1、二重积分的换元二重积分的换元主讲人：汪凤贞六、二重积分的换元（变换）计算二重积分时，由于某些几分区域的边界曲线比较复杂。仅仅将二重积分化为累次积分并不求出二重积分，就是定积分中的换元积分公式。在二重积分计算中也有相应的换元法则。定理 3 若 (x,y)在有界闭区域 R连续，函数组 x=x(u,v),y =y(x,y）将 uv坐标面上的区域 R一对一变换成 xy坐标面上的区域 R且 x=x( u,v），y=y（ u,v）在 R 上存在连续偏导数。（ u,v ） R,有 则 ：证 ： 因为 f(x,y)在 R 连续。所以可积。用任意分法 T将 R分成 n个小区域： R1,R2 ， ， Rn。 又由
2、于复合函数的连续性知 f(x,(u,v),y(u,v) )在 R 连续，所以可积 。设其面积为于是在 R上有对应的分法 T，将 R分成 n个小区域 R1,R , 设其面积为 则根据函数行列式的几何性质，又由已知得 于是积分和再根据隐函数组确定的反函数组存在定理 知函数组 x=x(u,v), y=y(u,v)在 R上存在有连续偏导数。反函数组 u=u(x,y)， v=v(x,y) 由连续知必一致连续。因此当分法 T的细度 |T| 0时，分法 T的细度 |T|也趋于 0。对（ *）式两边取极限 |T|-0时，有 |T|-0。故 有：例 求两条抛物线与两条直线 y= x， y= x 所围成的区域的面积。其中， 矩形域 ：y=x y=xy2=nxy2=mxxyoRuv0解：根据二重积分的性质知： 作变换： v=y/x则此函数组将做表面上变换成平面上的矩形域 ：； 根据定理 3：例 2 ： 证明
