1、数论专题复习题集 page 1 of 7数论专题复习题集1、 甲、乙两人各写一个三位数，发现这两个三位数有两个数字是相同的（不一定是同一个数位上的数字相同） ，并且它们的最大公约数是 75，那么这两个三位数的和的最大值是 。2、 恰有 12 个不同约数的最小自然数是多少？3、甲数和乙数的最大公约数是 6，最小公倍数是 420，如果甲数比乙数大 18，那么乙数是 。4、 两数乘积为 2800，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多 1，那么这两个数分别是 、 。5、 已知三个两位奇数，它们的最大公约数是 1，但是两两均不互质，且三个数的最小公倍数共有 18 个约数，那么这三个数可以为 、
2、 、 。6、 最多可以写出多少个各不相同的正整数，使得其中任何 3 个的和都是质数？7、 有一种两位数 A，其 1 至 50 倍得到的 50 个自然数十位数字与个位数字总不相同，那么这个两位数可以是 。8、 有 3 个吉利数： 888， 518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得余数依次为a，a+7 ，a+10 求这个自然数。9、 小明有 200 个硬币，放在桌上，一开始正面朝上，现每次选择 n 个硬币并翻动，目的是用最少的次数把所有硬币都翻成反面朝上，结果用了 7 次。求所有这样的 n 的和。10、一个自然数除以 7、8、9 后分别余 3、5、7，而所得的三个商的和是 758，这个数是
3、 。11、甲、乙、丙三数分别为 526、539、705，某数 A 除甲数所得余数是 A 除乙数所得余数的 2 倍，A 除乙数所得余数与 A 除丙数所得余数的比是 2：3，那么 A 是 。数论专题复习题集 page 2 of 712、把一个两位数的两个数字颠倒过来得到一个新两位数，发现新两位数除以 7 的余数比旧两位数除以 7 的余数大 1，那这样的两位数共有 个。13、三个两位数从小到大排成了一个公差是 6 的等差数列，把它们写成五进制后，每个数的各位数字之和恰好从大到小，那么这样的三个数共有 组。14、两个相差是 4004 的自然数，它们都是 14 的倍数，且各位数字之和也是 14 的倍数，
4、那么满足要求的两个数最小为 和 。15、有一个十位数是由 0 到 9 这十个数字组成的，而且具有这个性质，前两位组成的数能被 2 整除，前三位组成的数能被 3 整除，前九位组成的数能被 9 整除，而整个数能被 10 整除。求这个十位数。16、九位数“ 学而思在华杯赛获奖 ”中，每个汉字代表 1 到 9 的一个不同数字，且这个九位数能被 33334 整除。求所有这样的九位数中最大的和最小的差除以 33334 得到的商。17、在一次体育课上，有 100 个学生，每个人有一个号码，从 1 到 100，站成一排。老师出示了一个正整数，然后每人用这个数除以自己的号码，如果整除则蹲下，否则站着。每个人都计
5、算得准确无误，完毕后，老师发现只有两个人站着。求这两个人编号之和的最小值和最大值。18、具有偶数个约数的三位数共有 个。19、记号(25) k表示 k 进制的数，如果(52) k是(25) k的两倍，请写出(123) k在十进制中所表示的数。20、记号(132) p 表示 p 进制的数，若(132) p=3(55)p，求(247)p 在十进制中表示的数。21、现有一些三位数（十进制） ，把它分别化成九进制和八进制数后，仍然是三位数，且该数在三种进制下的首位数字是三个连续自然数，那么其中最大的三位数为 。22、在右面的四个四位数的加法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数论专题复习
6、题集 page 3 of 7数字，但这个式子中有一个错误，其中有一个字母写错了，这个写错的字母应是 ，应将其改正为字母 。按照正确的算式，六位数 ABCDEX 应是 。ABCXDE23、将 1 至 9 这九个数分别填在下面的九个方格中，使等式成立：口口 口口 =口口口口口=4234这三个两位数中最大的一个是 。24、求 100 至 160 之间有 8 个约数的数有多少个？25、两个自然数的和是 360，其最大公约数与最小公倍数的和也是 360，那么这样自然数共有 组。26、两个不同的数，它们的最小公倍数是 90，那么这样的两个数共有 组。27、已知自然数 a、b、c 满足 a 和 b 的最大公
7、约数为 30，c 和 a，c 和 b 的最小公倍数都是480，那么满足条件的 a、 b、c 共有 组。28、一个盒子里面有 30 张卡片，每个卡片上面都写着一个不同的正整数。其中有 15 张是2 的倍数，10 张是 3 的倍数，6 张是 6 的倍数，请问其中最多有多少个质数？29、76 2009+252009 的末两位数是 。30、一列数 1，1，2，3，5，8，13，21，从第三项开始每一项是前两项的和，此数列的第 2000 项除以 8 的余数是 。31、 “19983627”的计算结果除以 19 的余数为 。32、将 1 至 1996 这 1996 个自然数依次写下来，得一多位数12345
8、678910111213199419951996，则这一多位数除以 9 的余数是 。数论专题复习题集 page 4 of 733、首位是 8，其余各位数字都不相同，并能被 9 整除的七位数中，最小的是 。34、数列 1、12、123、1234、 、 共有 8024 项，其中第205134个 206134 个一个能被 33 整除的是第 项。35、有一个十位数是由 0 到 9 这十个数字组成的，而且具有这个性质，前两位组成的数能被 2 整除，第二、三位组成的数能被 3 整除，第八、九位组成的数能被 9 整除，第九、十位组成的数能被 10 整除。求这个十位数。36、至少有一个数字是 0，且能被 4
9、整除的四位数有 个。37、有 15 家门牌号依次为 1 至 15，各家的电话号码是七位数，首位数字为大于 5 的连续自然数，且各家的电话号码都能被自家的门牌号整除，同时第 13 号的电话号码还能被17 整除，这家的电话号码是 。38、两个不同的两位数，它们都是质数，一前一后接起来就形成了一个四位数，已知这个四位数能被这两个数的平均数整除。求这两个两位数的和。39、1978 年这个年份有一个特征，它前两位组成的两位数 19 加上后两位组成的两位数 78刚好等于中间两位组成的两位数 97。那么 1978 以后，下一个具有这个“前两位组成的两位数加上后两位组成的两位数刚好等于中间两位组成的两位数”特
10、征的年份是什么？40、在 1，2，3，1995 这 1995 个数中找出所有满足下面条件的数 a 来：（1995+a）能整除 1995a。41、已知自然数 a、b、c 满足 a 和 b 的最大公约数为 30，c 和 a，c 和 b 的最小公倍数都是480，那么满足条件的 a、b、c 共有 组。42、考虑下列 32 个数： ， ， ， ，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘1!23!32!积为一个完全平方数，划去的那个数是 数论专题复习题集 page 5 of 743、已知可以将由 1 开始的自然数 1，2，3，n 重新排成一数列，使得任意连续三项之和，都能被这三项中的第一项整除，并且这个数列
11、的最末一项是奇数。（1）问：这个数列能否有连续二项是偶数？说明理由：（2）求 n 的最大值，并写出此时所有满足条件的数列。44、有一个自然数，它除以 15，17，19 所得到的商（1）与余数（0）之和都相等，这样的数最小可能是多少？45、有一天，Tom 抓了 100 只老鼠，很不幸，Jerry 也在其中。Tom 决定把老鼠排成一条直线，从 1 到 100 号编了号，从 1 号开始，吃一个隔一个，从排头吃到排尾，下一轮继续从排头开始，直到只剩下最后一个的时候就放掉。那么 Jerry 该站到哪个位置，才能保证不被Tom 吃掉呢？46、有一天，小猫 Tom 抓了 100 只老鼠，很不幸，Jerry
12、也在其中。Tom 决定把所有老鼠围成一圈，从 1 到 100 号编了号，从 1 号开始，吃一个隔一个，直到只剩下最后一个的时候就放掉。那么 Jerry 该站到哪个位置，才能保证不被 Tom 吃掉呢？47、圆周上放置有 7 个空盒子，按顺时针方向依次编号为 1，2，3，4，5，6，7。小明首先次第 1 枚白色棋子放入 1 号盒子，然后将第 2 枚白色棋子放入 3 号盒子，再将第 3 枚白色棋子放入 6 号盒子， 放置了第 K-1 枚白色棋子后，小明依顺时针方向数了 K-1 个盒子，并将第 K 枚白色棋子放在下一个盒子中，小明按照这个规则共放置了 200 枚白色棋子，随后，小青从 1 号盒子开始，
13、按照逆时针方向和同样的规则在这些盒子中放入了 300 枚红色棋子，请回答：每个盒子各有多少枚白色棋子？每个盒子各有多少枚棋子？48、一个五位回文数，它是 7 的倍数；如果将它的十位和个位互换，新得的五位数是 11 的倍数；如果将它的十位和百位互换，新得的五位数是 13 的倍数。那么，原五位数为 。49、若两位数的平方只有十位上的数字是 0，则这样的两位数共有 个。50、如果正整数 n 使得 ，则 n 为 （其中n表示不超过 x692345nn的最大整数）数论专题复习题集 page 6 of 751、求 720 的所有约数的倒数之和。52、两条平行线上共有 K 个点，用这 K 个点恰可以连接 1
14、309 个三角形，那么 K 是多少？53、一个自然数有 12 个约数 ，且 ， ，如果12312,d 12312dd 245d有一个约数 满足 ，且 ，求此自然数。kd45()k4k54、是否存在这样的自然数：在这个数后面写一遍这个数，新组成的数是一个完全平方数？如果存在，请举例；如果不存在请说明理由。55、在方框中填入适当的数字，使得除法竖式成立已知商为奇数，那么除数为 ：0900256、甲、乙、丙三数分别为 603，939，393某数 A 除甲数所得余数是 A 除乙数所得余数的 2倍，A 除乙数所得余数是 A 除丙数所得余数的 2 倍求 A 等于多少?57、找出满足下面三个条件的四个三位数
15、：（ 1）是奇数；（ 2）三个数字都是这个数的因数；（3）数字不能重复。则这四个三位数从小到大排列是： 。58、在圆周上放置有 2011 枚棋子，按顺时针方向依次编号为 1，2，3，2010，2011。首先取走 2 号棋子，然后按顺时针方向，每隔 2 枚棋子就取走 2 枚棋子，直到圆周上只余下2 枚棋子，问：它们的编号是多少？59、下面算式中，所有的分母都是四位数，请在每个方格中各填入一个数字，使等式成立。数论专题复习题集 page 7 of 7119860、请将 1，2，3，10 这 10 个自然数填入图中的 10 个小圆圈内，使得图中的 10 条直线上圆圈内数字之和都相等那么乘积 ？ABC
16、CBA61、13 个不同的自然数的和是 996，且这些数的各位数码之和都彼此相等，求这 13 个数。62、 是满足 的自然数，且 ，那么123,na 1230naa 123314naan 的最小值是多少？63、试确定积(2 1+1) (22+1) (23+1)(22011+1)的末三位的数字。64、在小于 2012 的所有正整数 中，使得 能被 7 整除的 共有多少个.n2nn65、有两个最简分数，差为六分之五。两个分数分子的最大公约数等于他们的差，两个分子的最小公倍数为 1050，问这两个最简分数是多少？66、一个五位数 中，每个数字各不相同且都不为零， 、 和 三个数都是 19ABCDEABCDE的倍数。则 _。
