1、第 1 页 共 12 页Page 1 of 12 直线与圆锥曲线专题复习设计一、2010 年考纲要求（一）掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式，两点式，一般式，能熟练求出直线方程。掌握两条直线平等与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线 的距离公式，能够判断两条直线的位置关系。理解直线的倾斜角和斜率的概念，了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单的应用，了解解析几何的基本思想，了解坐标法。（二）掌握圆的标准方程和一般方程， 了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。掌握椭圆，双曲线，抛物线的定义，标准方程，及其简单几何性质，了解椭圆的参数方程,了解圆锥曲线的简单应用
2、。二、考题特征剖析 直线与圆锥曲线是高考解析几何的重要内容，是用坐标方法研究曲线特征的重要体现，因此这一部分内容成为历年考试的热点。解析法与向量知识的结合常常作为高考的压轴题出现，是考查能力的重要题型。纵观近三年的高考题，试题的数目在逐渐增加，虽然题型在不断变化，但直线与圆锥曲线这一部分一直都在发挥着其主角作用，演义着高考的神话。通过认真分析可以发现，本专题在高考中占 25 分左右，涉及的题目有选择题，填空题及简答题。因此，能否顺利解答这一部分题目对考试成绩有着很大的影响。选择题一般有两种不同的解题思路：一是直接计算，二是采用数形结合。尤其是直线与圆的考查，灵活利用圆的性质通常可以化解难度。一
3、般属于中档题，成为高考的焦点问题。对圆锥曲线定义的考查通常会把两个定义联系在以起，以准线方程，离心率等为载体考查对性质的灵活应用。体现了数形结合，等价转换等基本思想的应用。 直线与圆锥曲线的位置关系一般以简答题的形式出现，有一定的难度，除了考查基本概念，圆锥曲线的性质外，还考查实际问题中的计算技巧，渗透的数学思想有：分类讨论，数形结合，等价转换，函数与方程等。第 2 页 共 12 页Page 2 of 12 对本专题的复习要重视知识之间的联系，熟练掌握教材重视知识外，还加强对综合能力的训练，重视交汇知识的把握，做到通法与技巧相结合，合理运算，提高准确率。三、专题讲解【一】定义与性质例 1.（1
4、）若抛物线 上的两点 A,B 到焦点的距离和是 5，则线段 AB 的中2yx点到 y 轴的距离是 （2）设 是椭圆 的两个焦点，若椭圆上存在点12,F21(0)abP，使 ，则椭圆离心率的取值范围是 0【解析】：（1）设 A，B，P 在抛物线的准线 上的射影分别是 ，则l1,ABP由抛物线的定义知 ， , P1 5F15()22P到 y 轴的距离 。52d（2）（法一）设 ，由余弦定理得12,PFmn，即2()cos0cn 22()()()3mna3,1.4ea（法二）设椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为：a,b,c.如图，在中， 即 ，这时 又1RtBFO160,130BFO 13cos,2
5、FOcBa椭圆离心率小于 1，故所求离心率的范围是 ，,12【答案】（1）2 （2） 3,12【点评】：（1）说明在处理抛物线中有关“焦半径”长的问题时，借助抛物线的定义及平面几何的有关知识可简化问题的求解。 第 3 页 共 12 页Page 3 of 12 （2）求椭圆离心率的取值范围时，可利用 这个定植，挖掘题12PFa目中隐含的不等关系，如 ；也可利用数形结合判定 P 点位于短轴2()mn顶点 B 时 最大，于是 。12FP120B例 2.(2009 全国)已知椭圆 C: 的右焦点 F，右准线为 ，点 ，线2xylAl段 AF 交 C 于点 B，若 ，则 （ ）3,A 2 3 解析：设准
6、线 与 x 轴交于点 C，由 B 点向准线 引垂线，垂足为 D，依据椭圆l l的第二定义有： ，又 ，12FcDa/BAFCF, 223BDAac22;33bBc. 故选 A，3F点评：本题考查了椭圆的定义，数形结合思想的具体应用。有效地考查了考生对圆锥曲线的相关知识的掌握程度以及如何恰当地应用相关方法解决问题。【二】轨迹与方程例 3（2009 江西）已知点 为双曲线 （b 为正常数）上10(,)Pxy218xy任一点， 为双曲线的右焦点，过 作右准线的垂线，垂足为 A，连接 并2F 2F延长交 y 轴于 .P(1)求线段 的中点 P 的轨迹 E 的方程12(2)设轨迹 E 与 x 轴交于 B
7、,D 两点，在 E上任取一点 ，直线 QB,QD 分别1(,)Qy0交 y 轴于 M,N 两点，求证：以 MN 为直径的圆过两定点。第 4 页 共 12 页Page 4 of 12 解析：（1）由已知得 ，则直线 的方程为：28(3,0)(,)FbA2FA，令 x = 0 得 ，即 。设 P（x ,y），则03()yxb09y20(,9)y，即 代入 ，得 即 P00295yy02.5y2018xb24185yb的轨迹 E 的方程为 。221xb（2）在 中，令 y = 0，得 ，则不妨设225y 2,xb，于是直线 QB 的方程为： ，(,0)(,)BbD 1()y直线 QD 的方程为: ，
8、1(2)yxb可得 ，则以 MN 为直径的圆的方程为：112(0,),(0)bMNx。令 y = 0 得 而211()()2yyxxb 21,byx在 上，则 于是 ，即以 MN 为1(,)Q225xb2211,55直径的圆过两定点 。(,0)(5,)b【点评】轨迹方程是反映曲线特征的重要标志，也是高考的重点。在高考题型中常与圆锥曲线向量的运算结合在一起进行考查。常见的方法：定义法，相关点法，点差法，交轨法与待定系数法，灵活利用常见曲线的性质求解轨迹方程。【三】定值与范围例 4（2009 辽宁）已知，椭圆 C 经过点 ，两个焦点为 .3(1,)2A(1,0),（1） 求椭圆 C 的方程。（2）
9、 E , F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值。第 5 页 共 12 页Page 5 of 12 解：(1)由题意，c = 1，可设椭圆方程为 ，因为 A 在椭圆上，所21xyb以 ，解得 （舍去） 。所以椭圆方程为 。2194b23,4b2143xy设直线 AE 方程为： ，代入 ，得(1)ykx21xy，设 。因为点2 23(34)()40kx(,)(,)EFxy在椭圆上，所以 ，又直线 AF 的斜(1,)A2()13,2Ekxyk率与 AF 的斜率互为相反数，在上式中以 - k 代 k，可得，所以直线
10、 EF 的斜率234()13,2FFkxykx FEEyx，即直线 EF 的斜率为定值，其值为 。()EF 12【点评】求解圆锥曲线方程的关键是能够通过题中的已知条件确定构成方程的各个元素。直线与圆锥曲线问题一般要注重三个要点：一是要善于应用直线方程与圆锥曲线方程的联立；二是要注意注意直线与曲线的关系对相关参数的限制；三是要能够根据题意依据顺势思维进行求解。在具体的问题中要注意有关方程思想和函数思想的应用。例 5 （2009 陕西）已知双曲线 C 的方程为 ，离心率21(0,)yxab，顶点到渐近线的距离为 。2e25（1） 求双曲线 C 的方程；（2） 如图，P 是双曲线 C 上一点，A，B
11、 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限，若 ，求 面积的取值范围。1,23PAOB【解析】：（法一）（1）由题意知，双曲线 C 的顶点（ 0，a ）到渐近线0axby第 6 页 共 12 页Page 6 of 12 的距离为 。即 ，由 得 ，所以双曲线 C 的方2525abc225,abcab15c程为 。214yx（2）由（1）知双曲线 C 的两条渐近线方程为 。设2yx由 得 P 点的坐标为(,)(,2)0,.AmBn,AB将 P 点坐标代入 ，化简得 ,1214x2(1)4mn设 ，2,O 4tan(),tan,si5又 115, i2()2AOBAmSn记 则 1
12、(),23s2(),s由 得 。 又 ，0 189()2,34s所以当 时， 的面积取得最小值 2，1AOB当 时 的面积取得最大值，3所以 面积的取值范围是 。82,3（法二）（1）同一（2）设直线 AB 的方程为 ，由题意知 ，ykxm2,0km由 ，得 A 点的坐标为 ，2(,)由 ，得 B 点的坐标为 ，ykx2(,)k第 7 页 共 12 页Page 7 of 12 由 得 P 点的坐标为 ，,AB 121(),()2mmkk将 P 点坐标代入 ， 得 ，214yx4设 Q 为直线 AB 与 y 轴的交点， 则 Q 点的坐标为（0 ，m） ，AOBBOQSS2ABxOx11()()2
13、2ABxk2141()mk以下同一【点评】 本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识，考查待定系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力.涉及到三角形的面积问题。在直线与圆锥曲线的位置关系处命题一直是个热点，基本方法是联立方程，利用判别式、韦达定理求解，运算量一般较大。这类综合题中常涉及的问题有弦长问题，面积问题，对称问题，轨迹问题，定点、定值问题，是历年来高考中的热点问题，复习时要注重通性通法的训练【四】直线与二次曲线例 6 (2009 天津)已知椭圆 的两个焦点分别为21(0)xyab和 ，过点 的直线与椭圆相交于 A,B1(,0F
14、c2(,)0c2,Ec两点，且 112/,AFBFB（1） 求椭圆的离心率；（2） 求直线 AB 的斜率（3） 设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 上有一点 在2(,)0Hmn的外接圆上，求 的值。1Fnm【解析】（1）由 且 ，得12/,B12,FAB21EFBA第 8 页 共 12 页Page 8 of 12 从而 ，整理，得 。故离心率21ac23ac3cea（2）由（1） ，得 ，所以椭圆的方程可写为 。22b226xyc设直线 AB 的方程为 即 ，由已知设 ，(),aykxc(3)ykxc12(,)(,)AB联立方程 ，消去 y 并整理，得2236()x22218760kc
15、xkc依题意， ，得 。4(3)03而 2128,kcx21763kcx由题设知，点 B 为线段 AE 的中点，所以 12x联立，解得 将 代入中，22199,33kckcxx1,解得 .3k（3） （法一）由（2）可知 ，当 时，得 ，1230,cx23k(0,2)Ac由已知得 ，线段 的垂直平分线 的方程为(0,2)CcAFl直线 l 与 x 轴的交点 是 的外接,2ycx(,0)2c1FC圆的圆心，因此外接圆的方程为 ，直线 的22()y2B方程为 ，于是点 的坐标满足方程组()yxc,Hmn。229()4cmn第 9 页 共 12 页Page 9 of 12 由 ，解得 故 。0m53
16、,2cn25nm当 时，同理可得3k（法二）由（2）可知 ，当 时，得 ，由1230,cx23k(0,2)Ac已知得 ，由椭圆的对称性知 B,C, 三点共线。因为点(0,)Cc2F在 的外接圆上，且 所以四边形 为,)Hmn1AF1/,AB1CH等腰梯形，由直线 的方程为 ， 知点 H 的坐标为，2B()yxc，因为 ，所以 ，(,2)c1HC22)mca解得 （舍） ，或 ，则 ，所以53mc3n5n当 时，同理可得3k2【点评】 直线与二次曲线的位置关系通常有两种方法：几何法，代数法。【五】存在与最值问题例 7 若实数 满足 则 的最小值是（ ）,xy10,yA0 B1 C D9【点评】解
17、析几何中的最值问题也是常见的题型之一，本题考查线性规划知识，求目标函数的最值，考查数形结合这一数学思想的运用。例 8（2009 全国）已知椭圆 C 的方程为 的离心率为 ，过21(0)xyab3右焦点 F 的直线 与 C 相交于 A,B 两点，当 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 l 的l l距离为 。2第 10 页 共 12 页Page 10 of 12 (1)求 a , b 的值；(2)C 上是否存在点 P，使得当 绕 F 转到某一位置时，有l成立？若存在，求出所有的 P 点坐标与 的方程；若不OAB l存在，说明理由。【解析】（1）设 ，当 的斜率为 1 时，其方程为 ，O 到 的(,
18、0)Fcl 0,xycl距离为 ，故 ，由 ，得 。022,c3,cea3,2ab( 2 ) C 上存在点 P，使得当 绕 F 转到某一位置时，有 成立。l PAB由（1）知 C 的方程为 ，设236xy12(,)(,)AxyB（i）当 不垂直于 x 轴时，设 的方程 ，C 上的点 P，使l lk成立的充要条件是 P 点的坐标为 ，且OPAB 12(,)y，整理得 ，又 A , 2211()3()6xy21 122346xyxB 在 C 上，即 ，故 ，1,6x30将 代入 ，并化简得 ，()yk2y22()kk于是 ，2 212112122634,()3 3kxxyxk 代入解得， ，此时12于是 ，即 ，1212()kykx3(,)kP因此，当 时， ， 的方程为3(,)l20xy当 时， ， 的方程为2k2(,Pl（ii）当 垂直于 x 轴时，由 知，C 上不存在点 P 使得l (2,0)OAB成立。OAB综上，C 上存在点 ,使得 成立，此时 的方程为3(,)2PPOl。20xy
