1、第 1 页（共 19 页）集合 简易逻辑 导数测试题2017 年 05 月 03 日 shuxue168 的高中数学组卷一选择题（共 12 小题）1设 aR，则“a1” 是“a 21”的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件2原命题为“若 a n，nN +，则a n为递减数列 ”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）A真、真、真 B假、假、真 C真、真、假 D假、假、假3已知命题 p：若 xy，则 xy；命题 q：若 xy，则 x2y 2，在命题pq；pq；p（q ） ；（p）q 中，真命题是（ ）A B C D4设函数 f（x
2、）=xe x， g（x ）=x 2+2x， ，若对任意的xR，都有 h（x）f （x ）kg（x）+2成立，则实数 k 的取值范围是（ ）A B C D5已知函数 f（x）=x + ，g（x）=2 x+a，若x 1 ，3，x 22，3，使得f（x 1）g（x 2） ，则实数 a 的取值范围是（ ）Aa 1 Ba1 Ca0 Da06设集合 A=x|x1|2 ，B=y |y=2x，x 0，2 ，则 AB=（ ）A0 ，2 B （1，3） C1，3） D （1，4）7函数 f（x）= +lg 的定义域为（ ）A （2 ，3 ） B （2，4 C （2，3）（3，4 D （1，3）（3，68设 f（x
3、 ）=x sinx，则 f（x ） （ ）A既是奇函数又是减函数 B既是奇函数又是增函数第 2 页（共 19 页）C是有零点的减函数 D是没有零点的奇函数9已知函数 f（x）=x 3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（ ）Ax 0R，f（x 0）=0B函数 y=f（x）的图象是中心对称图形C若 x0 是 f（x ）的极小值点，则 f（x ）在区间（ ，x 0）上单调递减D若 x0 是 f（x ）的极值点，则 f（x 0 ）=010设 aR，若函数 y=ex+ax，x R，有大于零的极值点，则（ ）Aa 1 Ba1 C D11设 p：f（x ）=x 3+2x2+mx+1 在（ ，+）内单调递
4、增，函数 q：g （x ）=x24x+3m 不存在零点则 p 是 q 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件12已知函数 f（x ）及其导数 f（x） ，若存在 x0，使得 f（x 0）=f （x 0） ，则称 x0是 f（x）的一个“ 巧值点”下列函数中，有“巧值点”的是（ ）f（ x）=x 2；f（ x）=e x；f（ x）=lnx；f（ x）= A B C D二填空题（共 4 小题）13设x表示不大于 x 的最大整数，集合 A=x|x22x=3，B=x |2x8，则 AB= 14设集合 A=x|x22x 0，x R， ，则 AB= 15已知关于
5、x 的不等式 ax2+bx+c0 的解集为x|2x3，则关于 x 的不等式 cx2+bx+a 0 的解集为 第 3 页（共 19 页）16 “对 xR，ax 2+2x+1 0 成立” 的一个 条件是“0a1”（在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择填写） 三解答题（共 6 小题）17记关于 x 的不等式 的解集为 P，不等式|x1|1 的解集为 Q（）若 a=3，求 P；（）若 QP，求正数 a 的取值范围18已知 p：|1 |2；q：x 22x+1m20； 若 p 是q 的充分非必要条件，求实数 m 的取值范围19已知命题 p：“ x1，2，x 2a0“，命题 q：“x
6、R，使 x2+2ax+2a=0“，（1）写出命题 q 的否定； （2）若命题“p 且 q”是真命题，求实数 a 的取值范围20已知函数 f（x ）= +x 在 x=1 处的切线方程为 2xy+b=0（）求实数 a，b 的值；（）若函数 g（x）=f（ x）+ x2kx，且 g（x）是其定义域上的增函数，求实数 k 的取值范围21已知函数 （）当 a=1 时，求函数 f（x）的极值；（）讨论函数 f（x）的单调性22已知函数 f（x ）= + lnx ，其中 aR，且曲线 y=f（x）在点（1，f （1） ）处的切线垂直于直线 y= x（）求 a 的值；（）求函数 f（x）的单调区间与极值第 4
7、 页（共 19 页）2017 年 05 月 03 日 shuxue168 的高中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共 12 小题）1 （2016上海）设 aR，则 “a1”是“a 21”的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由 a21 得 a1 或 a 1，即“a1”是“a 21” 的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础2 （2014陕西）原命题为“ 若 a n，n N+，则
8、a n为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）A真、真、真 B假、假、真 C真、真、假 D假、假、假【分析】先根据递减数列的定义判定命题的真假，再判断否命题的真假，根据命题与其逆否命题同真性及四种命题的关系判断逆命题与逆否命题的真假【解答】解： a n= an+1a n，nN +，a n为递减数列，命题是真命题；其否命题是：若 a n，nN +，则a n不是递减数列，是真命题；又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题，命题的逆命题，逆否命题都是真命题故选：A【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，判断命题的真假及熟练掌握四种命题
9、的真假关系是解题的关键第 5 页（共 19 页）3 （2014湖南）已知命题 p：若 xy ，则 x y；命题 q：若 xy ，则 x2y 2，在命题pq；pq；p（q ） ；（p）q 中，真命题是（ ）A B C D【分析】根据不等式的性质分别判定命题 p，q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论【解答】解：根据不等式的性质可知，若若 xy ，则xy 成立，即 p 为真命题，当 x=1，y=1 时，满足 xy ，但 x2y 2 不成立，即命题 q 为假命题，则pq 为假命题；pq 为真命题；p（q）为真命题；（p ）q 为假命题，故选：C【点评】本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等
10、式的性质分别判定命题p，q 的真假是解决本题的关键，比较基础4 （2017南昌模拟）设函数 f（x）=xe x，g（x）=x 2+2x，若对任意的 xR，都有 h（x）f （x）kg（x）+2成立，则实数 k 的取值范围是（ ）A B C D【分析】由题设 h（x）f（x）kg（x）+2恒成立等价于 f（x）+kg（x）h（x）2k ；构造函数 H（ x）=f（x）+ kg（x） ，利用导数 H（x）判断 H（x ）的单调性，求出 H（x）的最值，判断不等式是否恒成立，从而求出 k 的取值范围【解答】解：由题设 h（x） f（x）kg（x）+2 恒成立，等价于 f（x ）+kg（x ）h（x）
11、2k；设函数 H（x） =f（x）+kg（x） ，第 6 页（共 19 页）则 H（x）=（ x+1） （e x+2k） ；（1）设 k=0，此时 H（x）=e x（x +1） ，当 x1 时 H（x）0，当 x1 时 H（x）0，故 x1 时 H（x ）单调递减， x1 时 H（x）单调递增，故 H（ x）H（1）=e 1；而当 x=1 时 h（x ）取得最大值 2，并且e 12，故式不恒成立；（2）设 k0 ，注意到 ，故式不恒成立；（3）设 k0 ，H（x）=（x+1） （e x+2k） ，此时当 x1 时 H（x） 0，当 x1 时 H（x）0，故 x1 时 H（x ）单调递减， x1
12、 时 H（x）单调递增，故 ；而当 x=1 时 h（x ） max=2，故若使式恒成立，则 ，解得 方法二：直接分离参数法求另一端函数最值 分子分母最值非常巧合的在同一个地方取到了最值。分子最大，分母最小之时。【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，也考查了构造函数思想与等价转化问题，是综合题5 （2016长沙二模）已知函数 f（x）=x+ ，g（x ）=2 x+a，若 x1 ，3，第 7 页（共 19 页）x22，3，使得 f（x 1）g（x 2） ，则实数 a 的取值范围是（ ）Aa 1 Ba1 Ca0 Da0【分析】由x 1 ，3，都 x22，3，使得 f（x 1）g（x 2） ，可得
13、 f（x）在x1 ，3的最小值不小于 g（x）在 x22，3的最小值，构造关于 a 的不等式，可得结论【解答】解：当 x1 ，3时，由 f（x ）=x+ 得，f（x）= ，令 f（x）0，解得：x 2，令 f（x）0，解得： x2，f（ x）在 ，2单调递减，在（ 2，3递增，f（ 2）=4 是函数的最小值，当 x22，3 时，g（x）=2 x+a 为增函数，g （2）=a+4 是函数的最小值，又x 1 ，3，都x 22，3，使得 f（x 1）g（x 2） ，可得 f（ x）在 x1 ，3的最小值不小于 g（x）在 x22，3的最小值，即 4a+4 ，解得：a0 ，故选：C【点评】本题考查的知
14、识是指数函数以及对勾函数函数的图象和性质，考察导数的应用，函数的单调性问题，本题是一道中档题6 （2014山东）设集合 A=x|x1|2，B=y|y=2 x，x 0，2，则 AB=（ ）A0 ，2 B （1，3） C1，3） D （1，4）【分析】求出集合 A，B 的元素，利用集合的基本运算即可得到结论【解答】解：A=x 丨丨 x1 丨2= x 丨1x3 ，B=y 丨 y=2x，x 0，2 =y 丨 1y 4，则 AB=x 丨 1y3，故选：C第 8 页（共 19 页）【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合 A，B 是解决本题的关键7 （2015湖北）函数 f（ x）= +lg
15、的定义域为（ ）A （2 ，3 ） B （2，4 C （2，3）（3，4 D （1，3）（3，6【分析】根据函数成立的条件进行求解即可【解答】解：要使函数有意义，则 ，即 ，0 等价为 即 ，即 x3， ，即 ，此时 2x3 ，即 2x3 或 x3，4 x4，解得 3x4 且 2x3，即函数的定义域为（2，3）（3，4，故选：C【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件8 （2015陕西）设 f（x）=x sinx，则 f（x） （ ）A既是奇函数又是减函数 B既是奇函数又是增函数C是有零点的减函数 D是没有零点的奇函数【分析】利用函数的奇偶性的定义判断 f（x ）
16、为奇函数，再利用导数研究函数的单调性，从而得出结论【解答】解：由于 f（x） =xsinx 的定义域为 R，且满足 f（ x）=x+sinx=f（x ） ，第 9 页（共 19 页）可得 f（ x）为奇函数再根据 f（x） =1cosx0，可得 f（x）为增函数，故选：B【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，利用导数研究函数的单调性，属于基础题9 （2013新课标）已知函数 f（x）=x 3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（ ）Ax 0R，f（x 0）=0B函数 y=f（x）的图象是中心对称图形C若 x0 是 f（x ）的极小值点，则 f（x ）在区间（ ，x 0）上单调递减D若
17、x0 是 f（x ）的极值点，则 f（x 0 ）=0【分析】对于 A，对于三次函数 f（x ）=x 3+ax2+bx+c，由于当 x时，y，当 x+时，y +，故在区间（ ，+ ）肯定存在零点；对于 B，根据对称变换法则，求出对应中心坐标，可以判断；对于 C：采用取特殊函数的方法，若取 a=1，b=1 ，c=0，则 f（x ）=x 3x2x，利用导数研究其极值和单调性进行判断；D：若 x0 是 f（x ）的极值点，根据导数的意义，则 f（x 0 ）=0，正确【解答】解：A、对于三次函数 f （x ）=x 3+ax2+bx+c，A：由于当 x时，y，当 x+时，y+ ，故x 0R，f （x 0）
18、=0，故 A 正确；B、f（ x）+f （x ）=（ x） 3+a（ x） 2+b（ x）+c+x 3+ax2+bx+c= +2c，f（ ）=（ ） 3+a（ ） 2+b（ ）+c= +c，f（ x） +f（x ）=2f （ ） ，第 10 页（共 19 页）点 P（ ，f（ ） ）为对称中心，故 B 正确C、若取 a=1，b=1，c=0 ，则 f（x ）=x 3x2x，对于 f（ x）=x 3x2x，f（ x）=3x 22x1由 f（x）=3x 22x10 得 x（， ）（1，+）由 f（x）=3x 22x10 得 x（ ，1）函数 f（x ）的单调增区间为：（ ， ） ， （1，+） ，减区间为：（ ，1） ，故 1 是 f（x ）的极小值点，但 f（x ）在区间（ ，1）不是单调递减，故 C 错误；D：若 x0 是 f（x ）的极值点，根据导数的意义，则 f（x 0 ）=0，故 D 正确由于该题选择错误的，故选：C【点评】本题考查了导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，及导数的运算10 （2008广东）设 aR，若函数 y=ex+ax，xR ，有大于零的极值点，则（ ）Aa 1 Ba1 C D【分析】先对函数进行求导令导函数等于 0，原函数有大于 0 的极值故导函数等于 0 有大于 0 的根，然后转化为两个函数观察交点，确定 a 的范围
