD 20,3AOt解 得据此可设计航行方案如下航行方向为北偏东 ，航行速度的大小为 30 海里/小时，这样，小艇能以最短时间与轮船相遇.证明如下：如图，由（）得 OC= ,103,AC故 ,且对于线段 上任意点 P,OCA有 而小艇的最高航行速度只能达到 30 海里.P/小时，故小艇与轮船不可能在 A，C 之间（包含 C）的任意位置相遇.设 ,则在 中，(09)CODRtOD103103tan,.cosOD由于从出 发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为13tan13,0costtv和所以， t0,
