1、12016-2017 学年江苏省镇江市高三（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1、已知集合 ， ，则集合 的元素的个数为 321,A4,BBA2、已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 z)(iiz3、若圆锥底面半径为 ，高为 ，则其侧面积为 54、袋中有形状、大小都相同的 只球，其中 只白球， 只黄球，从中一次随机摸出 只322球，则这 只球颜色不同的概率为 25、将函数 的图象向左平移 个单位后，所得函数图象关于)sin(45xy )(0轴对称，则 6、数列 为等比数列，且 成等差数列，则公差 na74153a, d7、已知函数 是定义在 上的
2、奇函数，当 时， ，则不等式)(xfR0xxf42)(的解集为 xf)(8、双曲线 的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离),(012bay心率为 9、圆心在直线 上，且与直线 相切于点 的圆的标准方程为xy401yx),(23P10、已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 是以椭圆短轴为直)(12nm21F,径的圆上任意一点，则 21PF11、定义在区间 上的函数 的最大值为 ),(0xxftansi)(812、不等式 （ 且 ）对任意 恒成立，则实数42xalnlog0a1),(10a的取值范围为 213、已知函数 与函数 的图象共有 （ ）个公共点：12xyxy1kN，),(1xA，
3、， ，则 ,2y),(kyxAkiiiyx1)(14、已知不等式 对任意 ， 恒成立，则22lnmRm),(0n实数 的取值范围为 二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤）15、已知向量 ，其中 ，且 )sin,(),(cos21m),(20nm（1）求 的值；2s（2）若 ，且 ，求角 的值10)in(),(216、在长方体 中， 1DCBA12AECB（1）求证： 平面 ；/1E（2）求证： 平面 317、如图，某公园有三条观光大道 围成直角三角形，其中直角边ACB,，mBC20斜边 现有甲、乙、丙三位小朋友分别在 大道上嬉戏，所在位A4 AC
4、B,置分别记为点 FED,（1）若甲乙都以每分钟 的速度从点 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端10时即停，乙比甲迟 分钟出发，当乙出发 分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；21（2）设 ，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的 倍，且 ，请将甲C23DEF乙之间的距离 表示为 的函数，并求甲乙之间的最小距离y418、已知椭圆 的离心率为 ，且点 在椭圆 上)(:012bayxC23),(21C（1）求椭圆 的标准方程；（2）若直线 交椭圆 于 两点，线段 的中点为 ， 为坐标原点，且 ，lQP, HO1H求 面积的最大值POQ519、已知 ，数列 的各项均为正数，前 项和为 ，且 ，设Nnnann
5、S21a,ab21（1）若数列 是公比为 的等比数列，求 ；n3n2（2）若对任意 ， 恒成立，求数列 的通项公式；N2aSnna（3）若 ，数列 也为等比数列，求数列的 通项公式)(123nS1n n620、已知函数 ， （ 为常数） xfln)()()12xg（1）若函数 与函数 在 处有相同的切线，求实数 的值；yy （2）若 ，且 ，证明： ；1x)(xf（3）若对任意 ，不等式恒 成立，求实数 的取值范围),g7江苏省镇江市 20162017 学年度第一学期高三期末统一考试高三数学答案及评分标准一、填空题题号 答案 考查内容 技能能力 要求1 5 集合表示与运算 运算 A2 2复数的
6、运算 运算 A3 6圆锥、扇形的面积 运算 A4 5古典概率 运算 A5 8三角函数图象与性质 数形结合、运算 B6 3 等差、等比数列 运算 B7,05,函数性质，解不等式 数形结合、运算 B8 12双曲线的几何性质 运算 B948xy圆 运算变形、转化 B10 2nm平面向量的数量积 运算 B11 3导数 运算 C12140,e,恒成立问题，基本不等式，换元运算 C13 2 函数的性质 运算变形、转化 C14 1恒成立问题，导数的应用 运算变形，分析思维 D二、解答题15. 解：法一（1）由 m n 得， ， ， 2 分2cosin0sin2cos代入 ，22cosi151且 ， ，(0)
7、， (0)，8则 ， ， 45cos25sin分则 . 6 分223css1()15（2）由 ， 得， .(0)， 0， ()2，因 ，则 . 9 分sin130cos()1则 ()incosin()12 分2530521因 ，则 . 14 分()， 4法二（1）由 m n 得， ， ， 2 分2cosin0ta2故 . 4 分22 1n43cosiit5（2）由（1）知， ， csi且 ， ， ，2csin1(0)2， (0)2，则 ， ， 6 分5i5cos由 ， 得， .(0)2， (0)2， ()2，因 ，则 . 9 分1sin310cos)则 i()in(cosin()12 分253
8、1052因 ，则 . 14 分()， 416.证明：（1）连结 交 于点 ，连结 .ACBDOE在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，四边形 ABCD 长方形，点 为 的中点， 2 分OAC 且 ，由 ，则 ，1AC12EA12C即点 为 的中点，于是在 中， . 4 分E11E又因为 平面 BDE， 平面 BDE所以 平面 BDE 6 分O1C / 19（2）连结 B1E设 ABa，则在 BB1E 中，BEB 1E ，BB 12a所以 ，所以 B1EBE 8 分221B由 ABCDA 1B1C1D1 为长方体，则 A1B1平面 BB1C1C， 平面 BB1C1C，所以 A1B1BE 10
9、 分因 B1E A1B1= B1，B 1E平面 A1B1E，A 1B1平面 A1B1E，则 BE平面 A1B1E12 分又因为 A1E平面 A1B1E, 所以 A1EBE 同理 A1EDE又因为 BE 平面 BDE，DE 平面 BDE，所以 A1E平面 BDE 14 分17.解：（1）依题意得 ， ，30BD10E在 中， ， ， 2 分BC1cos2A在 中，由余弦定理得：DE，22 21cos30130702BE . 6 分107答：甲乙两人之间的距离为 m. 7 分107（2）由题意得 ， ，2EFDyBECF在直角三角形 中， ， 9 分Ccos2cosy在 中，由正弦定理得 ，即 ，
10、BiniDBE02cosini60yy ， ， 12 分103503cosinsi()y2所以当 时， 有最小值 . 136y分答：甲乙之间的最小距离为 . 14 分503m18.解：（1）由已知得 ， ， 解得 ， ， 22ca214b24a12b分10椭圆 的方程是 . 4C214xy分（2）设 l 与 x 轴的交点为 ，直线 ，与椭圆交点为 ，(,0)Dn:lxmyn1(,)Pxy，(,)Qy联立 ， ，得 ，xmn214xy22(4)40yn，221,2()mny ， ， 24n214y ，即 ， 6 分1212()xmnm22(,)4nmH由 ，得 ， 10 分OH2()6n则 SPOQ ，1212|Dyny令 ， 12 分2221 4()()46(1)mTn 设 ，则 ， 14 分24tmt24(6) 82mtt当且仅当 ，即 ， SPOQ ， 15 分1t2t1所以 面积的最大值为 1. 16 分POQ19.解：（1） ， 1 分123ba.3 分223421123(1)(1)()()() 2nnn n nSab （2）当 时，由 ， ， nSnS则 ， 2221112()n nnaaa， ，(1)01()0nn故 ，或 .（*） 6 分1na1a下面证明 对任意的 N*恒不成立. nn
