1、25联赛导引(四) 直线 圆 圆锥曲线 平面向量一,基础知识导引, 直线与圆1,两点间的距离公式:设 ,则 ;12(,)()Pxy221211()()Pxy2,线段的定比分点坐标公式:设 ,点 分 的比为 ,则1xy,2P,2x2()3,直线方程的各种形式(1),点斜式: ; (2),斜截式: ; (3),两点式:00()ykykxb1122yx(4),截距式: ;(5),一般式: 不同为零);1,xab0(,ABCA(6)参数方程: 为参数, 为倾斜角, 表示点 与 之间的距离)0cos(inttyt,)xy0(,4,两直线的位置关系设 (或 ).则1122:,:0lAxBClAxByC11
2、22:,:lkblkxb(1), 且 (或 且 );221/0112(2), (或 ).11l2k5,两直线的到角公式与夹角公式:(1),到角公式: 到 的到角为 ,则 ,( );1l221tank008(2),夹角公式: 与 的夹角为 ,则 ,( ).1l2 21tk0096,点 到直线 的距离: .0(,)Pxy:0lAxByC02AxByCd7,圆的方程(1),标准方程: ,其中 为圆心坐标,R 为圆半径;22()()abR(,)ab(2),一般方程: ,其中 ,圆心为 ,0xyDEF240DEF()2DE半径为 .21426(3),参数方程: ,其中圆心为 ,半径为 R.cosinxa
3、Ryb()ab, 圆锥曲线椭圆 双曲线 抛物线定义 与两个定点的距离的和等于常数与两个定点的距离的差的绝对值等于常数与一个定点和一条定直线的距离相等标准方程21xyab(或 ),2 21xyab(或 )22ypx(或 )参数方程cosinxayb(或 )cosasectanxyb(或 )sec2xpty(或 )2tp焦点 或,0(, 或,0(,或,0(,正数 a,b,c,p 的关系22cab( )22cab( ),离心率 1ea1ea1e准线 (或 )2xc2yc(或 )2xc2yc(或 )px2y渐近线 (或 )byax焦半径10PFaex2(或 10ey)2PFa10PFe2x( ,10e
4、ya),2PF(点 在左或下支)02pPFx(或 )y统一定义 到定点的距离与到定直线的距离之比等于定值 的点的集合,(注:焦点要与对应准线配对使用)27二,解题思想与方法导引.1,函数与方程思想 2,数形结合思想. 3,分类讨论思想. 4,参数法. 5,整体处理三,习题导引, 选择题1,在平面直角坐标系中,方程 为相异正数),所表示的曲线是1(,2xyabaA,三角形 B,正方形 C,非正方形的长方形 D,非正方形的菱形2,平面上整点(坐标为整数的点 )到直线 的距离中的最小值是543yxA, B, C, D,3417034851201303,过抛物线 的焦点 F 作倾斜角为 的直线,若此直
5、线与抛物线交于 A,B2()yx6两点,弦 AB 的中垂线与 轴交于 P 点,则线段 PF 的长等于A, B, C, D,1638313834,若椭圆 上一点 P 到左焦点的距离等于它到右焦点距离的 2 倍,则 P 点坐标为210xyA, B, C, D,(3,5)(3,5)(3,15)(3,15)5,过椭圆 中心的弦 AB, 是右焦点,则 的最大面积为21xyab00FcAFBA, B, C, D,caa2b6,已知 P 为双曲线 上的任意一点, 为焦点,若 ,则21xyb1212P12FPSA, B, C, D,2cotbsinatanb()sinab, 填空题7,给定点 ,已知直线 与线
6、段 PQ(包括 P,Q 在内)有公共点,(,3)(2PQ20xy则 的取值范围是 .a8,过定点 作直线 交 轴于 Q 点,过 Q 点作 交 轴于 T 点,(,0)Fal TFx延长 TQ 至 P 点,使 ,则 P 点的轨迹方程是 .T9,已知椭圆 与直线 交于 M,N 两点,且 ,( 为21(0)xyab1xyOMN28原点),当椭圆的离心率 时,椭圆长轴长的取值范围是 .32e10,已知 是椭圆 的两个焦点,M 是椭圆上一点,M 到 轴的距离为12,F216xyy,且 是 和 的等比中项,则 的值等于 .MN12MFN11,已知点 A 为双曲线 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支
7、上, 是xy ABC等边三角形,则 的面积等于 .BC12,若椭圆 ( )和双曲线 有相同的焦点21mn021(0,)xyab1,F,P 为两条曲线的一个交点 ,则 的值为 .2F12PF, 解答题13,设椭圆 有一个内接 ,射线 OP 与 轴正向成 角,直线 AP,BP 的斜率216xyABx3适合条件 .0APBk(1),求证:过 A,B 的直线的斜率 是定值;k(2),求 面积的最大值.14,已知 为常数且 ),动点 P,Q 分别在射线 OA,OB 上使得(O2 POQ的面积恒为 36.设 的重心为 G,点 M 在射线 OG 上 ,且满足 .PQ32MG(1),求 的最小值;G(2),求
8、动点 M 的轨迹方程 .15,过抛物线 ( 为不等于 2 的素数) 的焦点 F,作与 轴不垂直的直线 交抛物线2ypxxl于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 MN 于 P 点,交 轴于 Q 点.(1),求 PQ 中点 R 的轨迹 L 的方程;(2),证明:L 上有无穷多个整点,但 L 上任意整点到原点的距离均不是整数.四,解题导引1,D 令 ,得 ,令 得 ,由此可见 ,曲线必过四个点: ,yxayxyb()a, , ,从结构特征看,方程表示的曲线是以这四点为顶点的四边形,易知()a(b)它是非正方形的菱形.2,B ,当 (可取 )时,0025125(3)1284xyxyd0532x
9、y01xy29(其中 为平面上任意整点 ).min3485d0,)xy3,A 此抛物线的焦点与原点重合 ,得直线 AB 的方程为 ,因此 A,B 两点的横坐标3yx满足方程: .由此求得弦 AB 中点的横坐标 ,纵坐标 ,进而238160x04043y求得其中垂线方程为 ,令 ,得 P 点的横坐标 ,44()33yxy16x即 PF= .1634,C 设 ,又椭圆的右准线为 ,而 ,且 ,0()Pxy9x12F12F得 ,又 ,得 ,代入椭圆方程得 .24F2093e005y5,A (1)当 轴时, ;ABx1(2)AFBSbc(2)当 AB 与 轴不垂直时 ,设 AB 的方程为 ,由 消去
10、得ykx21yabx.2kaby设 , ,则 , ,1()Ax2()By12kab22kaby.12 22()AFBScckcbkaba 21cbcak6,A 由 2221112osPFP21()PF12PF,得 , .(cos)12cosb12 212sinicotFSbb 7, 设线段 PQ 上任意一点 且令 ,则4,520(,)Mxy(01)tPQ0()23xt= , ,故 , ,t0(1)325yttt2352att5at30由 得 ,解得 .01t215a412a8, 设直线 的方程为 ,则 Q 点坐标为 ,直线 QT 的方程为24yaxl()ykx(0)ka,所以 T 点坐标为 ,
11、从而 P 点坐标为 ,设 P 的坐标为k202,则 ,消去 可得 P 点轨迹方程为 .()xy2ak24yax9, 由 ,可得 5,621xyb222()0abxb由 得 ,即 ,将 ,OMN120xy122()1212axb代入得 ,即 ,因为 ,得21abx2ab22a3ca,得 ,有 ,解得 .2321321()52610, 延长 NM 与椭圆 的右准线 : 相交于 D,设 ,则8516xyl8x()Mxy,因 ,得 , ,MDx,28ea21()2MFD121(8)Fx又 ,得 ,故 .212NF45x85N11, 设点 C 在 轴上方 ,由 是等边三角形得直线 AB 的斜率 ,又直线
12、3ABC3k过 点,故方程为 ,代入双曲线方程 ,得点 B 的坐标为(10)A3yx21xy,同理可得 C 的坐标为 ,所以 的面积为 .23(2,)ABC()312, 不妨设 P 为第一象限的一点,则 , ,.得ma12PFm12PFa, ,于是 .1PF2Fmaa13,:(1)证明:易知直线 OP 的方程为 ,将此方程代入 ,可求得交点3yx236xy31P(1, .由题意可设直线 PA,PB 的方程分别为 和 ,3) 3(1)ykx3(1)ykx分别与椭圆方程联立,可求得 A,B 的横坐标分别为 , .2AxB2从而 ,2 2(36)(36),ABkkyy所以 (定值).214BAxk(
13、2)不妨设直线 AB 的方程为 ,与椭圆方程联立 ,并消去 得 +3yxby263xb,有2(6)0b2222()()4()()4ABABABABAByx= 22461633bb点 P 到战线 AB 的距离 ,所以 =d22 24()43PABSb,当且仅当 ,即 时,22(1)b22(1)3b221b6.max3PABS14,解(1),以 O 为原点 , 的平分线为 轴建立直角坐标系,则可设ABx(cos,in)2Pa.于是 的重心 的坐标为(cos,in)2QbPQ()Gy,11(cos0cos3232Gxababiin)()iny=22222()(csi9GOx 2()cos9ab.14
14、cos9abab又已知 得 ,于是in36,2OPQS 72sin247cos9inOG,且当 时等号成立,故 .16cot4tiabmint32(2),设 ,则由 得, , = b)()Mxy32OG31()cos022Gxab3Gy1(2a,得 , ,代入 ,并整理得sin2cosinacosinyb7in,这就是所求动点 M 的轨迹方程.21(0)36ttaxyx15,解:(1)抛物线 的焦点为 ,设 的直线方程为 .2yp()2l()2pykx0由 得 ,设 M,N 的横坐标分别为2()xyk2 21()04kxpk 12,x则 ,得 , ,21px21Pxk2()Ppkpyk而 ,故
15、 PQ 的斜率为 ,PQ 的方程为 .PQlk21()x代入 得 .设动点 R 的坐标 ,则0y223ppxk()y,因此 ,21()2PQxkpy 2()4(0)xpyk故 PQ 中点 R 的轨迹 L 的方程为 .24()y(2),显然对任意非零整数 ,点 都是 L 上的整点,故 L 上有无穷多个整点.t(1,ptt反设 L 上有一个整点(x,y)到原点的距离为整数 m,不妨设 ,则0,xym,因为 是奇素数,于是 ,从 可推出 ,再由 可推出22()4xymipppy()ip()i,令 ,则有 ,111,y22114()xiyv由 , 得 ,于是 ,即()iv22114xm2211(8)7m,于是 , ,18(8)7xx118x33得 ,故 ,有 ,但 L 上的点满足 ,矛盾!1xm10y10py0y因此,L 上任意点到原点的距离不为整数.
