1、平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的大小即向量的模（长度） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为 0 的向量，记为 ，其方向是任意的， 与任意向量平行，所以在有关向00量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量” 这个条件 单位向量：模为 1 个单位长度的向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 头htp:/w
2、.xjkygcom126t:/.j 方向相同或相反的向量，称为平行向量 奎 屯王 新 敞新 疆由于向量可以进行任意的平移，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 奎 屯王 新 敞新 疆相等向量：长度相等且方向相同的向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j相等向量经过平移后总可以重合 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j设 ，则 + = = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j,ABaCbaABC（
3、1） ；0（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（2） 三角形法则的特点是“首尾相接” ，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向
4、量相加：，但这时必须“首尾相连” ABCDPQRA3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的减法： 相反向量：与 长度相等、方向相反的向量，叫做 的相反向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.ja a记作 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 关于相反向量有： （i） = ； (ii) +( )=( )+ = ；)(a0(iii)若 、 是互为相反向量，则 = , = , + = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jabbab0向量减法：向量 加上 的相反向量叫做 与 的差，记作： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ab )(
5、ba作图法： 可以表示为从 的终点指向 的终点的向量（ 、 有共同起点）4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下：aa（） ；（）当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；0 0a当 时， ，方向是任意的 头htp:/w.xjkygcom126t:/.ja5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两个向量共线定理：向量 与非零向量 共线 有且只有一个实数 ，使得 = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jbba6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平面
6、向量的基本定理：如果 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 ，有且只有21,e a一对实数 使： ，其中不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的21ea21,e一组基底 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 特别注意:（1）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（2）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合） ，而向量平行则包括共线（重合）的情况 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j二.平面向量的坐标表示1 头htp:/
7、w.xjkygcom126t:/.j平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量作为基底 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平面内的任一向量 可表示成 ，记作 =(x,y) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j,i aija(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平面向量的坐标运算：(1) 若 ，则12,axybxy 12,abx(2) 若 ，则BA2ABy(3) 若 =(x,y)，则 =( x, y)a(4) 若 ，
8、则12,axybxy121/0abx(5) 若 ，则 y若 ，则02121yx3 奎 屯王 新 敞新 疆 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质向量的加法1 奎 屯王 新 敞新 疆平行四边形法则2 奎 屯王 新 敞新 疆三角形法则 12(,)abxyab)(cABC向量的减法三角形法则 12(,)abxy)(baOBA向量的乘法是一个向量,a满足:0 时 , 与 同向;a0 时 , 与 异向;=0 时 , = 奎 屯王 新 敞新 疆a0),(yxa)(b)(a向量的数量积 是一个数b或 时,=0a且 时,0b
9、acos| 12abxyb)()(bacca,2|2yx|b三平面向量的数量积1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两个向量的数量积：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则 = cosababb叫做 与 的数量积（或内积） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 规定 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jab02 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的投影： cos = R，称为向量 在 方向上的投影 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j投影的绝对值称为射影 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j|aba3 头htp
10、:/w.xjkygcom126t:/.j数量积的几何意义： 等于 的长度与 在 方向上的投影的乘积 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jb4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的模与平方的关系： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j|5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j乘法公式成立： ；22abab22ab6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平面向量数量积的运算律：交换律成立： ab对实数的结合律成立： babR分配律成立： cc特别注意：（1）结合律不成立： ；c（2）消去律不成立 不能得到abcb（3） =0 不能得
11、到 = 或 = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jab07 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量 ，则 = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j12(,)(,)xybab128 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的夹角：已知两个非零向量 与 ，作 = , = ,则AOB= （ ）OABb0018叫做向量 与 的夹角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jacos = = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jcos,b212yx当且仅当两个非零向量 与 同方向时，=0 0，当且仅
12、当 与 反方向时 =180 0，同时a ab与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j09 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j垂直：如果 与 的夹角为 900则称 与 垂直，记作 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jbab10 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两个非零向量垂直的充要条件 ： O 奎 屯王 新 敞新 疆ab21yx典例精析题型一 向量的有关概念【例 1】 下列命题：向量 AB的长度与 的长度相等；向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；两个有共同起点的单位向量，其终点必相
13、同；向量 与向量 CD是共线向量，则 A、B、C 、D 必在同一直线上.其中真命题的序号是 .【解析】对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故错；显然错； AB与CD是共线向量，则 A、B、C 、D 可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故错.故是真命题的只有.【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.【变式训练 1】下列各式：|a | ；(a b) ca (b c)； OA B ；在任意四边形 ABCD 中，M 为 AD 的中点，N 为 BC 的中点，则 AB DC2 MN；a(cos ，sin )，b(cos ，si
14、n )，且 a 与 b 不共线，则(ab) (ab).其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选 D.| a| 正确；(a b) ca (bc)； OA B 正确；如下图所示，MN= D+ C+ 且 MN= A+ B+ ，两式相加可得 2 D，即命题正确；因为 a，b 不共线，且|a|b|1，所以 ab，ab 为菱形的两条对角线，即得(ab) (ab).所以命题正确.题型二 与向量线性运算有关的问题【例 2】如图， ABCD 是平行四边形， AC、 BD 交于点 O，点 M 在线段DO 上，且 DM= O31，点 N 在线段 OC 上,且 N= C31,设 AB=a, D
15、=b,试用 a、 b表示 A， ， .【解析】在ABCD 中，AC，BD 交于点 O，所以 DO B ( A D) (ab) ，12 12 12A C ( ) (ab).12 12 12又 M ， N OC，13 13所以 A D b13b (ab) a b，1312 16 56AN O C13 (ab) (ab). 43 4312 23所以 M A (ab) ( a b) a b.23 16 56 12 16【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.【变式训练 2】O 是平
16、面 上一点，A、B、C 是平面 上不共线的三点，平面 内的动点 P 满足P A( B )，若 时，则 P( B C)的值为 .12【解析】由已知得 P ( )， 即 ( C)，当 时，得 A ( )，12 12所以 2 A B ，即 B C P，所以 P ，所以 C P0，所以 A ( B ) A00，故填 0.题型三 向量共线问题【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不共线.(1)若 ab， C2a8b， D3( ab)，求证：A，B ，D 三点共线；(2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线.【解析】(1)证明：因为 ABab， C2a8b， D3( ab)，所以 BD C 2a
17、8b3(ab) 5(ab) 5 AB，所以 A， 共线.又因为它们有公共点 B，所以 A，B ，D 三点共线.(2)因为 kab 和 ak b 共线，所以存在实数 ，使 kab (ak b)，所以(k )a(k1)b.因为 a 与 b 是不共线的两个非零向量，所以 kk10，所以 k210，所以 k1.【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.【变式训练 3】已知 O 是正三
18、角形 BAC 内部一点， OA+2 B+3 C=0，则OAC 的面积与OAB 的面积之比是（ ）A. B.32 23C.2 D.13【解析】如图，在三角形 ABC 中， OA2 B3 C0，整理可得 OA C2( B O)0.令三角形 ABC 中 AC 边的中点为 E，BC 边的中点为 F，则点 O 在点 F 与点 E 连线的 处，即 OE2OF.13设三角形 ABC 中 AB 边上的高为 h，则 SOACS OAES OEC OE ( ) OEh，12 h2 h2 12SOAB ABh ABh，12 12 14由于 AB2EF，OE EF，所以 AB3OE，23所以 hABOE412 .故选
19、 B.SOACSOAB 23总结提高1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合) 的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形.2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3.当向量 a 与 b 共线同向时，|ab| |a| b|；当向量 a 与 b 共线反向时，|ab| | a|b|；当向量 a 与 b不共线时，|ab|a|b|.典例精析题型一 平面向量基本定理的应用【例 1】如图ABCD 中,M,N 分别是 DC，BC 中点.已知 AM=a, N=b,试用 a，b 表示 AB， D与AC【解析】易知
20、A D D B，12AN A ，12即 .21,baDB所以 A (2ba)， A (2ab).23 23所以 C B D (a b).23【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.【变式训练 1】已知 D 为ABC 的边 BC 上的中点，ABC 所在平面内有一点 P，满足 A BCP0，则 |A等于( )A. B. C.1 D.213 12【解析】由于 D 为 BC 边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知 PB C2 D，因此结合 PA B C0 即得 PA2 D，因此易得 P，A，D 三点共线且 D 是 PA 的中点
21、，所以|1，即选 C.题型二 向量的坐标运算【例 2】 已知 a(1，1)，b(x，1)，u a2b，v 2ab.(1)若 u3v，求 x；(2) 若 uv，求 x.【解析】因为 a(1，1)，b(x，1)，所以 u(1 ，1)2(x，1)(1，1)(2 x，2)(2x1，3)，v2(1， 1)(x ，1)(2x，1).(1)u3v(2 x1，3)3(2 x，1)(2x 1，3)(63x ，3)，所以 2x163x ，解得 x 1.(2)uv (2 x1，3)(2x，1) 3),(2x 1)3(2x )0x1.【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视
22、.【变式训练 2】已知向量 an(cos ，sin )(nN *)，| b| 1.则函数n7 n7y| a1 b|2|a 2b| 2|a 3b| 2 |a 141b| 2 的最大值为 .【解析】设 b(cos ，sin )，所以 y|a 1b| 2|a 2b| 2|a 3b| 2 |a 141b| 2(a 1)2b 22(cos ，sin )(cos ，sin ) (a 141)2b 22(cos ，sin )(cos ，sin )2822cos( )，7 7 1417 1417 7所以 y 的最大值为 284. 题型三 平行(共线)向量的坐标运算【例 3】已 知 ABC 的 角 A， B，
23、C 所 对 的 边 分 别 是 a， b， c， 设 向 量 m (a， b)， n (sin B，sin A)，p( b 2，a2).(1)若 mn，求证：ABC 为等腰三角形；(2)若 mp，边长 c2，角 C ，求ABC 的面积.3【解析】(1)证明：因为 mn，所以 asin Absin B. 由正弦定理，得 a2b 2，即 ab.所以ABC 为等腰三角形 .(2)因为 mp，所以 mp0，即a(b2)b(a2)0，所以 abab.由余弦定理，得 4a 2b 2ab(ab) 23ab，所以(ab) 23ab40.所以 ab4 或 ab1(舍去).所以 SABC absin C 4 .1
24、2 12 32 3【点拨】设 m(x 1，y 1)，n(x 2，y 2)，则mnx 1y2 x2y1；mn x 1x2y 1y20.【 变 式 训 练 3】 已 知 a， b， c 分 别 为 ABC 的 三 个 内 角 A， B， C 的 对 边 ， 向 量 m (2cosC 1，2)，n(cos C ，cos C1).若 mn，且 ab10，则ABC 周长的最小值为( )A.105 B.1053 3C.102 D.102 3 3【解析】由 mn 得 2cos2C3cos C20，解得 cos C 或 cos C2(舍去)，所以12c2a 2b 22ab cos Ca 2b 2ab(ab) 2ab100ab，由 10ab2 ab25，所以 c275，ab即 c5 ，所以 abc105 ，当且仅当 ab5 时，等号成立.故选 B.3 3典例精析题型一 利用平面向量数量积解决模、夹角问题【例 1】 已知 a，b 夹角为 120，且| a|4，|b| 2，求：(1)|ab| ；(2)(a2b ) (ab)；(3)a 与(ab) 的夹角 .【解析】(1)( a b)2a 2b 22ab164242 12，12
