1、复数的乘法及其几何意义教案教学目标1掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则及其推导过程2掌握复数乘法的几何意义3让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法4培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力教学重点与难点重点：复数的三角形式是本节内容的出发点，复数的乘法运算难点：复数乘法运算的几何意义，不易为学生掌握教学过程设计师：前面我们学习了复数的代数形式的运算和复数的三角形式，请大家用5 分钟的时间，完成以下两道题的演算（利用投影仪出示）1（1-2i）（2+i）（4+3i）；（5 分钟后）师：第 1 题检查了复数乘法运算，答案是 25，第 2 题检查了复数的请同学们再考虑下面一个问题：如果把复数
2、z1，z 2分别写成z1=r1（cos 1+isin 1），z 2=r2（cos 2+isin 2）z1z2这乘法运算怎样进行呢？想出算法后，请大家在笔记本上演算，允许同学之间交换意见（教师在教室里巡视，稍过几分钟，请一位已经做完的同学在黑板上写出推导过程）学生板演：z1z2=r1（cos 1+isin 1）r 2（cos 2+isin 2）=（r 1cos 1+ir1sin 1）（r 2cos 2+ir2sin 2）=（r 1r2cos 1cos 2-r1r2sin 1sin 2）+i（r 1r2sin 1cos2+r 1r2cos 1sin 2）=r1r2（cos 1cos 2-sin 1
3、sin 2）+i（sin 1cos 2+cos 1sin 2=r1r2cos（ 1+ 2）+isin（ 1+ 2）师：很好，你是怎样想出来的？为什么这样想？生：我们已经学过复数的代数形式运算，因此把三角形式化为代数形式，按着代数形式的乘法运算法则就可以完成运算根据数学求简的原则，运用三角公式把结果化简在已知的基础上发展和探索未知的东西，解题时，把未知转化成已知，这是重要的思想方法我是根据这个思想才想出来的师：观察这个问题的已知和结论，同学们能发现有什么规律吗？生：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的复角等于各复数的辐角的和师：利用这个结论，请同学们计算：大家把计算过程写在笔记本上（教师请
4、一位同学在黑板上板演）教师提示：由于复数定义是形如 abi（a，bR）的数，如果辐角是特殊角或特殊角的终边相同角，要化成代数形式即师：同学们已经发现，复数的三角形式的乘法运算若用r1（cos 1+isin 1）r 2（cos 2+isin 2）=r 1r2cos（ 1+ 2）+isin（ 1+ 2）计算，简便得多这就是复数的三角形式乘法运算公式三角形式是由模和辐角两个量确定的，进行乘法运算时要清楚模怎样算？辐角怎样算？使用复数的三角形式进行运算的条件是复数必须是三角形式的标准式，辐角不要求一定是主值同学们已经了解，复数通过几何表示，把复数与复平面内的点或从原点出发的向量建立起一一对应后，复数不
5、仅取得了实际的解释，而且确实逐步展示了它的广泛应用我们已经研究了复数加、减法的几何意义，并感觉到了它的用途，请大家讨论一下，学习了复数的三角形式运算对复数乘法的几何意义有什么启发呢？（同学分组讨论，请小组代表发言如果条件允许，在学生发言同时，用多媒体辅助教学，演示模伸缩情况，辐角终边的旋转）生：复数的乘法对应的向量，就是由对应于被乘数所对应的向量按逆时针方向旋转一个角 2（ 20，如果 20，按顺时针方向旋转一个角| 2|，再把其模变为原来的 r2倍（r 21，应伸长；0r 21，应缩短；r 2=1，模长不变），所得的向量就表示积 z1z2这是复数乘法的几何意义图形演示（如图 87）： = 1
6、 2师：现在我们研究问题如图 88，向量 与复数-1+i 对应，把 按逆时针方向旋转 120，得到 求与向量 对应的复数请同学们想一想生：这是形数结合问题，给的题设情境是向量旋转，根据复数乘法的几何意义，将向量 逆时针方向旋转 120，得到 ，由于模未发生变化，应当是 对应复数乘以 1（cos120isin120）师：解此题复数是否一定化成三角形式？生：复数与从原点出发的向量建立了一一对应关系，无论是代数形式还是三角形式都表示同一个复数和向量，运算结果是一个数，因此不一定化成三角形式，应根据需要来选择师：说得好，请同学们写一下解题过程（找一名同学到黑板板演）解：所求的复数就是-1+i 乘以一个
7、复数 z0的积，这个复数 z0的模是 1，辐角的主值是 120所求的复数是：（-1+i）1（cos 120+isin 120）师：为了巩固刚讨论过的复数三角形式的乘法运算公式及复数乘法的几何意义，请同学们继续完成以下练习（使用投影仪，映出练习题）2已知复数 z0所对应的向量 0，通过作图，画出下列复数 z 所对应的向量 （教师在教室里巡视，请三位演算错误的同学板演）师：这三位同学计算和画图对不对？如果有错误，错在哪里？怎样改正？师：一人教训大家吸取，千万用复数三角形式的标准式进行复数三角形式的乘法运算哪位同学改正一下：师：板演第 1 题的两位同学都注意到，不能直接使用三角形式进行加、减法计算，
8、需化成代数形式才得以进行接下来看第 2 题的第（1）小题生丙：第（1）题画错了，应当把向量 0按逆时针方向旋转 60，可板演图只转 30师：为什么？生丙：乘数 sin30+icos 30不是复数三角形式的标准式，应化为 cos 60isin 60，这样才能应用复数乘法的几何意义来解题师：同学们应注意到旋转的角度是辐角来确定的，而辐角的大小又是由复数的三角形式的标准式来确定现在看第 2 题的第（2）小题，将 0逆时针旋转 120正确吗？为什么？其模是 1，说明模没有变化，只是把向量 0绕原点 O 按逆时针旋转120师：向量 画的正确吗？若不正确，应当怎么画？生戊：不正确，旋转 120后，取其反方
9、向的向量，模不变，得到 也可以先取 0的反方向的向量，再逆时针旋转 120师：回答得很好，现在我们研究一道几何图形习题的解法，请看题目：已知复平面内一个正方形的两个相邻顶点对应的复数分别为 1+2i，3-5i，求与另外两个顶点对应的复数为了利于表达，设正方形 ABCD，其中点 A 对应复数是 12i，点 B 对应复数是 3-5i，求点 C、D 对应的复数如图 811同学们开始讨论解法生 M：这道题可以转化为解析几何题，点 A 坐标为（1，2），点 B 坐标是（3，-5）本题应当有两解设边 AB 右侧的顶点是 C 和 D，左侧的顶点是 C和 D线段 AB 的长度是可求的而|AD|=|AB|，|B
10、D|=次方程组，解这个方程组可得两组解，点 D 坐标求出，对应的复数亦可以写出师：点 C 怎么求呢？生 N：先求出 BD 的中点，这个中点也是 AC 的中点，再通过中点坐标公式求得点 C 的坐标师：很好还有什么解法？就求出 D 点对应的复数师：点 C 怎么求呢？对应的复数师：生 Q 想到的解法更简单，求点 C 还有其他方法吗？复数师：生 H 的方法最简单请同学们在笔记本上用其中一种解法完成此题的演算（教师找一名同学到黑板板演）解：向量 对应的复数：（3-5i）-（1+2i）=2-7i向量 对应的复数：（2-7i）（cos 90isin 90）=（2-7i）i=72i向量 对应的复数：（1+2i
11、）+（7+2i）=8+4i=10-3i如图，设点 D对应复数为 ab i（a，bR），又设点 C对应复数为 cd i（c，dR），因此另外两点对应的复数为：10-3i 和 8+4i；或-4-7i 和 6注意：如果板演有错误，应请同学们发现和纠正经常发生的错误有：（1） =（3-5i）-（1+2i）这里不能用等号，应写作“向量 对应的复数是：（3-5i）-（1+2i）；（2）把向量 对应的复数 72i，错认为是点 D 对应的复数；（要讲清只有当向量的起点在原点处，向量所对应的复数才是向量终点所对应的复数）（3）只得出 10-3i 和 8+4i 一组解（建议学生自己动手画图，容易发现两组解）师：通过此题，我们可以体会到代数问题和几何问题互相转化的思想在分析问题与解决问题中的重要作用为了更好地领悟这一思想，请看：如图 812，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数计算1+2+3 的值
