1、第三章 无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器设计 二、双线性变换法 脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从 S平面到 Z平面的标准变换 z esT的多值对应关系导致的 ,为了克服这一缺点，设想变换分为两步： 第一步：将整个 S平面压缩到 S1平面的一条横带里； 第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个 Z平面上去。 由此建立 S平面与 Z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象。s平面 s1平面 z平面双线性变换法的映射关系为了将 S平面的 j轴压缩到 S1平面 j1轴上的 /T到 /T 一段上，可通过以下的正切变换实现：这里 C是待定常数。经过这样的频率变换， 当
2、 由时 , 1由 -/T经过变化到 /T ，即 S平面的整个 j轴被压缩到 S1平面的 /T到 /T 。将这一关系解析扩展至整个 S平面，则得到 S平面到 S1平面的映射关系： 再将 S1 平面通过标准变换关系映射到 Z平面，即令 通常取 C=2/T，考虑 z = ej, 图 1 双线性变换的频率关系 最后得 S平面与 Z平面的单值映射关系： 双线性换法的主要优点是 S平面与 Z平面一一单值对应， S平面的虚轴 (整个 j)对应于Z平面 单位圆的一周， S平面的 =0处对应于Z平面的 =0处。数字滤波器的频率响应终止于折迭频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。现在我们看看，这一变换是否符合我们一开始提出的由模拟滤波器设计数字滤波器时，从 S平面到 Z平面映射变换的二个基本要求： 当 时，代入 (1)式，得：对于虚轴 ,即 S平面的虚轴映射到 Z平面正好是单位圆。 代入 (2)式当 时，即 s左半平面映射在单位圆内， s右半平面映射在单位圆外，因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所得到的数字滤波器也是稳定的。
