1、12010 年高考数学试题分类汇编立体几何（2010 浙江理数） （6）设 l， m是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是（A）若 l， ，则 （B ）若 l， lm/，则 （C）若 /， ，则 l/ （D ）若 /， ，则 l/解：选 B，可对选项进行逐个检查。（2010 全国卷 2 理数） （11）与正方体 1AC的三条棱 AB、 1C、 D所在直线的距离相等的点（A）有且只有 1 个 （B ）有且只有 2 个 （C）有且只有 3 个 （D ）有无数个解：直线 上取一点，分别作 垂直于 于则 分别作 ，垂足分别为 M，N，Q，连 PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PN PM
2、；PQ AB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，PM=PN=PQ，即 P 到三条棱 AB、CC 1、A 1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选 D.（2010 全国卷 2 理数） （9 ）已知正四棱锥 SABC中， 23S，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A）1 （B） 3 （C）2 （D）3解：设底面边长为 a，则高 所以体积 ，设 ，则 ，当 y 取最值时， ，解得 a=0 或 a=4 时，体积最大，此时 ，故选 C.（2010 辽宁文数） （11）已知 ,SABC是球 O表面上的点， SABC平 面 ， A，1SAB，2C，则球 O的表面积等于2（A）4 （B）
3、 3 （C ）2 （D ） 解：选 A.由已知，球 O的直径为 2RS， 表面积为 24.R（2010 辽宁理数）(12) (12)有四根长都为 2 的直铁条，若再选两根长都为 a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则 a 的取值范围是(A)（0, 62） (B)（1, ） (C) ( 62, ） (D) （0, 2）解：根据条件，四根长为 2 的直铁条与两根长为 a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）底面是边长为 2 的正三角形，三条侧棱长为 2，a，a ，如图，此时 a 可以取最大值，可知AD= 3，SD= 2a，则有 21a0;综上分析可知
4、a（0, 6）（2010 全国卷 2 文数） （11）与正方体 ABCDA1B1C1D1 的三条棱 AB、CC 1、A 1D1 所在直线的距离相等的点（A）有且只有 1 个 （B ）有且只有 2 个（C）有且只有 3 个 （D ）有无数个解：到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，三个圆柱面有无数个交点，（2010 全国卷 2 文数） （8 ）已知三棱锥 SAC中，底面 为边长等于 2 的等边三角形， SA垂直于底面 AB， S=3，那么直线 B与平面 所成角的正弦值为（A） 34 (B) 54(C) 74 (D) 34解：过 A 作 AE 垂直于 BC
5、交 BC 于 E，连结 SE，过 A 作 AF 垂直于 SE交 SE 于 F，连 BF，正三角形 ABC， E 为 BC 中点， BCAE ，SABC， BC面 SAE， BCAF， AF SE， AF面SBC，ABF 为直线 AB 与面 SBC 所成角，由正三角形边长 3， 3AE，AS=3， SE=23，AF= ， 3sin4ABF（2010 江西理数）10.过正方体 1CD的顶点 A 作直线 L，使 L 与棱 B, D, 1所成的角都相等，这样的直线 L 可以作A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条解：第一类：通过点 A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线 AC1，第二类：在图形
6、外部和每条棱的外角和另 2 条棱夹角相等，有 3 条，合计 4 条。 （2010 重庆文数） （9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点ABCSEF3BCDANMO（A）只有 1 个 （B ）恰有 3 个（C）恰有 4 个 （D ）有无穷多个解：放在正方体中研究,显然，线段 1O、EF 、FG、GH 、HE 的中点到两垂直异面直线 AB、CD 的距离都相等， 所以排除 A、B、 C，选 D亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线 AB、CD 的距离相等.（2010 北京文数） （8）如图，正方体 1-的棱长为 2，动点 E、F 在棱 1AB上。点 Q 是CD 的中点，动点 P 在棱 AD 上
7、，若 EF=1，DP=x， E=y(x,y 大于零) ，则三棱锥 P-EFQ 的体积：（A）与 x，y 都有关； （B ）与 x，y 都无关；（C）与 x 有关，与 y 无关； （D ）与 y 有关，与 x 无关；解：C.（2010 四川理数） （11）半径为 R的球 O的直径 A垂直于平面 ，垂足为 B， CD:是平面 内边长为 R的正三角形，线段 AC、 分别与球面交于点 M，N ，那么 M、N 两点间的球面距离是（A） 17arcos25 （B ） 18arcos25 （C） 3 （D ） 4解：由已知，AB2R,BCR ,故 tanBAC .cosBAC 5.连结 OM，则OAM 为等
8、腰三角形.AM2AOcosBAC 4R，同理 AN 45R，且 MNCD ,而 AC 5R,CDR.,故 MN： CD AN:AC MN 5，连结 OM、ON，有 OMONR.于是 cosMON2217OMN,所以 M、N 两点间的球面距离是 17arcos25 （2010 福建文数）3若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于A B2 C 23 D6解：由正视图知：三棱柱是以底面边长为 2，高为 1 的正三棱柱，所以底面积为 34，侧面积为 ，选 D（2010 全国卷 1 文数） （12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2,则四面体ABC
9、D 的体积的最大值为(A) 23 (B) 43 (C) 3 (D) 83解：过 CD 作平面 PCD，使 AB平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为 h,则有4ABCD12233Vh四 面 体 ,当直径通过 AB 与 CD 的中点时, 2max13h,故 max43V（2010 全国卷 1 文数） （9 ）正方体 ABCD- 1中， 1B与平面 1ACD所成角的余弦值为（A） 23 （B） 3 （C ） 23 （D） 63解：因为 BB1/DD1,所以 B 1与平面 AC 1所成角和 DD1 与平面 AC 1所成角相等,设 DO平面 AC1D，由等体积法得 1DACADV
10、,即 133ACACDSOS.设 DD1=a,则 1 221sin60()2ACSaa:, 2a:.所以 132DACO,记 DD1 与平面 AC 1所成角为 ,则 13sinDO,所以6cos3.解析二: 设上下底面的中心分别为 1,O； 1与平面 AC 1D所成角就是 B 1与平面 AC 1D所成角， 1136cos/2OD（2010 全国卷 1 文数）(6)直三棱柱 1ABC中，若 90BAC， 1AC，则异面直线 1BA与 C所成的角等于(A)30 (B)45 (C)60 (D)90解：延长 CA 到 D，使得 AC，则 1DA为平行四边形， 1DAB就是异面直线 1A与1A所成的角，
11、又三角形 1B为等边三角形， 06B（2010 山东理数）(3) 在空间，下列命题正确的是（A）平行直线的平行投影重合 （B ）平行于同一直线的两个平面平行（C）垂直于同一平面的两个平面平行 （D ）垂直于同一平面的两条直线平行解：由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案 D。二. 填空题（2010 上海文数）6. 已知四棱椎 的底面是边长为 6 的正方形，PABC5AB侧棱 底面 ，且 ，则该四棱椎的体积是_。PABCD8PA解：考查棱锥体积公式 .9631V（2010 浙江理数） （12）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是_ .3cm
12、解：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由所给公式计算得体积为 144. （2010 四川理数） （15）如图，二面角 的大小是 60，线段 . ， 与 所成的角lAll为 30.则 与平面 所成的角的正弦值是 .AB解：过点 A 作平面 的垂线，垂足为 C，在 内过 C 作 l 的垂线.垂足为 D.连结 AD，有三垂线定理可知 ADl ，故ADC 为二面角 的平面角，为 60又由已知，ABD30, 连结 CB，则ABC 为 与平面 所成的角.AB设 AD2，则 AC ，CD 1,AB 4,sinABC .30sin3D34C（2010 湖北理数）13.圆柱形容器内部盛有高度为 8cm 的水
13、，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示） ，则球的半径是 cm。解：设球半径为 r，则由 可得 ,解得 r=4.3V柱柱3322486rr（2010 福建理数）12若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示, 则其表面积等于_解：由正视图知：三棱柱是以底面边长为 2，高为 1的正三棱柱，所以底面积为 ,324侧面积为 ，所以其表面积为 。32166+2三.解答题（2010 上海文数）20.为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6 米铁丝，再用 S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面
14、半径 r取何值时， S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到 0.01 平方米）;(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为 0.3 米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）. 解：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为 l，则 l1.22r(0r0.6)，S3 (r0.4)20.48，所以当 r0.4 时，S 取得最大值约为 1.51 平方米；(2) 当 r0.3 时， l0.6，作三视图略CD6（2010 浙江理数） （20）如图， 在矩形 ABCD中，点 ,EF分别在线段 ,ABD上，243AEBFD.沿直线 EF将 V翻折成 ，使平面 EF平 面 . （）求二面角 A的余弦
15、值；（）点 ,MN分别在线段 ,BC上，若沿直线 MN将四边形CD向上翻折，使 与 重合，求线段 F的长。解：（）取线段 EF 的中点 H，连结 A，因为 E= F及 H 是EF 的中点，所以 AEF,又因为平面 平面 .如图建立空间直角坐标系 A-xyz则 （2，2， ） ，C（10，8 ，0） ，F（4，0，0） ，D（10，0 ，0）.故 A=（-2，2，2 ） ，FD=（6，0，0 ）.设 n=（x,y,z）为平面 的一个法向量，-2x+2y+2 z=0, 且 6x=0.取 2z，则 (,2)。又平面 BE的一个法向量 (0,1)m，故 3cos,nm:。所以二面角的余弦值为 3（）设
16、 ,FMx则 (4,0)，因为翻折后， C与 A重合，所以 CMA，故 2222(6)80=x（ ） （ ） ，得 14x，经检验，此时点 N在线段 B上，所以 14。方法二：（）取线段 EF的中点 H, A的中点 G,连结 ,AH。因为 AE= F及H是 EF的中点，所以 A,又因为平面 EF平面 B，所以 平面 B,又A平面 B,故 ，又因为 G、 是 、 的中点，易知 ，所以 G，于是 面 ，所以 H为二面角 ADC的平面角.在 RtA:中， =2， =2， G=23,所以 3cosAH.故二面角DFC的余弦值为 3。（）设 Mx,因为翻折后， C与 A重合，所以 CMA，而 2228(
17、6)x， 2222 HGH 2()7得 214x，经检验，此时点 N在线段 BC上，所以 214FM。（2010 全国卷 2 理数） （19）如图，直三棱柱 1AB中， AC， 1AB， D为 1的中点， E为 1AB上的一点， 13E（）证明： D为异面直线 B与 CD的公垂线；（）设异面直线 1与 的夹角为 45，求二面角 11ACB的大小解：（I）连接 A1B，记 A1B 与 AB1 的交点为 F. 因为面 AA1BB1 为正方形，故 A1BAB 1，且AF=FB1，又 AE=3EB1，所以 FE=EB1，又 D 为 BB1 的中点，故 DEBF，DEAB 1. 作 CGAB，G为垂足，
18、由 AC=BC 知，G 为 AB 中点.又由底面 ABC面 AA1B1B.连接 DG，则 DGAB 1，故 DEDG，由三垂线定理，得 DECD.所以 DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线 .（II）因为 DGAB 1，故CDG 为异面直线 AB1 与 CD 的夹角，CDG=45.设 AB=2，则 AB1= ，DG= ，CG= ，AC= .作 B1HA 1C1，H 为垂足，因为底面223A1B1C1面 AA1CC1，故 B1H面 AA1C1C.又作 HKAC 1，K 为垂足，连接 B1K，由三垂线定理，得B1KAC 1，因此B 1KH 为二面角 A1-AC1-B1 的平面角.可求得:
19、二面角113,tan4,711A的大小为 arctn14.（2010 陕西文数）18. 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形 PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2 ，E ，F 分别是 PB,PC 的中点 .()证明：EF 平面 PAD；() 求三棱锥 EABC 的体积 V.解: () 在PBC 中，E，F 分别是 PB，PC 的中点，EFBC.又 BCAD , EFAD , 又AD 平面 PAD,EF 平面 PAD,EF平面 PAD.()连接 AE,AC,EC,过 E 作 EGPA 交 AB 于点 G,则 BG平面 ABCD,且 EG= 12PA. 在PAB 中，AD
20、=AB,PAB,BP=2,AP= AB= 2,EG= .S ABC= 12ABBC= 2= ,V E-ABC= 13S ABCEG= 13 2 = 13.（2010 辽宁文数） （19）如图，棱柱 1AB的侧面 1B是菱形， 1BCA8（）证明：平面 1ABC平面 1；（）设 D是 上的点，且 /平面 1BCD，求 1:A的值.解：（）因为侧面 BCC1B1 是菱形，所以 又已知CABC11,且, 平面 A1BC1，又 平面 AB1C ，平面 CAB1平面A1BC1 .（）设 BC1 交 B1C 于点 E，连结 DE，则 DE 是平面 A1BC1 与平面 B1CD的交线，因为 A1B/平面 B
21、1CD，所以 A1B/DE.又 E 是 BC1 的中点，所以 D 为 A1C1 的中点. 即 A1D：DC 1=1.（2010 辽宁理数） （19）已知三棱锥 PABC 中，PA ABC，AB AC，PA=AC=AB，N 为 AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点.（）证明：CMSN；（）求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.证：设 PA=1，以 A 为原点，射线 AB，AC，AP 分别为 x，y，z 轴正向建立空间直角坐标系如图。则 P（0,0,1） ，C（0,1,0 ） ，B（2,0,0） ，M（1,0, 12） ，N（ ,0,0） ，S （1, 12,0）.（）
22、 (,),(,0)C,因为 102MSN，所以 CMSN .（） 10,设 a=（x，y，z）为平面 CMN 的一个法向量,则 ,2210.xyzx令 ， 得 a=(,-). 12cos,3aSN所以 SN 与片面 CMN 所成角为 45。 （2010 全国卷 2 文数） （19）如图，直三棱柱 ABC-A1B C 中，AC=BC， AA1=AB，D 为 BB1的中点，E 为 AB1上的一点， AE=3 EB1（1）证明：DE 为异面直线 AB 与 CD 的公垂线；（2）设异面直线 AB1与 CD 的夹角为 45,求二面角 A1-AC -B1的大小解：（1）要证明 DE 为 AB1 与 CD
23、的公垂线，即证明 DE 与它们都垂直，由 AE=3EB1，有 DE 与BA1 平行，由 A1ABB1 为正方形，可证得，证明 CD 与 DE 垂直，取 AB 中点 F。连结 DF、FC ，证明DE 与平面 CFD 垂直即可证明 DE 与 CD 垂直。（2）由条件将异面直线 AB1，CD 所成角找出即为 FDC，设出 AB 连长，求出所有能求出的边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得。9（2010 江西理数）20. 如图 BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD平面 BCD，AB平面 BCD， 23AB。(1) 求点 A 到平面 MBC 的距离；(2) 求
24、平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。解：（1）取 CD 中点 O，连 OB，OM，则 OBCD，OMCD.又平面 MCD平面 B,则 MO平面 BCD，所以MOAB ，A、 B、O、M 共面. 延长 AM、BO 相交于 E，则AEB 就是 AM 与平面 BCD 所成的角.OB=MO= 3，MOAB ，MO/ 面 ABC，M、O 到平面 ABC 的距离相等，作 OHBC 于 H，连 MH，则 MH BC，求得：OH=OCsin600= 2,MH= 15,利用体积相等得： 215AMBCAVd。（2）CE 是平面 AC与平面 BD的交线. 由（1）知，O 是 BE 的中点，则 BCE
25、D 是菱形.作 BFEC 于 F，连 AF，则 AFEC，AFB 就是二面角 A-EC-B 的平面角，设为 .因为BCE =120，所以BCF=60. sin603， tan2F， 5sin所求二面角的正弦值是5.解法二：取 CD 中点 O，连 OB，OM，则 OBCD，OMCD ，又平面 MCD平面 B,则MO平面 BCD.以 O 为原点，直线 OC、BO、OM 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图.OB=OM= 3，则各点坐标分别为 O（0，0，0） ，C（1，0，0） ，M（0，0， ） ，B（0，- ，0 ） ，A （0，- 3，2 ） ，（1）设 (,)nxyz是平面
26、MBC 的法向量，则 BC=(1,)，,3B，由 C得 3xy；由 nM得 0yz；取 (,1)(0,2)nBA，则距离 25Ad（2） ,3CM， (1,3).设平面 ACM 的法向量为 1,)nxyz，由 1nCA得 302xzy.解得 3xz，yz，取 1(3,)n.又平面 BCD 的法向量为 (0,)，则 11cos,5n.设所求二面角为 ，则 215si().（2010 北京文数） （17）如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平z yx M DCB OA z10面互相垂直。EF/AC，AB= 2,CE=EF=1（）求证：AF/平面 BDE； （）求证：CF 平面 BDF
27、;证：（）设 AC 于 BD 交于点 G。因为 EFAG,且 EF=1，AG= 12AG=1所以四边形 AGEF 为平行四边形, 所以 AFEG,因为 EG平面 BDE,AF平面 BDE, 所以 AF平面 BDE（）连接 FG。因为 EFCG,EF=CG=1,且 CE=1,所以平行四边形 CEFG 为菱形。所以 CFEG.因为四边形 ABCD 为正方形，所以 BDAC.又因为平面 ACEF平面 ABCD,且平面 ACEF平面ABCD=AC,所以 BD平面 ACEF.所以 CFBD.又 BDEG=G,所以 CF平面 BDE.（2010 北京理数） （16 如图，正方形 ABCD 和四边形 ACE
28、F 所在的平面互相垂直，CE AC,EF AC,AB= 2，CE=EF=1.（）求证：AF平面 BDE； （）求证：CF平面BDE；（）求二面角 A-BE-D 的大小。证：（I） 设 AC 与 BD 交与点 G。因为 EF/AG，且 EF=1，AG= 12AC=1.所以四边形 AGEF 为平行四边形.所以 AF/平面 EG，因为 EG平面 BDE，AF 平面 BDE，所以 AF/平面 BDE.（II）因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面相互垂直，且 CEAC,所以 CE 平面 ABCD.如图，以 C 为原点，建立空间直角坐标系 C- xyz.则 C（0，0，0） ，A （ 2， ，0） ，B（0， 2，0）. 所以2(,1)F，0,BE， (2,01)DE.所以 1C:, 0CF:所以 F, .所以 BDE.(III) 由（II）知， 2(,1)是平面 BDE 的一个法向量.设平面 ABE 的法向量 (,)nxyz,则0nBA:， E. 即 ,0()xyz:, 所以 0,x且 2,zy令 1,则 2z.所以 (,12).从而 3cos,2|nCF。 因为二面角 ABED为锐角，所以二面角ABED的大小为 6.（2010 四川理数） （18）已知正方体 ABCDA BCD的棱长为 1，点 M 是棱 AA的中点，点 O 是对角线
