1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业 五十六双 曲 线(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.(2016济宁模拟)已知双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为 ,则双曲线的渐近线方程为 ( )A.y=2x B.y= xC.y= x D.y= x【解析】选 C.因为 e= = ,故可设 a=2k,c= k,则得 b= k,所以渐近线方程为 y= x= x.2.已知 00,b0),把 x=-c 代入双曲线的方程可得 y= ,由题意可得 2c= ,所以 2ac=c
2、2-a2,求得 =1+ , =1- (舍去).【加固训练】(2016忻州模拟)已知双曲线 C: - =1 的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 ( )A.y=2x B.y= xC.y= x D.y= x【解析】选 B.由双曲线的方程 - =1 知,双曲线的焦点在 x 轴上,所以 =( )2=3,所以 n= ,所以 a2= ,b2=4- = ,从而双曲线的渐近线方程是 y= x.4.(2014全国卷)已知 F 为双曲线 C:x2-my2=3m(m0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 ( )A. B.3 C. m D.3m【解析】选 A.双曲线 C: - =1,则 c2=3m+3
3、,c= ,设焦点 F( ,0),一条渐近线方程为 y= x,即 x- y=0,所以点 F 到渐近线的距离为 d= = .5.设 F1,F2分别为双曲线 - =1(a0,b0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 P,满足|PF2|=|F1F2|,且 F2到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为 ( )A. B. C. D.【解析】选 B.易知|PF 2|=|F1F2|=2c,所以由双曲线的定义知|PF 1|=2a+2c,因为 F2到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长,所以(a+c) 2+(2a)2=(2c)2,即 3c2-2ac-5a2=0,两边同除以 a2,得 3e2-
4、2e-5=0,解得 e= 或 e=-1(舍去).【加固训练】1.(2016莱芜模拟)已知双曲线 C: - =1(a0,b0)的焦点为 F1,F2,且 C 上点P 满足 =0,| |=3,| |=4,则双曲线 C 的离心率为 ( )A. B. C. D.5【解析】选 D.依题意得,2a=|PF 2|-|PF1|=1,|F1F2|= =5,因此该双曲线的离心率 e= =5.2.(2016滨州模拟)过双曲线 C: - =1 的右顶点作 x 轴的垂线,与 C 的一条渐近线相交于点 A.若以 C 的右焦点为圆心、4 为半径的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线 C 的方程为 ( )A. -
5、=1 B. - =1C. - =1 D. - =1【解析】选 A.由 得 所以 A(a,-b).由题意知右焦点与原点的距离为 c=4,所以 =4,即(a-4) 2+b2=16.而 a2+b2=16,所以 a=2,b=2 .所以双曲线 C 的方程为 - =1.3.直线 y= x 与双曲线 C: - =1(a0,b0)左右两支分别交于 M,N 两点,F 是双曲线 C 的右焦点,O 是坐标原点,若|FO|=|MO|,则双曲线的离心率等于 ( )A. + B. +1 C. +1 D.2【解析】选 B.由题意知|MO|=|NO|=|FO|,所以MFN 为直角三角形,且MFN=90,取左焦点为 F0,连接
6、 NF0,MF0,由双曲线的对称性知,四边形 NFMF0为平行四边形.又因为MFN=90,所以四边形 NFMF0为矩形,所以|MN|=|F 0F|=2c,又因为直线 MN 的倾斜角为 60,即NOF=60,所以NMF=30,所以|NF|=|MF 0|=c,|MF|= c,由双曲线定义知|MF|-|MF 0|= c-c=2a,所以 e= = +1.二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 - =1 的离心率为 ,则 m 的值为 .【解析】由 - =1,得 a= ,b= ,c= ,所以 e= = = ,即 m2-4m+4=0,解得 m=2.答案:27.已
7、知 F 为双曲线 C: - =1 的左焦点,P,Q 为 C 上的点.若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍,点A(5,0)在线段 PQ 上,则PQF 的周长为 .【解题提示】可利用双曲线的定义,再借助于三角形的图形,即可得出结论.【解析】由 - =1,得 a=3,b=4,c=5,所以|PQ|=4b=162a,又因为 A(5,0)在线段 PQ 上,所以 P,Q 在双曲线的一支上,且 PQ 所在直线过双曲线的右焦点,由双曲线定义知:所以|PF|+|QF|=28.即PQF 的周长是|PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44.答案:448.设直线 x-3y+m=0(m0)与双曲线 - =1(a0,b0
8、)的两条渐近线分别交于点 A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 .【解析】联立双曲线 - =1 渐近线与直线方程 x-3y+m=0 可解得:A ,B,则 kAB= ,设 AB 的中点为 E,由|PA|=|PB|,可得 AB 的中点 E 与点 P 两点连线的斜率为-3,化简得 4b2=a2,所以 e= .答案:三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)9.(2016烟台模拟)已知双曲线 - =1 的弦 AB 以 P(-8,-10)为中点,(1)求直线 AB 的方程.(2)若 O 为坐标原点,求三角形 OAB 的面积.【解析】(1)设 A(x1,y1),B(x2,
9、y2),则 x1+x2=-16,y1+y2=-20,A,B 坐标代入双曲线方程,两式相减得5(x1-x2)(x1+x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0,所以 kAB=1,而直线 AB 过点 P,所以直线 AB 的方程为 y=x-2,经检验此方程满足条件.(2)将 y=x-2 代入 - =1,可得 x2+16x-36=0,所以 x1+x2=-16,x1x2=-36,所以|AB|= =20 ,O 点到 AB 的距离为 = ,所以所求面积为 20 =20.10.(2016泰安模拟)已知焦点在 x 轴上的双曲线的离心率为 ,虚轴长为 2 .(1)求双曲线 C 的方程.(2)已知直线 x-y+m=
10、0 与双曲线 C 交于不同的两点 A,B,若 OAOB,求 m 的值.(O 为坐标原点)【解析】(1)设双曲线的标准方程为 - =1(a,b0),由题意可得 2b=2 ,e= = ,c2=a2+b2,解得 a=1,b= ,故双曲线 C 的标准方程为 x2- =1.(2)联立直线方程与双曲线方程得:消去 y,可得 x2-2mx-2-m2=0,判别式 =4m 2+4(2+m2)0,恒成立,设 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系知:x 1+x2=2m,x1x2=-2-m2,由 OAOB,可得 =x1x2+y1y2=0,由 y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2
11、)+m2,可得 2x1x2+m(x1+x2)+m2=0,即-2m 2-4+2m2+m2=0,解得 m=2,成立.故 m 的值为2.(20 分钟 40 分)1.(5 分)已知点 F1,F2分别是双曲线 - =1(a0,b0)的左、右焦点,过点 F1且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,若ABF 2是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是 ( )A.(1, ) B.( ,2 )C.(1+ ,+) D.(1,1+ )【解析】选 D.依题意,00,b0)的半焦距,则 的取值范围是 .【解析】 = = -e=- ,由于 e1,且函数 f(e)=- 在(1,+)上是增函数,那么 的取值范围是
12、(-1,0).答案:(-1,0)4.(12 分)(2016聊城模拟)如图所示的“8”字形曲线是由两个关于 x 轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形,其中上半个圆所在圆的方程是 x2+y2-4y-4=0,双曲线的左、右顶点 A,B 是该圆与 x 轴的交点,双曲线与半圆相交于与 x 轴平行的直径的两端点.(1)试求双曲线的标准方程.(2)记双曲线的左、右焦点分别为 F1,F2,试在“8”字形曲线上求点 P,使得F 1PF2是直角.【解析】(1)上半个圆所在圆的方程是 x2+y2-4y-4=0,则圆心为(0,2),半径为 2 .则下半个圆所在圆的圆心为(0,-2),半径为 2 .双曲线的左、右
13、顶点 A,B 是该圆与 x 轴的交点,即为(-2,0),(2,0),即 a=2,由于双曲线与半圆相交于与 x 轴平行的直径的两端点,则令 y=2,解得 x=2 .即交点为(2 ,2).设双曲线的方程为 - =1(a0,b0),则 - =1,且 a=2,解得 b=2.则双曲线的标准方程为 - =1.(2)由(1)知双曲线的左、右焦点分别为F1(-2 ,0),F2(2 ,0),若F 1PF2是直角,则设 P(x,y),则有 x2+y2=8,由 解得 x2=6,y2=2.由 解得 y=1,不满足题意,舍去.故在“8”字形曲线上所求点 P 的坐标为( , ),(- , ),(- ,- ), ( ,-)
14、.【加固训练】(2016临沂模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,己知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2,在 y 轴上截得线段长为 2 .(1)求圆心 P 的轨迹方程.(2)若 P 点到直线 y=x 的距离为 ,求圆 P 的方程.【解析】(1)设圆心 P(x,y),由题意得 x2+3=y2+2,整理得 y2-x2=1,即为圆心 P 的轨迹方程,此轨迹是等轴双曲线.(2)由 P 点到直线 y=x 的距离为 ,得 = ,即|x-y|=1,即 x=y+1 或 y=x+1,分别代入 y2-x2=1,解得 P(0,-1)或 P(0,1).若 P(0,-1),此时点 P 在 y 轴上,故半径为 ,所以圆
15、P 的方程为(y+1) 2+x2=3;若 P(0,1),此时点 P 在 y 轴上,故半径为 ,所以圆 P 的方程为(y-1) 2+x2=3.综上,圆 P 的方程为(y+1) 2+x2=3 或(y-1) 2+x2=3.5.(13 分)(2016淄博模拟)已知双曲线 C: - =1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 3,直线 y=2 与 C 的两个交点间的距离为 .(1)求 a,b.(2)设过 F2的直线 l 与 C 的左、右两支分别相交于 A,B 两点,且|AF 1|=|BF1|,证明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.【解析】(1)由题设知 =3,即 =9,故 b
16、2=8a2.所以 C 的方程为 8x2-y2=8a2.将 y=2 代入上式,求得 x= .由题设知,2 = ,解得,a 2=1.所以 a=1,b=2 .(2)由(1)知,F 1(-3,0),F2(3,0),C 的方程为 8x2-y2=8. 由题意可设 l 的方程为 y=k(x-3),|k|2 ,代入并化简得,(k 2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1-1,x 21,x1+x2= ,x1x2= .于是|AF 1|= =-(3x1+1),|BF1|= = =3x2+1.由|AF 1|=|BF1|得-(3x 1+1)=3x2+1,即 x1+x2=-
17、 .故 =- ,解得 k2= ,从而 x1x2=- .由于|AF 2|= =1-3x1,|BF2|= =3x2-1,故|AB|=|AF 2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4,|AF2|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16.因而|AF 2|BF2|=|AB|2,所以|AF 2|,|AB|,|BF2|成等比数列.【加固训练】直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:2x2-y2=1 的右支交于不同的两点 A,B.(1)求实数 k 的取值范围.(2)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由.【解析】(1)将直
18、线 l 的方程 y=kx+1 代入双曲线 C 的方程 2x2-y2=1 后,整理得(k 2-2)x2+2kx+2=0. 依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点,故解得 k 的取值范围是-2k- .(2)设 A,B 两点的坐标分别为(x 1,y1),(x2,y2),则由式得 假设存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F(c,0).则由 FAFB 得:(x1-c)(x2-c)+y1y2=0.即(x 1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.整理得(k 2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0. 把式及 c= 代入式化简得 5k2+2 k-6=0.解得 k=- 或 k= (-2,- )(舍去),可知存在 k=- 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点.关闭 Word 文档返回原板块
