1、第十二章 推理证明、算法初步、复数第 1 讲 归纳与类比一、选择题1观察下列事实：|x|y|1 的不同整数解(x，y)的个数为 4，|x|y|2 的不同整数解(x，y)的个数为 8，| x|y| 3 的不同整数解(x ，y)的个数为 12，则|x| |y|20 的不同整数解 (x，y)的个数为 ( )A76 B80 C86 D92解析 由|x| |y|1 的不同整数解的个数 为 4，|x| y|2 的不同整数解的个数为 8，|x|y| 3 的不同整数解的个数为 12，归纳推理得|x|y|n 的不同整数解的个数为 4n，故|x |y |20 的不同整数解的个数为 80.故选 B.答案 B2古希腊
2、人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图 1 中的 1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的 1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )A289 B1 024C1 225 D1 378解析 观察三角形数：1,3,6,10， 记该数列为a n，则a11，a 2a 12，a 3a 23， ana n1 n.a 1a 2a n(a 1a 2a n1 )(1 23n)a n123n ，观察正方形数：nn 121,4,9,16，记该数列为b n，则 bnn 2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式
3、，可知使得 n 都为正整数的只有 1 225.答案 C3下面几种推理过程是演绎推理的是( )A某校高三有 8 个班，1 班有 51 人，2 班有 53 人， 3 班有 52 人，由此推各班人数都超过 50 人B由三角形的性质，推测空间四面体的性质C平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D在数列 an中，a 11，a n ，由此归纳出 an的通项公式12(an 1 1an 1)解析 A、 D 是归纳推理，B 是类比推理；C 运用了“三段论”是演绎推理答案 C4观察(x 2)2x，(x 4)4x 3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函数
4、f(x)满足 f(x)f(x) ，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g(x)( )Af(x) Bf(x) Cg(x) Dg(x )解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当 f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故 g(x )g(x)答案 D5给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数，R 为实数集，C 为复数集)：“若 a，bR，则 ab0ab”类比推出“ a，c C ，则ac0a c”；“若 a，b，c ，dR，则复数 abic diac ，bd”类比推出“a，b，c， dQ ，则 ab cd ac ，bd” ；2 2“若 a，bR，则 ab0a b”类比推出“若 a，
5、bC ，则ab0 a b”；“若 xR ，则|x|11x 1”类比推出“若 zC，则| z|11z1” 其中类比结论正确的个数有( )A1 B2 C3 D4解析 类比结论正确的只有.答案 B6观察下列各式：5 53 125,5615 625,5778 125，则 52 011 的末四位数字为( )A3 125 B5 625 C0 625 D8 125解析 5 53 125,5615 625,5778 125,58390 625，591 953 125,5109 765 625，5n(nZ，且 n5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为 4，记5n(nZ，且 n5)的末四位数字为 f(n)，
6、则 f(2 011)f(50147)f (7)52 011与 57的末四位数字相同，均为 8 125.故选 D.答案 D二、填空题7以下是对命题“若两个正实数 a1，a 2 满足 a a 1，则 a1a 2 ”的证21 2 2明过程：证明：构造函数 f(x)(xa 1)2(xa 2)22x 22(a 1a 2)x1，因为对一切实数 x，恒有 f(x)0，所以 0，从而得 4(a1a 2)280，所以 a1a 2 .2根据上述证明方法，若 n 个正实数满足 a a a 1 时，你能得到的21 2 2n结论为_(不必证明)解析 依题意，构造函数 f(x)(x a 1)2(xa 2)2 (x a n
7、)2，则有 f(x)nx 22(a 1a 2a n)x1， 2(a 1a 2a n)24n4( a1a 2a n)24n0，即有 a1a 2a n .n答案 a 1a 2a n n8对一个边长为 1 的正方形进行如下操作；第一步，将它分割成 33 方格，接着用中心和四个角的 5 个小正方形，构成如图 1 所示的几何图形，其面积S1 ；第二步，将图 1 的 5 个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相59同的操作，得到图 2；依此类推，到第 n 步，所得图形的面积 Sn n.若将(59)以上操作类比推广到棱长为 1 的正方体中，则到第 n 步，所得几何体的体积Vn_.解析 对一个棱长为 1 的
8、正方体进行如下操作：第一步，将它分割成 333个小正方体，接着用中心和 8 个角的 9 个小正方体，构成新 1 几何体，其体 积V1 ；第二步，将新 1 几何体的 9 个小正方体中的每个小正方体都进行与927 13第一步相同的操作，得到新 2 几何体，其体 积 V2 2；，依此类推，到第 n(13)步，所得新 n 几何体的体积 Vn n.(13)答案 n(13)9设 N2 n(nN *，n2)，将 N 个数 x1，x 2，x N依次放入编号为1,2，N 的 N 个位置，得到排列 P0x 1x2xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前 和后 个位置，得到排列N2
9、 N2P1x 1x3xN1 x2x4xN，将此操作称为 C 变换将 P1 分成两段，每段 个数，N2并对每段作 C 变换，得到 P2；当 2in2 时，将 Pi分成 2i段，每段 个N2i数，并对每段作 C 变换，得到 Pi1 .例如，当 N8 时，P 2x 1x5x3x7x2x6x4x8，此时 x7 位于 P2 中的第 4 个位置(1)当 N16 时，x 7 位于 P2 中的第_个位置；(2)当 N2 n(n8)时，x 173 位于 P4 中的第_ 个位置解析 (1)当 N16 时， P1x 1x3x5x7x9x16，此时 x7在第一段内，再把 这段变换 x7位于偶数位的第 2 个位置，故在
10、 P2中，x 7位于后半段的第 2 个位置，即在 P2中 x7位于第 6 个位置(2)在 P1中，x 173位于两段中第一段的第 87 个位置，位于奇数位置上，此时在P2中 x173位于四段中第一段的第 44 个位置上，再作变换得 P3时， x173位于八段中第二段的第 22 个位置上，再作变换时， x173位于十六段中的第四段的第11 个位置上，也就是位于 P4中的第(32 n4 11)个位置上答案 6 32 n4 1110用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第 100 个图形中有白色地砖_块；现将一粒豆子随机撒在第100 个图中，则豆子落在白色地砖上的概
11、率是_解析 按拼图的规律，第 1 个图有白色地砖 331(块)，第 2 个图有白色地砖 352( 块) ，第 3 个图有白色地砖 373(块)，则第 100 个图中有白色地砖 3201100503(块)第 100 个图中黑白地砖共有 603 块，则将一粒豆子随机撒在第 100 个图中，豆子落在白色地砖上的概率是 .503603答案 503 503603三、解答题11给出下面的数表序列：表 1 表 2 表 31 1 3 1 3 54 4 812其中表 n(n1,2,3，) 有 n 行，第 1 行的 n 个数是 1,3,5，2n1，从第 2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和写出表 4，验证
12、表 4 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表 n(n3)(不要求证明) 解 表 4 为 1 3 5 74 8 1212 2032它的第 1,2,3,4 行中的数的平均数分别是 4,8,16,32，它们构成首项为 4，公比为 2 的等比数列将这一结论推广到表 n(n3)，即表 n(n3) 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n，公比为 2 的等比数列12观察下表：1，2,34,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15，问：(1)此表第 n 行的最后一个数是多少？(2)此表第 n 行的各个数之和是多少？(3)2 013 是第几行的第几个数？解 (
13、1)第 n1 行的第 1 个数是 2n，第 n 行的最后一个数是 2n1.(2)2n1 (2 n1 1)(2 n 12)(2 n1) 32 2n3 2 n2 .2n 1 2n 12n 12(3)2 101 024,2 112 048,1 0242 0132 048，2 013 在第 11 行，该行第 1 个数是 2101 024，由 2 0131 0241990，知 2 013 是第 11 行的第 990 个数13将各项均为正数的数列a n中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成数表，如图所示记表中各行的第一个数 a1，a 2，a 4，a 7，构成数列b n，各行的最后一个数 a1，a 3，
14、a 6，a 10，构成数列c n，第 n 行所有数的和为 Sn(n1,2,3,4，) 已知数列b n是公差为 d 的等差数列，从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序每一个数与它前面一个数的比是常数 q，且 a1a 131，a 31 .53(1)求数列c n，S n的通项公式；(2)求数列c n的前 n 项和 Tn的表达式解 (1)b ndn d1，前 n 行共有 123n 个数，因为 13nn 123，所以 a13b 5q2，452即(4d 1)q2 1，又因为 31 3，所以 a31b 8q2，782即(7d 1)q2 ，解得 d2，q ，53 13所以 bn2n1，c nb n n1
15、，(13) 2n 13n 1Sn (2n1) .2n 1(1 13n)1 13 32 3n 13n(2)Tn ， 11 33 532 2n 13n 1Tn . 13 13 332 533 2n 13n两式相减，得Tn12 23 (13 132 13n 1) 2n 13n12 2 ，13 13n1 13 2n 13n 2n 23n所以 Tn3 . n 13n 114某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin 213cos 217sin 13cos 17；sin 215cos 215sin 15cos 15；sin 218cos 212sin 18cos 12；sin
16、2(18)cos 248sin(18)cos 48；sin 2(25)cos 255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解 (1)选择 式，计算如下：sin215cos 215sin 15cos 151 sin 301 .12 14 34(2)三角恒等式为 sin2cos 2(30)sin cos(30 ) .34证明如下：sin2cos 2(30 )sin cos(30)sin 2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin ) sin2 cos2 sin cos 34 32 sin2 sin cos sin2 sin2 cos2 .14 32 12 34 34 34
