1、定义 2.1 将 个随机变量 的整体称为 维随机向量，p12,pX p记为 。12(,)X定义 2.2 设 是 维随机向量，它的多元分布函12(,)p数定义为（2.2）1212),(,)p pFxPxXx 记为 ，其中 ， 表示 维欧氏空间。()pxR多维随机向量的统计特性可用它的分布函数来完整地描述。定义 2.3 设 是 维随机向量，若存在有限个或12,pX可列个 维数向量 ，记 ， 且满足px()kPXxp(1,2)，则称 为离散型随机向量，称 ，21 kPXxp为 的概率分布。(,)k设 ，若存在一个非负函数 ，使12(,)pFxxX ),(21pf得对一切 有,R（2.3）112121
2、(),)(,)pxpppfttdt 则称 为连续型随机变量，称 为分布密度函数，简X),(2xf称为密度函数或分布密度。一个 元函数 能作为 中某个随机向量的密度函数p),(21pxf pR的主要条件是：（1） ， ；0),(21pxf px),(21（2） ,pdf离散型随机向量的统计性质可由它的概率分布完全确定，连续型随机向量的统计性质可由它的分布密度完全确定。定义 2.4 设 是 维随机向量，称由它的12(,)pX个分量组成的子向量 的分布为 的边缘)(pq12(),)qiiiX X（或边际）分布，相对地把 的分布称为联合分布。当 的分布函数是 时， 的分布函数即边缘分布函X12(,)q
3、Fx (1)数为： 121(,)(,)qqFxPXx 11(,)qqpPXxX 12,qF 当 有分布密度 时（亦称联合分布密度函数） ，则)(pxf也有分布密度，即边缘密度函数为：(1)Xpqpq dxfxf ,),(), 112 定义 2.5 若 个随机变量 的联合分布等于各自的边p2,X缘分布的乘积，则称 是相互独立的。12,p定义 2.6 设 ，若 存在且有限，则()X()1,)iEp称 为 的均值（向量）或数学期望，12(),(pE有时也把 和 分别记为 和 ，即 ，容易iEi12(,)p推得均值（向量）具有以下性质：（1） ()()A（2） XB（3） ()YBY其中， 、 为随机
4、向量， 、 为大小适合运算的常数矩阵。A定义 2.7 设 ， ，称12,)pX 12(,)pY()()()DEE（2.4）1122 212,(,)(,)(,)(,pppCovXovCovXX 为 的方差或协差阵，有时把 简记为 ， 简记为)D(,)ijCovX，从而有 ；称随机向量 和 的协差阵为ijijpY()()()CovEE,XYY（2.5）11212 212,(,),(,)(,)(,)ppppCovCovXXovYY 当 时，即为 。=XD若 ，则称 和 不相关，由 和 相C,0互独立易推得 ，即 和 不相关；但反过()ov,0X来，当 和 不相关时，一般不能推知它们独立。XY当 、
5、为常数矩阵时，由定义可以推出协方差阵有如下性质：AB（1）对于常数向量 ，有a()(DXa（2） ()()DA（3） ,CovCovXYB（4）设 为 维随机向量，期望和协方差存在，记 ，n ()EX， 为 常数阵，则()EtrA这里我们应该注意到，对于任何的随机向量 来12(,)p说，其协差阵 都是对称阵，同时总是非负定（半正定）的。大多数情况是正定的。若 的协差阵存在，且每个分量的方差大于零，12(,)pX则称随机向量 的相关阵为 ，其中()ijpCorRX,()ijijijCovDi,1,（2.6）为 与 的相关系数。iXj在数据处理时，为了克服由于指标的量纲不同对统计分析结果带来的影响
6、，往往在使用各种统计分析之前，常需要将每个指标“标准化” ，即进行如下变换 ， *()jjjXED1,jp（2.7）那么由（2.7）构成的随机向量 。令，*12(,)p，有：12(,)pdiagC*EX那么，标准化后的随机向量 均值和协差阵分别为*X*11()()()0EC1111DD CCR即标准化数据的协差阵正好是原指标的相关阵。定理 2.1 设 ，则有 ，(,)PNX()EX()D多元正态分布的性质 1若 ， 是对角阵，则 相互独12(,)(,)pXN 1,pX立。2若 ， 为 阶常数阵， 为 维常数向量，则,pNAsds(,)dA即正态随机向量的线性函数还是正态的。3若 ，将 ， ，
7、作如下剖分(,)pXX1)2qp( (1)2qp12qpqpq则 ， 。(1)(1),qNX()(2)-,NX这里需要指出的是：第一，多元正态分布的任何边缘分布为正态分布，但反之不真。第二，由于 ，故 表(1)2)12,CovX120示 和 不相关，因此可知，对于多元正态变量而言， 和(1)(2) ()X的不相关与独立是等价的。2一、填空题：1.多元统计分析是运用 方法来研究解决 问题的理论和方法。2. 回归参数显著性检验是检验 对 的影响是否显著。3聚类分析就是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。通常聚类分析分为 聚类和 聚类。4相应分析的主要目的是寻求列联表 和 的基本分析特征和它
8、们的最优联立表示。5因子分析把每个原始变量分解为两部分因素：一部分为 ，另一部分为 。6.若 =1,2,3.n 且相互独立，则样本均值向量 服(),)PxN: x从的分布为_。二、名词解释1. 随机向量 2.相似数据 3.马氏距离（总体内两点间）三、简答1. 简述典型变量与典型相关系数的概念，并说明典型相关分析的基本思想。2. 简述相应分析的基本思想。3. 简述求度量 MDS 古典解的一般步骤。4. 简述费希尔判别法的基本思想。5. 简述多元统计分析中协差阵检验的步骤6. 在进行系统聚类分析时，不同的类间距离计算方法有何区别？请举例说明。7. 比较主成分分析与因子分析的异同点。8. 简述相应分
9、析的基本思想。9. 进行相应分析时在对因素A和因素B 进行相应分析之前没有必要进行独立性检验？为什么？四、计算:1.给出标准化变量X1，X 2, X3的协差阵（即相关阵）R ，同时给出R的特征值和相应的正交化特征向量。要求：1）计算因子载荷矩阵A ，并建立因子模型； 2）计算公因子的方差贡献，并说明其统计意义。2.下表是进行因子分析的结果,试根据下列信息计算变量共同度hi2 及公共因子 Fj 的方差贡献,并说明其统计意义.Component MatrixComponent 1 23 X1.969 -1.084E-02.205 X2.911 .321-.102 X3.847 -.120.323
10、X4.941 .281-2.693E-02 Extraction Method: Principal Component Analysis. a 3 components extracted.3.会用最短距离法和最长距离法进行聚类分析，并画谱系图。4.根据给定信息，会进行判别分析。5.给出资料阵，会求均向量，协差阵、相关阵。6. 会求矩阵的逆阵，特征根与特征向量。7. 给出总体资料的协差阵，会求主成分。8. 给出两组资料的相关阵，会计算典型相关系数。X5.899 .215-1.963E-02 X6-.313 .839.305 X7-.666 6.280E-02.679 X8.575 -.580.367
