1、 线性代数知识点总结第一章 行列式 二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的 n 个元素的乘积的和 nnnjjjjij aa.)1(2122).（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：行列式行列互换，其值不变。 （转置行列式 ）TD行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。常数 k 乘以行列式的某一行（列） ，等于 k 乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。行列式具有分行（列）可加性将行列式某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列
2、）展开：余子式 、代数余子式ijMijiijMA)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式 时，有唯一解：0D)21(njDxj 、齐次线性方程组 ：当系数行列式 时，则只有零解1逆否：若方程组存在非零解，则 D 等于零特殊行列式：转置行列式： 321313231 aa对称行列式: jiij反对称行列式: 奇数阶的反对称行列式值为零jiij三线性行列式: 方法：用 把 化为零， 。 。化为三角形行列331210a21ak1式上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化
3、三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念： （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵)mA*矩阵的运算：加法（同型矩阵）-交换、结合律数乘 -分配、结合律nmijka*)(乘法 注意什么时候有意义nmlkjinlkjlik babBA*1*)()(一般 AB=BA，不满足消去律；由 AB=0，不能得 A=0 或 B=0转置 T)( TTBA)(反序定理)kA方幂： 2121)(kk几种特殊的矩阵：对角矩阵：若 AB 都是 N 阶对角阵，k 是数，则 kA、A+B、 AB 都是 n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数（若）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若）对称矩阵
4、反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是 0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设 A 是 N 阶方阵，若存在 N 阶矩阵 B 的 AB=BA=I 则称 A 是可逆的， (非奇异矩阵、奇异矩阵 |A|=0、伴随矩阵)B1初等变换 1、交换两行（列）2.、非零 k 乘某一行（列）3、将某行（列）的 K 倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵 倍乘阵 倍加阵）等价标准形矩阵 OIDr矩阵的秩 r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若 A
5、可逆，则满秩若 A 是非奇异矩阵，则 r（AB）=r（B）初等变换不改变矩阵的秩求法：1 定义 2 转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵 ，行列式nijnijak)()(nijnijak逆矩阵注： AB=BA=I 则 A 与 B 一定是方阵 BA=AB=I 则 A 与 B 一定互逆；不是所有的方阵都存在逆矩阵； 若 A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵 A 的逆矩阵也是可逆的，且 1)(2、可逆矩阵 A 的数乘矩阵 kA 也是可逆的
6、，且 1Ak3、可逆矩阵 A 的转置 也是可逆的，且T TT)()(14、两个可逆矩阵 A 与 B 的乘积 AB 也是可逆的，且 11B但是两个可逆矩阵 A 与 B 的和 A+B 不一定可逆，即使可逆，但1)(BA 为 N 阶方阵，若|A|=0，则称 A 为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。5、若 A 可逆，则 1伴随矩阵：A 为 N 阶方阵，伴随矩阵： （代数余子式）21*A特殊矩阵的逆矩阵：（对 1 和 2，前提是每个矩阵都可逆）1、分块矩阵 则COBAD11COB2、准对角矩阵 ， 则4321A 143121AA3、 4、 （A 可逆）I* 1*5、 6、 （A 可逆）1*n *1*7、 8、
7、*TA *BA判断矩阵是否可逆：充要条件是 ，此时0*1求逆矩阵的方法：定义法 IA1伴随矩阵法*初等变换法 只能是行变换1|AIn初等矩阵与矩阵乘法的关系：设 是 m*n 阶矩阵，则对 A 的行实行一次初等变换得到的矩阵，等nmija*于用同等的 m 阶初等矩阵左乘以 A：对 A 的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种n 阶初等矩阵右乘以 A （行变左乘，列变右乘） 第 3 章 线性方程组消元法 非齐次线性方程组：增广矩阵简化阶梯型矩阵r(AB)=r(B)=r 当 r=n 时，有唯一解；当 时，有无穷多解nrr(AB) r(B)，无解齐次线性方程组：仅有零解充要 r(A)=n 有非零解充
8、要 r(A)n当齐次线性方程组方程个数未知量个数，一定有非零解当齐次线性方程组方程个数=未知量个数，有非零解充要|A|=0齐次线性方程组若有零解，一定是无穷多个N 维向量：由 n 个实数组成的 n 元有序数组。希腊字母表示（加法数乘）特殊的向量：行（列）向量，零向量 ，负向量，相等向量，转置向量向量间的线性关系: 线性组合或线性表示向量组间的线性相关（无）：定义 179P向量组的秩：极大无关组（定义 P188）定理：如果 是向量组 的线性无关的部分组，则它是 rjj,.21 s,.21极大无关组的充要条件是： 中的每一个向量都可由 线性表出。s rjj,.21秩:极大无关组中所含的向量个数。定
9、理：设 A 为 m*n 矩阵，则 的充要条件是：A 的列（行）秩为 r。r)(现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示注：两个向量 ，若 则 是 线性组合 k单位向量组任意向量都是单位向量组的线性组合零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身的线性组合向量组间的线性相关（无）注： n 个 n 维单位向量组一定是线性无关一个非零向量是线性无关，零向量是线性相关含有零向量的向量组一定是线性相关若两个向量成比例，则他们一定线性相关向量 可由 线性表示的充要条件是n,.21 ).().(2121 TnTTnTrr 判断是否为线性相关的方法 ：1、定义法：设 ，求 （适合
10、维数低的）nk.21nk.212、向量间关系法 ：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关83P3、分量法（n 个 m 维向量组） ：线性相关（充要）180 nrTT).(21线性无关（充要） nrTT).(2推论 当 m=n 时，相关，则 ；无关，则31 0321T当 mn 时，线性相关推广：若向量 组线性无关，则当 s 为奇数时，向量组s,.21也线性无关；当 s 为偶数时，向量组也线性相关。1321,s定理：如果向量组 线性相关，则向量 可由向量组 线性表出，,.,21s s,.21且 表示法唯一的充分必要条件是 线性无关。s,.21极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的，但他们所含向
11、量的个数是确定的；不全为零的向量组的极大无关组一定存在；无关的向量组的极大无关组是其本身；向量组与其极大无关组是等价的。齐次线性方程组（I）解的结构：解为 .,21（I）的两个解的和 仍是它的解；21（I）解的任意倍数 还是它的解；k（I）解的线性组合 也是它的解， 是任意常数。scc.21 sc,.21非齐次线性方程组（II）解的结构：解为 .,21（II）的两个解的差 仍是它的解；21若 是非齐次线性方程组 AX=B 的一个解，v 是其导出组 AX=O 的一个解，则 u+v 是（II）的一个解。定理：如果齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩 ，则该方程组的基础解系存在，nr)(且在每个基础解
12、系中，恰含有 n-r 个解。若 是非齐次线性方程组 AX=B 的一个解，v 是其导出组 AX=O 的全部解，则u+v 是（II）的全部解。第 4 章 向量空间向量的内积 实向量定义：（，）= nTbaba.21性质：非负性、对称性、线性性(,k)=k(,);(k,k)= (,); 2k(+, )=(, )+(, )+(, )+(, );,),(),111 jisjrijsjrii lklk nR,向量的长度 ,(的充要条件是 =0； 是单位向量的充要条件是（ ，）=10单位化向量的夹角正交向量： 是正交向量的充要条件是（ ， ）=0正交的向量组必定线性无关正交矩阵：阶矩阵 IAT性质：1、若
13、A 为正交矩阵，则可逆，且 ，且 也是正交矩阵；T11A、若 A 为正交矩阵，则 ；、若 A、为同阶正交矩阵，则也是正交矩阵；、阶矩阵（ ）是正交矩阵的充要条件是的列（行）向量组是 ija标准正交向量；第五章 矩阵的特征值和特征向量特征值、特征向量A 是 N 阶方阵，若数 使 AX= X，即（ I-A）=0 有非零解，则称 为 A 的一 个特征值，此时，非零解称为 A 的属于特征值 的特征向量。|A|= n.*21注： 1、AX= X 2、求特征值、特征向量的方法求 将 代入（ I-A）X=0 求出所有非零解0AIii3、对于不同的矩阵，有重根、单根、复根、实根（主要学习的）特殊： 的特征向量
14、为任意 N 阶非零向量或nI)( )(21不 全 为 零inc4、特征值： 若 是 A 的特征值)0(则 -1A则 -m则 -k若 =A 则- =0 或 12A若 =I 则- =-1 或 1若 =O 则- =0k迹 tr(A )：迹（A）= naa21性质：1、N 阶方阵可逆的充要条件是 A 的特征值全是非零的2、A 与 有相同的特征值13、N 阶方阵 A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关4、5、P281相似矩阵定义 P283：A、 B 是 N 阶矩阵，若存在可逆矩阵 P，满足 ，则矩阵 A 与 B A1相似，记作 AB性质 1、自身性：AA,P=I2、对称性：若 AB 则 BA B1 1
15、PP)(3、传递性：若 AB、BC 则 AC - AP1C21- CA)()(21214、若 AB，则 A 与 B 同（不）可逆5、若 AB，则 两边同取逆，1BAP11B6、若 AB，则它们有相同的特征值。 （特征值相同的矩阵不一定相似）7、若 AB，则 初等变换不改变矩阵的秩)(r例子： 则BAP1 1010A=OOA=II1A=I矩阵对角化定理：N 阶矩阵 A 与 N 阶对角形矩阵相似的充要条件是 A 有 N 个线性无关的特征向量注：1、P 与中的 顺序一致ix与2、A, 则 与 P 不是唯一的推论：若 n 阶方阵 A 有 n 个互异的特征值，则 （P281）定理：n 阶方阵 的充要条件
16、是对于每一个 重特征根 ，都有iKiiiKIr)(注：三角形矩阵、数量矩阵 的特征值为主对角线。I约当形矩阵约当块：形如 的 n 阶矩阵称为 n 阶约当块；1J约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵 （ 是约当块）nJJ21i称为约当形矩阵。定理：任何矩阵 A 都相似于一个约当形矩阵，即存在 n 阶可逆矩阵 。AP1第六章 二次型二次型与对称矩阵只含有二次项的 n 元多项式 f()称为一个 n 元二次型，简称二次型。标准型：形如 的二次型，称为标准型。规范型：形如 的二次型，称为规范型。线性变换矩阵的合同：设 AB 是 n 阶方阵，若存在一个 n 阶可逆矩阵 C，使得 则称 A 与 B
17、是合同的，记作 A B。合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、化二次型为标准型：配方法、做变换（二次型中不含有平方项）10第一章 行列式一行列式的定义和性质1. 余子式 和代数余子式 的定义ijMijA例 1 行列式 第二行第一列元素的代数余子式 （ ）01021AA B2C D1 2测试点 余子式和代数余子式的概念解析 ,0102121 11()020AM答案 B2行列式按一行或一列展开的公式1） 1 1,2,;(,2,)n nijij ijijAaAnAaAn 2） 1 1 ; 00nijk ijkkki 例 2 设某 阶行列式的第二行元素分别为 对应的余子式分别为 则此行列式的值为 .3,233,21测试点 行列式按行(列)展开的定理解 212232123)()()()DAMM340例 3 已知行列式的第一列的元素为 ，第二列元素的代数余子式为 2,3,4,x 问 .,4 测试点 行列式的任意一行(列)与另一行(列)元素的代数余子式的乘积之和为零.解 因第一列的元素为 ，第二列元素的代数余子式为 2,3,4,x,故1,32 1243()20x所以 x3行列式的性质
