1、第 1 页（共 16 页）2016-2017 学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一.选择题（每小题 4 分，共 32 分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1 （4 分）已知集合 U=1，2，3，4，5，6，M=1，5，P=2，4，则下列结论正确的是（ ）A1 U（MP ） B2 U（M P ） C3 U（MP） D6 U（MP）2 （4 分）下列函数在区间（，0）上是增函数的是（ ）Af （x）=x 24x Bg（x） =3x+1Ch （x ）=3 x Dt （x）=tanx3 （4 分）已知向量 =（ 1，3 ） ， =（3，t） ，若 ，则实数 t 的值为（ ）A 9
2、 B1 C1 D94 （4 分）下列函数中，对于任意的 xR，满足条件 f（x ）+f（x）=0 的函数是（ ）Af （x）=x Bf（x）=sinx Cf（x）=cosx Df （x）=log 2（x 2+1）5 （4 分）代数式 sin（ + ）+cos（ ）的值为（ ）A 1 B0 C1 D6 （4 分）在边长为 1 的正方形 ABCD 中，向量 = ， = ，则向量 ，的夹角为（ ）A B C D7 （4 分）如果函数 f（x）=3sin（2x+）的图象关于点（ ，0）成中心对称（| ） ，那么函数 f（x）图象的一条对称轴是（ ）Ax= Bx= Cx= Dx=8 （4 分）已知函数
3、f（x）= 其中 MP=R，则下列结论中一定正确第 2 页（共 16 页）的是（ ）A函数 f（x）一定存在最大值 B函数 f（x）一定存在最小值C函数 f（x）一定不存在最大值 D函数 f（x）一定不存在最小值二.填空题（本大题 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）9 （4 分）函数 y= 的定义域为 10 （4 分）已知 a=40.5，b=0.5 4，c=log 0.54，则 a，b，c 从小到大的排列为 11 （4 分）已知角 终边上有一点 P（x，1） ，且 cos= ，则 tan= 12 （4 分）已知ABC 中，点 A（ 2，0 ） ，B （2，0） ，C（x，1）（i）若 A
4、CB 是直角，则 x= （ii）若ABC 是锐角三角形，则 x 的取值范围是 13 （4 分）燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度 v 与耗氧量 x 之间满足函数关系 v=alog2 若两岁燕子耗氧量达到40 个单位时，其飞行速度为 v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为 25m/s 时，耗氧量达到 单位14 （4 分）已知函数 f（ x）=|ax 1|（a 1）x（1）当 a= 时，满足不等式 f（x）1 的 x 的取值范围为 ；（2）若函数 f（x）的图象与 x 轴没有交点，则实数 a 的取值范围为 三.解答题（本大题共 4 小题，共 44 分）15 （12
5、分）已知函数 f（ x）=x 2+bx+c，其对称轴为 y 轴（其中 b，c 为常数）（）求实数 b 的值；（）记函数 g（x）=f（ x）2，若函数 g（x ）有两个不同的零点，求实数 c 的取值范围；（）求证：不等式 f（c 2+1）f（c ）对任意 cR 成立16 （12 分）已知如表为“五点法”绘制函数 f（x）=Asin（x+ ）图象时的五个第 3 页（共 16 页）关键点的坐标（其中 A0， 0，|）x f（x） 0 2 0 2 0（）请写出函数 f（x）的最小正周期和解析式；（）求函数 f（x）的单调递减区间；（）求函数 f（x）在区间 0， 上的取值范围17 （10 分）如图，
6、在平面直角坐标系中，点 A（ ，0） ，B（ ，0） ，锐角 的终边与单位圆 O 交于点 P（）用 的三角函数表示点 P 的坐标；（）当 = 时，求 的值；（）在 x 轴上是否存在定点 M，使得| |= | |恒成立？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由18 （10 分）已知函数 f（ x）的定义域为 R，若存在常数 T0，使得 f（x）=Tf（x+T）对任意的 xR 成立，则称函数 f（x）是 函数（）判断函数 f（x）=x，g（x）=sinx 是否是 函数；（只需写出结论）（）说明：请在（i） 、 （ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分（i）求证：若函数 f
7、（x）是 函数，且 f（x ）是偶函数，则 f（x）是周期函数；（ii）求证：若函数 f（x）是 函数，且 f（x）是奇函数，则 f（x）是周期函数；第 4 页（共 16 页）（）求证：当 a1 时，函数 f（x ）=a x 一定是 函数选做题（本题满分 10 分）19 （10 分）记所有非零向量构成的集合为 V，对于 ， V， ，定义 V（， ）=|xV|x =x |（1）请你任意写出两个平面向量 ， ，并写出集合 V（ ， ）中的三个元素；（2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合 V（ ， ）中元素的关系，并试着给出证明；（3）若 V（ ， ）=V （ ， ） ，其中 ，求证：一定
8、存在实数 1， 2，且1+2=1，使得 =1 +2 第 5 页（共 16 页）2016-2017 学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题 4 分，共 32 分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1 （4 分）已知集合 U=1，2，3，4，5，6，M=1，5，P=2，4，则下列结论正确的是（ ）A1 U（MP ） B2 U（M P ） C3 U（MP） D6 U（MP）【解答】解：由已知得到 MP= 1，5，2，4；所以 U（M P）=3，6；故A、B 、D 错误；故选：C2 （4 分）下列函数在区间（，0）上是增函数的是（ ）Af （x）=x
9、 24x Bg（x） =3x+1Ch （x ）=3 x Dt （x）=tanx【解答】解：对于 A，f（ x）=x 24x=（x2） 24，在（，0）上是单调减函数，不满足题意；对于 B，g（x）=3x +1 在（ ，0）上是单调增函数，满足题意；对于 C，h（x）=3 x= 是（，0）上的单调减函数，不满足题意；对于 D，t（x）=tanx 在区间（ ，0）上是周期函数，不是单调函数，不满足题意故选：B3 （4 分）已知向量 =（ 1，3 ） ， =（3，t） ，若 ，则实数 t 的值为（ ）A 9 B1 C1 D9【解答】解：向量 =（1， 3） ， =（3，t） ，若 ，第 6 页（共
10、16 页）可得 t=9故选：D4 （4 分）下列函数中，对于任意的 xR，满足条件 f（x ）+f（x）=0 的函数是（ ）Af （x）=x Bf（x）=sinx Cf（x）=cosx Df （x）=log 2（x 2+1）【解答】解：对于任意的 xR，满足条件 f（x ）+f（x）=0 的函数是奇函数A，非奇非偶函数；B 奇函数，C，D 是偶函数，故选 B5 （4 分）代数式 sin（ + ）+cos（ ）的值为（ ）A 1 B0 C1 D【解答】解：sin（ + ）+cos （ ）= 故选：C6 （4 分）在边长为 1 的正方形 ABCD 中，向量 = ， = ，则向量 ，的夹角为（ ）A
11、 B C D【解答】解：设向量 ， 的夹角为 ，以 A 为坐标原点，以 AB 为 x 轴，以 AD 为 x 轴，建立直角坐标系，A（0，0 ） ， B（1.0） ，C（1，1） ，D（0，1） ，向量 = ， = ，E （ ，1） ，F（1， ） ， =（ ， 1） ， =（1 ， ） ，| |= ， = ， = + = ，第 7 页（共 16 页）cos= = = ，= ，故选：B7 （4 分）如果函数 f（x）=3sin（2x+）的图象关于点（ ，0）成中心对称（| ） ，那么函数 f（x）图象的一条对称轴是（ ）Ax= Bx= Cx= Dx=【解答】解：函数 f（x ）=3sin（2x+
12、）的图象关于点（ ，0 ）成中心对称，2 +=k，kZ，解得：=k ，kZ，| ，= ，可得：f（x）=3sin（2x+ ） ，令 2x+ =k+ ，k Z，可得：x= + ，kZ，当 k=0 时，可得函数的对称轴为 x= 故选：B第 8 页（共 16 页）8 （4 分）已知函数 f（x）= 其中 MP=R，则下列结论中一定正确的是（ ）A函数 f（x）一定存在最大值 B函数 f（x）一定存在最小值C函数 f（x）一定不存在最大值 D函数 f（x）一定不存在最小值【解答】解：由函数 y=2x 的值域为（0，+） ，y=x2 的值域为0 ，+） ，且 M P=R，若 M=（0，+） ，P=（，0
13、，则 f（x）的最小值为 0，故 D 错；若 M=（，2） ，P=2 ，+） ，则 f（x）无最小值为，故 B 错；由 M P=R，可得图象无限上升，则 f（x）无最大值故选：C二.填空题（本大题 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）9 （4 分）函数 y= 的定义域为 2，+） 【解答】解：由 2x40，得 2x4，则 x2函数 y= 的定义域为 2，+） 故答案为：2，+） 10 （4 分）已知 a=40.5，b=0.5 4，c=log 0.54，则 a，b，c 从小到大的排列为 cb a 【解答】解：a=4 0.54 0=1，0b=0.5 40.5 0=1，c=log0.54log
14、0.51=0，a ，b ，c 从小到大的排列为 cba第 9 页（共 16 页）故答案为：cba11 （4 分）已知角 终边上有一点 P（x，1） ，且 cos= ，则 tan= 【解答】解：角 终边上有一点 P（x，1） ，且cos= = ，x= ，tan= = ，故答案为： 12 （4 分）已知ABC 中，点 A（ 2，0 ） ，B （2，0） ，C（x，1）（i）若 ACB 是直角，则 x= （ii）若ABC 是锐角三角形，则 x 的取值范围是 （2， ）（2，+） 【解答】解：（i）ABC 中，点 A（ 2，0） ，B（2，0） ，C（x，1） ， =（ 2x，1） ， =（2 x，
15、1） ，ACB 是直角， =（ 2x） （2x）+（ 1） （1）=x 23=0，解得 x= （ii）ABC 中，点 A（2，0） ，B（2，0） ，C （x，1） ， =（ 2x，1） ， =（2 x， 1） ， =（x+2，1） ， =（4，0） ， =（x2，1） ，=（ 4，0） ，ABC 是锐角三角形， ，解得2x 或 x2x 的取值范围是（2， ）（2，+） 第 10 页（共 16 页）故答案为： ， （2， ）（2，+） 13 （4 分）燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度 v 与耗氧量 x 之间满足函数关系 v=alog2 若两岁燕子耗氧量达到4
16、0 个单位时，其飞行速度为 v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为 25m/s 时，耗氧量达到 320 单位【解答】解：由题意，令 x=40，v=10 10=alog24；所以 a=5；v=25 m/s，25=5 log ，得到 x=320 单位故答案为：32014 （4 分）已知函数 f（ x）=|ax 1|（a 1）x（1）当 a= 时，满足不等式 f（x）1 的 x 的取值范围为 （2，+） ；（2）若函数 f（x）的图象与 x 轴没有交点，则实数 a 的取值范围为 ，1） 【解答】解：（1）a= 时，f （x）=| x1|+ x= ，f（ x）1， ，解得 x2，故 x 的取值范围为（2，+ ） ，（2）函数 f（x）的图象与 x 轴没有交点，当 a1 时，f （x ）=|ax 1|与 g（x）=（a 1）x 的图象：
