1、MATHEMATICS1函数奇偶性一 般 地 ， 对 于 函 数 f(x) （ 1） 如 果 对 于 函 数 定 义 域 内 的 任 意 一 个 x， 都 有 f(x)=f(-x)那 么 函 数 f(x)就 叫 做 偶函 数 。 关 于 y 轴 对 称 ， f（ -x） =f（ x） 。 （ 2） 如 果 对 于 函 数 定 义 域 内 的 任 意 一 个 x， 都 有 f(-x)=-f(x)， 那 么 函 数 f(x)就 叫 做奇 函 数 。 关 于 原 点 对 称 ， -f（ x） =f（ -x） 。 奇 偶 函 数 图 像 的 特 征定 理 奇 函 数 图 像 关 于 原 点 成 中 心
2、 对 称 图 形 ， 偶 函 数 的 图 像 关 于 y 轴 成 轴 对 称 图 形 。f(x)为 奇 函 数 f(x)的 图 像 关 于 原 点 对 称 点 （ x,y） （ -x,-y） f(x)为 偶 函 数 f(x)的 图 像 关 于 Y 轴 对 称 点 （ x,y） （ -x,y） 奇 函 数 在 某 一 区 间 上 单 调 递 增 ， 则 在 它 的 对 称 区 间 上 也 是 单 调 递 增 。 偶 函 数 在 某 一 区 间 上 单 调 递 增 ， 则 在 它 的 对 称 区 间 上 单 调 递 减 。 性 质1、 偶 函 数 没 有 反 函 数 （ 偶 函 数 在 定 义 域
3、 内 非 单 调 函 数 ） ， 奇 函 数 的 反 函 数 仍 是 奇 函数 。 2、 偶 函 数 在 定 义 域 内 关 于 原 点 对 称 的 两 个 区 间 上 单 调 性 相 反 ， 奇 函 数 在 定 义 内 关 于原 点 对 称 的 两 个 区 间 上 单 调 性 相 同 。 3、 奇 奇 =奇 偶 偶 =偶 奇 X 奇 =偶 偶 X 偶 =偶 奇 X 偶 =奇 （ 两 函 数 定 义 域 要 关于 原 点 对 称 ） 4、 对 于 F（ x） =fg(x)： 若 g(x)是 偶 函 数 ， 则 Fx是 偶 函 数 若 g(x)奇 函 数 且 f(x)是 奇 函 数 ， 则 F（
4、 x） 是 奇 函 数 若 g(x)奇 函 数 且 f(x)是 偶 函 数 ， 则 F（ x） 是 偶 函 数 MATHEMATICS25、 奇 函 数 与 偶 函 数 的 定 义 域 必 须 关 于 原 点 对 称一、选择题1已知函数 f（ x） ax2 bx c（ a0）是偶函数，那么 g（ x） ax3 bx2 cx（ ）A奇函数 B偶函数 C既奇又偶函数 D非奇非偶函数2已知函数 f（ x） ax2 bx3 a b 是偶函数，且其定义域为 a1，2 a ，则（ ） A ， b0 B a1， b0 C a1， b0 D a3， b031a3已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x
5、0 时， f（ x） x22 x，则 f（ x）在 R 上的表达式是（ ）Ayx（x2） By x（x1） Cy x（x2） Dyx（x2）4已知 f（ x） x5 ax3 bx8，且 f（2）10，那么 f（2）等于（ ）A26 B18 C10 D105函数 是（ ）1)(2xfA偶函数 B奇函数 C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数6若 ， g（ x）都是奇函数， 在（0，）上有最大值 5，)( 2)()(xbgaf则 f（ x）在（，0）上有（ ）A最小值5 B最大值5 C最小值1 D最大值3二、填空题7函数 的奇偶性为_（填奇函数或偶函数） 21)(xf8若 y（ m1） x22 m
6、x3 是偶函数，则 m_9已知 f（ x）是偶函数， g（ x）是奇函数，若 ，则 f（ x）的解析式为_1)(xgxf10已知函数 f（ x）为偶函数，且其图象与 x 轴有四个交点，则方程 f（ x）0 的所有实根之和为_三、解答题11设定义在2，2上的偶函数 f（ x）在区间0，2上单调递减，若 f（1 m） f（ m） ，求实数m 的取值范围MATHEMATICS312已知函数 f（ x）满足 f（ x y） f（ x y）2 f（ x） f（ y） （ x R， y R） ，且 f（0）0，试证 f（ x）是偶函数13.已知函数 f（ x）是奇函数，且当 x0 时， f（ x） x32
7、 x21，求 f（ x）在 R 上的表达式14.f（ x）是定义在（，5 5，）上的奇函数，且 f（ x）在5，）上单调递减，试判断 f（ x）在（，5上的单调性，并用定义给予证明15.设函数 y f（ x） （ x R 且 x0）对任意非零实数 x1、 x2满足 f（ x1x2） f（ x1） f（ x2） ，求证 f（ x）是偶函数MATHEMATICS4函数的奇偶性练习参考答案1 解析： f（ x） ax2 bx c 为偶函数， 为奇函数，x)( g（ x） ax3 bx2 cx f（ x） 满足奇函数的条件 答案：A2解析：由 f（ x） ax2 bx3 a b 为偶函数，得 b0又定
8、义域为 a1，2 a ， a12 a， 故选 A313解析：由 x0 时， f（ x） x22 x， f（ x）为奇函数，当 x0 时， f（ x） f（ x）（ x22 x） x22 x x（ x2） 即 f（ x） x（| x|2）,)0()()f答案：D4解析： f（ x）8 x5 ax3 bx 为奇函数，f（2）818， f（2）818， f（2）26 答案：A5解析：此题直接证明较烦，可用等价形式 f（ x） f（ x）0 答案：B6解析： 、 g（ x）为奇函数， 为奇函数)( )()(bga又 f（ x）在（0，）上有最大值 5， f（ x）2 有最大值 3 f（ x）2 在（，
9、0）上有最小值3， f（ x）在（，0）上有最小值1 答案：C7答案：奇函数8答案：0 解析：因为函数 y（ m1） x22 mx3 为偶函数， f（ x） f（ x） ，即（ m1） （ x） 22 m（ x）3（ m1） x22 mx3，整理，得 m09解析：由 f（ x）是偶函数， g（ x）是奇函数，可得 ，联立 ，)(g)(xgf1)1(2) 2xxf答案： 10答案：0 11答案：)(2f 21mMATHEMATICS512证明：令 x y0，有 f（0） f（0）2 f（0） f（0） ，又 f（0）0，可证 f（0）1令x0， f（ y） f（ y）2 f（0） f（ y） f
10、（ y） f（ y） ，故 f（ x）为偶函数13解析：本题主要是培养学生理解概念的能力f（ x） x32 x21因 f（ x）为奇函数， f（0）0当 x0 时， x0， f（ x）（ x） 32（ x） 21 x32 x21， f（ x） x32 x21因此， .)0()( ,23xxf点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力14解析：任取 x1 x25，则 x1 x25因 f（ x）在5，上单调递减，所以 f（ x1） f（ x2） f（ x1） f（ x2） f（ x1） f（ x2） ，即单调减函数点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化15解析：由 x1， x2 R 且不为 0 的任意性，令 x1 x21 代入可证，f（1）2 f（1） ， f（1）0又令 x1 x21， f1（1） 2 f（1）0，（1）0又令 x11， x2 x， f（ x） f（1） f（ x）0 f（ x） f（ x） ，即 f（ x）为偶函数点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如， x1 x21， x1 x21 或x1 x20 等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可
