精选优质文档-倾情为你奉上实数完备性基本定理的相互证明（30个）一.确界原理 1.确界原理证明单调有界定理 证 不妨设为有上界的单调递增数列.由确界原理，数列有上确界，令，下面证明：.对任意的，由上确界的定义，存在数列中某一项,使得：.由于单调递增,故对任意的，有：.另一方面,由于是的一个上界,故对任意的正整数都有：.所以任意的，有：，即：.由极限的定义，.同理可证单调递减有下界的数列必有极限，且其极限即为它的下确界. 2.确界原理证明区间套定理 证明：设是一个闭区间套. 令数集.由于任一都是数列的上界，由确界原理，数集有上确界，设.下证属于每个闭区间显然，故只需证明对任意正整数，都有.事实上，对任意正整数，都是的上界，而上确界是最小上界，故必有. 所以存在实数，使得下证唯一性，假设还有另外一点，也满足.则，故有:.唯一性得证. 3.确界原理证明有限覆盖定理 证明：欲证闭区间的任一开覆盖都有有限的子覆盖.令显然有上界.又覆盖闭区间，所以，存在一个开区间，覆盖住了.取，则显然能被中有限个
