1、方差概念及计算公式一方差的概念与计算公式例 1 两人的 5 次测验成绩如下：X： 50，100，100 ，60 ，50 E(X )=72；Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。平均成绩相同，但 X 不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为 D(X )：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这里 是一个数。推导另一种计算公式得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”，即，其中分别为离散型和连续型计算公式。 称为标准差或均方差，方差描述波动程度。二方差的性质1设 C 为常数，则 D(C) = 0（常数无波
2、动）；2 D(CX )=C2 D(X ) （常数平方提取）；证：特别地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )（方差无负值）3若 X 、Y 相互独立，则证：记则前面两项恰为 D(X )和 D(Y )，第三项展开后为当 X、Y 相互独立时，故第三项为零。特别地独立前提的逐项求和，可推广到有限项。三常用分布的方差1两点分布2二项分布X B ( n, p )引入随机变量 Xi （第 i 次试验中 A 出现的次数，服从两点分布）， 3泊松分布（推导略）4均匀分布另一计算过程为5指数分布（推导略）6正态分布（推导略）正态分布的后一参数反映它与均值 的偏离程度，即波动程度（随机波
3、动），这与图形的特征是相符的。例 2 求上节例 2 的方差。解 根据上节例 2 给出的分布律，计算得到求均方差。均方差的公式如下：（xi 为第 i 个元素） 。S = (x1-x 的平均值 )2 + (x2-x 的平均值)2+(x3-x 的平均值 )2+.+(xn-x 的平均值)2)/n) 的平方根大数定律表表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率 p，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当 n 很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。用 matlab 或 c 语言编写求导程序已
4、知电容电压 uc,电容值 求电流 i 公式为 i=c(duc/dt) 怎样用 matlab 或 c 语言求解 “ SelectCommand=“SELECT top 7 tjid, title FROM rec WHERE (pass = pass) ORDER BY tuijian DESC, date_pass DESC, click DESC“ 函数的幂级数展开式通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题：问题 1：函数 f(x)在什么条件下可以表示成幂级数；问题 2：如果 f(x)能表示成如上
5、形式的幂级数，那末系数 cn(n=0,1,2,3,)怎样确定？下面我们就来学习这两个问题。泰勒级数我们先来讨论第二个问题.假定 f(x)在 a 的邻区内能表示成这种形式的幂级数，其中 a 是事先给定某一常数，我们来看看系数 cn与 f(x)应有怎样的关系。由于 f(x)可以表示成幂级数，我们可根据幂级数的性质，在 x=a 的邻区内 f(x)可任意阶可导.对其幂级数两端逐次求导。得：，在 f(x)幂级数式及其各阶导数中，令 x=a 分别得：把这些所求的系数代入 得：该式的右端的幂级数称为 f(x)在 x+a 处的泰勒级数.关于泰勒级数的问题上式是在 f(x)可以展成形如 的幂级数的假定下得出的.
6、实际上，只要 f(x)在 x=a 处任意阶可导，我们就可以写出函数的泰勒级数。问题：函数写成泰勒级数后是否收敛？是否收敛于 f(x)？函数写成泰勒级数是否收敛将取决于 f(x)与它的泰勒级数的部分和之差是否随 n而趋向于零.如果在某一区间 I 中有 那末 f(x)在 x=a处的泰勒级数将在区间 I 中收敛于 f(x)。此时，我们把这个泰勒级数称为函数 f(x)在区间 I 中的泰勒展开式.泰勒定理设函数 f(x)在 x=a 的邻区内 n+1 阶可导，则对于位于此邻区内的任一 x，至少存在一点 c,c在 a 与 x 之间，使得：此公式也被称为泰勒公式。(在此不加以证明）在泰勒公式中，取 a=0，此
7、时泰勒公式变成：其中 c 在 0 与 x 之间此式子被称为麦克劳林公式。函数 f(x)在 x=0 的泰勒级数称为麦克劳林级数.当麦克劳林公式中的余项趋于零时，我们称相应的泰勒展开式为麦克劳林展开式.即：几种初等函数的麦克劳林的展开式1.指数函数 ex 2.正弦函数的展开式3.函数(1+x) m的展开式数学应用1.解线性方程组矩阵分解(A) B,C=返回cholluqrsvdschur求解方程 AX=B XA=BX=AB X=B/A恰定 cramer 公式,矩阵求逆,gaussian 消去,lu 法%主要 就用 AB不要用 inv(A)*B超定 求最小二乘解 用 AB %基于奇异值分解；用 pi
8、nv(A)*B %基于 householder 变换欠定 由 qr 分解求得非负最小二乘解 X=nnls(A,b,TOL) TOL 指定误差，可缺省零点法求解方程fzero 一元 fsolve 多元x=fzero(fun,x0)x,fval,exitflag=fzero(fun,x0,options,P1,P2,.)注：x0 是猜测的起始点，可用 plot 先绘 fun,用 ginput 来用鼠标获取零点猜测值符号方程X=linsolve(A,B) 等于 X=sym(A)sym(B) %例 X=linsolve(A,b); XX=X+k*null(A)S=solve(eqn1,eqn2,.eq
9、nN) solve(eqn1,eqn2,.eqnN，var1,var2,.varN) 返回 S 是结构数组，引用 S.var1或返回给x1,x2,.,xn矩阵的特征值和特征向量D=eig(A) 特征值 V,D=eig(A) V 是特征向量 A*V=V*DV,D=eig(A,nobalance) 预先平衡V,D=eig(A,B) 广义特征值符号矩阵同数值矩阵 %例中 vpa(A)?对角化P,D=eig(A) inv(P)*A*P 是对角阵Jordan 标准型V,J=jordan(A)其他常用cdf2rdf(V,D) 复转实funm(A,function)计算函数值eighess hessenbe
10、rgexpm 指数null 奇异值分解 零空间 标准正交基orth 标准正交基pinv 广义逆sqrtm 平方根cond 条件数rref 阶梯阵rsf2csf 实转复det 行列式subspace 子空间夹角rank 秩condeig 特征值 条件数norm 范数2.多项式P=poly(A) 由给定的根 A（根数组，或矩阵之特征值）创建多项式符号多项式ploy(A) 返回中用 x 表示，ploy(A,v) 中用 v 来表示ploy2sym(C) 向量转符号多项式计算conv(a,b) 乘法 a=1 3 2 1;b=4 3 9 10;c=conv(a,b)q,r=deconv(a,b) 除法po
11、ly(A) 用根构造polyder(a) 求导 a=1 3 2 1;polyder(a); polyder(a,b) :polyder(conv(a,b)q,d=polyder(a,b) :b/a 的倒数 q 分子 d 分母polyfit(x,y,n) 拟合polyval(p,x) 计算 x 处 y=.polyvalm(p,X) 矩阵多项式得值 X 是方阵r,p,k=residue(a,b) 分式展开式 r 留数 p 极点 k 直项a,b=residue(r,p,k) 分式组合roots(a) 根因式分解factor(s) 因式分解collect(S) 合并同类项 缺省合并 xcollect(
12、S,v) 合并 v 变量同类项expand(s) 表达式展开简化pretty 将代数式转化为手写格式 即改变表示幂、乘方 * 的样式simplify 化简表达式，强 如：simplify(sin(x)2+cos(x)2) 结果 1simple 用 simplify collect factor horner 等简化函数化简，并选取最短的结果simple(s) 化简，并显示中间过程R,How=simples(s) 结果给 R，过程给 Howsimple 所用的转化运算combine(trig) 三角运算convert(exp) 尽量指数化convert(sincos)尽量三角式化convert(
13、tan) 尽量 tan 化horner 多项式转为嵌套形式 秦九韶算法多项式提取subexpr 代换式中一些部分Y,s=subexpr(t,s) s 是复杂式的代换符号， t 是原表达式 ，Y 是代换后的式子subs(S,old,new)将 new 代入 S 中的 old3.曲线拟合多项式拟合a,S=polyfit(x,y,n) 对数据(xi,yi)拟合 n 阶多项式 a 是系数 S是 Vandermonde 矩阵进行 Cholesky 分解。的结构矩阵ye,delta=polyval(a,x,S) 利用计算结果估计数据带 yi +- delta y 超过五阶不好非线性最小二乘估计转为线性4.
14、插值和样条interp1interpftinterp2interp3interpngriddatameshgridndgridspline一维插值yi=interp1(x,y,xi,method) 由 xy 插值 xi 处，method 可选linear 线性cubic 三次spline 三次样条nearst 最近邻域二维插值zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method)样条finder 对样条函数求导fnint 对样条函数积分mkpp(pp) 分解出样条各段的数据,依次返回breaks 断点位置,coef,pieces,order,dimppval(pp,xx) 由逐段多项式求
15、值splineyy=spline(x,y,xx) 三次样条 xx 处值或 pp=spline(x,y)获得多项式数据;yy=ppval(pp,xx)再由 pp计算 xx 处值unmkpp 逐段多项式数据形式的重组5.数值积分微分一维数值积分quad simpson 法，精度高quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,.) (被积函数，积分上限，积分下限，tol相对误差，绝对误差，是否图形显示，参数，.)quad8 8 样条 newton-cotes 公式 最常用trapz 梯形法定积分cumtrapz 梯形法区间积分sum 等宽矩阵法定积分cumsum 等宽矩阵法区间积分fni
16、nt 样条的不定积分多重数值积分dblquad(fun,inmin,inmax,outmin,outmax,tol,method) 定积分积分限为函数时 先求 G(y)=x2(y),x1(y)f(x,y)dx 再求 I=y2,y1G(y)dy 这里用表示豆芽符数值微分多项式求导 polyder差分算积分 diff(X)6.符号微积分约定变量 x 系数 a,b极限limit(f,x,a) 求 x-a 时 f 值、limit(f,x,a,right) 右极限 limit(f,x,a,left)左极限导数diff(f,a,n) 对变量 a 求 n 阶积分，a,n 均有默认差分Y=diff(F 数组,n 差分阶数,dim 指定维数)J=jacobian(f 列向量,v 行向量) 雅可比矩阵 可用 simple 化简
