1、1湖南省 2017 年普通高等学校对口招生考试数学试题(附答案)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量 120 分钟.满分 120 分一、选择题（每小题 4 分，共 40 分每小题只有一项是符合题目要求的）1.已知集合 , ,则 等于 【答案】21A3，BBADA. B. C. D. 4,， 4,314,3212.已知 ， ， ,则 的大小关系为 【答案】B32a21b2)(ccba,A B C D abc3.已知 ，则 【答案】A,0,21cossinA B C D3231214.已知两条直线 互相垂直，则 【答案】D)(xayxy和 aA2 B 1 C0 D 15.下列函数中，在区
2、间 上单调递增的是 【答案】C,0A. B. C. D. xysinxy2xyxy31log6.已知函数 的定义域为 R，则“ 为偶函数” 是“ ”的【答案】C)(f )(f )(ffA 充分必要条件 B 必要不充分条件C 充分不必要条件 D 既不充分也不必要条件7.不等式 的解集是 【答案】D0652xA B C D3x32x或 32x8.设 是两条不同的直线， 是平面，则下列命题正确的是 【答案】Bml、 A若 ，则 B若 ，则 ,l lml/,C若 ，则 D若 ，则l/ l/29. 从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数中取 2 个不同的数，使其和为偶数，则不同的取法共有A
3、. 72 种 B. 36 种 C. 32 种 D. 16 种 【答案】D10在三棱锥 中，PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PA=PB=PC=1 ，则该三棱锥ABCP的体积为 【答案】AA B C D16132二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）11、在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的 10 名运动员的成绩如下表所示：成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70人数 2 2 4 2则这些运动员成绩的平均数是_（m ） 【答案】1.6212若直线 经过圆 的圆心，则 _06ykx)()122yx（ k【答案】 413函数 的最小值为 【答案】fcos21 1
4、14.若关于 的不等式 的解集为 ，则 【答案】3x3b03xb15.若双曲线 上存在四点 A，B，C，D，使四边形 ABCD 为正方)0,(12ay形，则此双曲线的离心率的取值范围为 【答案】 ，2三、解答题（本大题共 7 小题，其中第 21，22 题为选做题满分 60 分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16. （本小题满分 10 分）已知函数 . 1)(,0(1)5(log2faxfa且（I）求 的值，并写出 的定义域；（II ）当 时，求 的取值范围f ,4xxf解：（I）依题意，有： ，解得： ，)5(log2aa由 05x得 ， 的定义域为4axf ），（ 3（II）由（1
5、）得： 41, 为增函1)5(log24xf 1)5(log24xf数，而 316l,)( 4f当 时， 的取值范围为 1,xxf3,17. （本小题满分 10 分）某射击运动员射击 3 次，每次射击击中目标的概率为 ，求：2（I）3 次射击都击中目标的概率； （II）击中次数 的分布列解：（I） 2783)(）（P（II）随机变量 的分布列为：18. （本小题满分 10 分）已知数列 为等差数列，若 ，求：na1231,aa（I）求数列 的通项公式； （II）设 ，求数列 的前 项和 nanb)2(nbnS解：（I）设数列 的首项为 ，公差为 ，依题意，有：n1d,2111 ada ndan
6、)1(数列 的通项公式为 ；nn（II） =nab)2(）（nn n 21211)(S）（19. （本小题满分 10 分）0 1 2 3P 794784已知向量 ，向量),1(ma)3,2(b（I）若 ，求 的值； （II）若 ，求 的值/ ba)3()a（解：（1）由 得： ，2m（2）由 得 ba0233= ），（ 1)），（ ）（），（）（ 5,123,)( ab1523(3 ）（）（ ab20. （本小题满分 10 分）已知抛物线 的焦点为pxyC2:.0,F（I）求抛物线 C 的方程；（II）过点 M（ 1,2）的直线 与 相交于 两点，且 M 为 AB 的中点，求直线 的方程lBA
7、, l解：（I）抛物线 的焦点为 ， ，解得 ，pxy2:0,2Fp4故抛物线 C 的方程为： ；8（2）设 、 ，则依题意有)A1yx，（ )B2yx，（ 2211yx，易知若直线 的斜率不存在，则直线方程为 ，此时 ，不合题意，l 40由 得： 即218xy)(8212xy21218yxy 42121kABl直线 的方程为 l0yx注意：第 21 题，22 题为选做题，请考生选择其中一题作答21 （本小题满分 10 分）5已知 ，分别为 内角 A，B，C 的对边，已知 ，cba, abc2（I）若 ，且 ，求 的面积；90C1a（II）若 ，求 的值Asinicos解：（I）由 ，且 ，则
8、 ，又22cbaab，解得012b1SaABC（II）由正弦定理 ，caCAcsinisin又 ， ，又 abc2b241osac由 余 弦 定 理 得 ：22某公司有 40 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对乙项目投资的 倍，且对每个项目的投资都不能低于 5 万元。对项目甲每投资 1 万元可获得310.2 万元的利润，对项目乙每投资 1 万元可获得 0.3 万元的利润。问：该公司如何规划投资，才能使公司获得的总利润最大？解 设投入甲、乙项目分别为 x 万元，y 万元，公司 获利为 Z 万元，则 z3.02.由题意得： 5314yxy作出可行域如图四边形 ABCD 所示作直线 ： 并平移，由图象得，当直线经过 A 点时 Z 能取得最大值，0l032x由 解得即 A（10,30）y1431yx所以当 （ 万 元 ）时 ， 130.2.0Z,0maxx
