1、 新东方网（高考）频道 http:/ http:/ 北京市朝阳区 2012-2013 学年度高三年级 第一学期期末统一考试数学测试题（理工类） 2013.1（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题 （共 110 分）两部分第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 等于 i(1i)2aaA B C D 22122.“ 1k”是“直线 0xyk与圆 2xy 相交”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C 充
2、分必要条件 D既不充分也不必要条件3.执行如图所示的程序框图若输入 ，则输出 的值是3xkA B 34C D 564.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为 ，)0,5(1F点 P 在双曲线上，且线段 PF1 的中点坐标为 ，则2此双曲线的方程是 A B42yx 142yxC D132 235.某中学从 4 名男生和 3 名女生中推荐 4 人参加社会公益活动，若选出的 4 人中既有男生又有女生，则不同的选法共有 A 140 种 B 120 种 C 35 种 D 34 种6.已知三棱锥的底面是边长为 的正三角形，其正视图与俯视图如图所1示，则其侧视图的面积为开始 0k5x1k结束输入 x是否输出 k
3、23?x31正视图正视图俯视图新东方网（高考）频道 http:/ http:/ PBCDAOA B3432C D 17.设集合 ，集合 .若 中恰含有2=30x2=10,xaAB一个整数，则实数 的取值范围是aA B C D 30,44,3,41,8. 在棱长为 1 的正方体 中，点 ， 分别是线段 ， （不包括1ACD1P2AB1端点）上的动点，且线段 平行于平面 ，则四面体 的体积的最大值是 12P1A12A B C D246第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上. 9. 已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，
4、则 的值为 .12,9a123,9b21ba10. 如图， ， 是半径为 的圆 的两条弦，它们相交于 的中点 .ABCDaOAB若 ， ，则 = ， （用 表示）. 3P30PABCP11.若关于 ， 的不等式组 （ 是常数）所表示的平面区域的边界是一个xy, 10xykk直角三角形，则 .k12. 在极坐标系中，过圆 的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 4cos13.在直角三角形 中， ， ，点 是斜边 上的一个三等ABC902ACBPAB分点，则 P14. 将整数 填入如图所示的 行 列的表格中，使每一行1,23,5 5的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值
5、为 .新东方网（高考）频道 http:/ http:/ A1 B1ECBD1C1AD三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题满分 13 分）已知函数 . 2()sincos1xxf（）求函数 的最小正周期及单调递减区间；（）求函数 在 上的最小值.()fx,16. （本小题满分 14 分）在长方体 中， ，点 在棱 上，且 1ABCD-12A=DEC13=（）求证： 平面 ；（）在棱 上是否存在点 ，使 平面 ？ 1P1B若存在，求出线段 的长；若不存在，请说明理由；A（）若二面角 的余弦值为 ，求棱 的1-BE306长17. （本
6、小题满分 13 分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为 100 分）作为样本进行统计请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（）写出 ,abxy的值；（）在选取的样本中，从竞赛成绩是 80 分以上（含80 分）的同学中随机抽取 2 名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率；组别 分组 频数 频率第 1 组 50，60） 8 0.16第 2 组 60，70） a 第 3 组 70，80） 20 0.40第 4 组 80，9
7、0） 0.08第 5 组 90，100 2 b合计 频率分布表组距频率成绩（分）频率分布直方图0.040x0.00850 60 8070 90 100y新东方网（高考）频道 http:/ http:/ （）在（）的条件下，设 表示所抽取的 2 名同学中来自第 5 组的人数，求 的分布 列及其数学期望.18. （本小题满分 13 分）已知函数 1()2ln()fxaxaR（）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；2ayf,1f（）求函数 的单调区间；()fx（）设函数 若至少存在一个 ，使得 成立，求实数 的ag01,ex00()fxga取值范围19.（本小题满分 14 分）已知点 是椭圆 的左顶点
8、，直线 与椭圆A2:109xyCt:1()lxmyR相交于 两点，与 轴相交于点 .且当 时， 的面积为 . C,EFBmAEF63（）求椭圆 的方程；（）设直线 ， 与直线 分别交于 ， 两点，试判断以 为直径的圆3xMNMN是否经过点 ？并请说明理由.B20. （本小题满分 13 分）将正整数 （ ）任意排成 行 列的数表.对于某一个数表，计算21,34,n n各行和各列中的任意两个数 （ ）的比值 ，称这些比值中的最小值为这个数表abab的“特征值”.（）当 时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值” ；2n（）若 表示某个 行 列数表中第 行第 列的数（ ， ） ，且满足ija
9、nij1inj请分别写出 时数表的“特征值” ，并由此(1),ijijji， ， 3,45归纳此类数表的“特征值” （不必证明） ；（）对于由正整数 排成的 行 列的任意数表，记其“特征值”为 ，求2,34,n n证： .1n新东方网（高考）频道 http:/ http:/ 北京市朝阳区 2012-2013 学年度高三年级 第一学期期末统一考试数学测试题答案（理工类） 2013.1一、选择题：题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）答案 A A C B D C B A二、填空题： 题号 （9） （10） （11） （12） （13） （14）答案 310；a98或1
10、0cos2 4； 58（注：两空的填空，第一空 3 分，第一空 2 分）三、解答题：（15 ） （本小题满分 13 分）解：（）1cos()sin2xxf2 分24 分1sin().24x所以函数 的最小正周期为 . 6 分()f2新东方网（高考）频道 http:/ http:/ A1 B1ECBD1C1AD由 ， ，则 .3224kxkZ52244kxk函数 单调递减区间是 ， . 9 分()f5,4()由 ，得 . 11x72x分则当 ，即 时， 取得最小值 . 13 分34x54x()fx21（16 ） （本小题满分 14 分）证明：（）在长方体 中，1ABCD-因为 面 ， 11所以
11、2 分在矩形 中，因为 ，1AD1A=D所以 所以 面 11B4 分（）如图，在长方体 中，以 为原点建立空间直角坐标1ACD- 1D系 1Dxyz依题意可知， ， 11(0,)(2,0)(,2)，(2,)A设 的长为 ，则 ，Bx11(,)(,)CBx2(0,)(,3CE假设在棱 上存在点 ，使得 平面 1APD1AE设点 ，则 ，P(2,)y(2,0-)y A1 B1 CBD1 C1A Dx yEz新东方网（高考）频道 http:/ http:/ (0,-2)APy易知 1 2,(-,0)33BE=xAEx设平面 的一个法向量为 ，abcn则 ，即 7 分10AE=n1-203+x=ab令
12、 得， ，所以 3b,2xc3(,)2xn因为 平面 ，等价于 且 平面 DP1B0DP1BAE得 ，所以 2+(-)0xyx3y所以 ， ，所以 的长为 9 分4,3AA43（）因为 ，且点 ，CD1BECD所以平面 、平面 与面 是同一个平面11B由（）可知， 面 ，A所以 是平面 的一个法向量 11 分1(2,0)D1E由（）可知，平面 的一个法向量为 B3(,)2xn因为二面角 的余弦值为 ，1A-306所以 ，解得 122+30cos639()xDn32x故 的长为 14 分AB2（17 ） （本小题满分 13 分）解：（）由题意可知， 4 分16,0.4,.32,0.4abxy（）
13、由题意可知，第 4 组有 4 人，第 5 组有 2 人，共 6 人新东方网（高考）频道 http:/ http:/ 从竞赛成绩是 80 分以上（含 80 分）的同学中随机抽取 2 名同学有种情况 6 分2615C设事件 ：随机抽取的 2 名同学来自同一组，则A.467()15CP所以，随机抽取的 2 名同学来自同一组的概率是 8 分715（）由（）可知， 的可能取值为 ，则0,2， ， 246(0)15CP14268()5CP261()5CP所以， 的分布列为12 分所以， 13 分28120553E（18 ） （本小题满分 13 分）解：函数的定义域为 ，, 1 分221()axfxa（）当
14、 时，函数 ， ， 1()2lnfx(1)0f()2f所以曲线 在点 处的切线方程为 ，yfx,f 1yx即 3 分20x（）函数 的定义域为 ()f(,)（1 ）当 时， 在 上恒成立，a20hxa(,)则 在 上恒成立，此时 在 上单调递减 4 分()0fx,)fx（2 ）当 时， ，24012P新东方网（高考）频道 http:/ http:/ （）若 ，01a由 ，即 ，得 或 ； 5 分()fx()0hx21a21ax由 ，即 ，得 6 分()0f()22所以函数 的单调递增区间为 和 ，()fx 21(0,)a21(,)a单调递减区间为 7 分221(,)a（）若 ， 在 上恒成立，
15、则 在 上恒成立，此时a)0hx,()0fx,)在 上单调递增 ()fx (8 分（） ）因为存在一个 使得 ，01,ex00()fxg则 ，等价于 .9 分002lnax02lna令 ，等价于“当 时， ”. l()Fx1,exminaFx对 求导，得 . 10 分2(ln)因为当 时， ，所以 在 上单调递增. 12 分1,ex0Fx(x1,e所以 ，因此 . 13 分min()()a另解：设 ，定义域为 ，2lnFxfgxx0,.a依题意，至少存在一个 ，使得 成立，01,ex00()fxg等价于当 时， . 9 分1,exmaxF新东方网（高考）频道 http:/ http:/ （1
16、）当 时，0a在 恒成立，所以 在 单调递减，只要Fx1,eFx1,e，ma则不满足题意. 10 分（2 ）当 时，令 得 .00Fx2a（）当 ，即 时，21a在 上 ，所以 在 上单调递增，,exx1,e所以 ，mae2F由 得， ，e20所以 . 11 分（）当 ，即 时，a2ea在 上 ，所以 在 单调递减，1,e0FxFx1,e所以 ，ma1由 得 .12 分2e（）当 ，即 时，a在 上 ，在 上 ，1,)0Fx(,a0Fx所以 在 单调递减，在 单调递增，2,)2,e，等价于 或 ，解得 ，max1a所以， .2e综上所述，实数 的取值范围为 . 13 分a(0,)（19 ） （本小题满分 14 分）解：（）当 时，直线 的方程为 ，设点 在 轴上方，0ml1xEx
