1、1第三讲 含绝对值不等式与一元二次不等式一、知识点回顾1、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点 A（ a）离开原点的距离 ）aOA0,a2、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号）（1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如 ）；xgf（4）图象法或数形结合法；（5）不等式同解变形原理：即axax0axa或0cbccb cbxccb或xgfgf gfgfgf 或xfx 或3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。4、二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。（见
2、 P8）5、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化，以及含字母的有关问题的讨论，渗透数形结合思想。6、解一元二次不等式的步骤：（1）将不等式化为标准形式 或02cbxa02cbxa(2)解方程 02cbxa(3)据二次函数 的图象写出二次不等式的解集。y2一、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。（一）、公式法：即利用 与 的解集求解。ax主要知识：1、绝对值的几何意义： 是指数轴上点 到原点的距离； 是指数轴上 ，x21x1x两点间的距离.。
3、2x2、 与 型的不等式的解法。ax当 时，不等式 的解集是0a或,不等式 的解集是 ;ax当 时，不等式 的解集是 R不等式 的解集是 ;x3 与 型的不等式的解法。cbaxc2把 看作一个整体时，可化为 与 型的不等式来求解。baxax当 时，不等式 的解集是0ccbaxcbaxc或,不等式 的解集是 ;当 时，不等式 的解集是Rx不等式 的解集是 ;例 1 解不等式 32x分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“ ”2x看着一个整体。答案为 。(解略)51（3） 532x(2) 9(1)解：原不等式等价于 ，所以不等式解集为02x 32x(2)解：（1）法一
4、：原不等式 或 902x902由解得 ，由解得43xx或 原不等式的解集是 3或法二：原等式等价于 9)(2x43x或423xx或原不等式的解集是 3x或法三：设 ，由 解得非曲直),921 yy（ 92x，在同一坐标系下作出它们的图象，由图得使 的 的范围是,4321xx 21yx，或原不等式的解集是 34x或评析：数形结合策略运用要解出两函数图象的交点。（二）、定义法:即利用 去掉绝对值再解。(0),.a例 2。解不等式 。2x分析:由绝对值的意义知， a0， a0。aao-3 3 x9 y33解:原不等式等价于 0 x(x+2)0 -2x0。2x练习： 32(1)解：原不等式等价于 ，所
5、以不等式解集为x 32（三）、平方法:解 型不等式。()fxg例 3、解不等式 。123解:原不等式 2()()22(3)(1)0x(2x-3+x-1)(2x-3-x+1) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j方法 2：数形结合从形的方面考虑，不等式|x-3|-|x+1| 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j变式：（1）若 恒成立，求实数 a 的取值范围。ax解：由几何意义可知， 的最小值为 1，所以实数 a 的取值范围为 。1,（2）数轴上有三个点 A、B、C，坐标分别为-1， 2，5，在数轴上找一点 M，使它到A、B、C 三点的距离之和最小。解：设 M（x，0）则它
6、到 A、B、C 三点的距离之和 1xxf5即 1,63285,4xxf由图象可得：当 6minf时四、典型题型1、解关于 的不等式x10832x解：原不等式等价于 ，2即 2x362x或 原不等式的解集为 ),1(,(2、解关于 的不等式 231x解：原不等式等价于 204753x3、解关于 的不等式x12x解：原不等式可化为 22)()( 02即 )13(x解得： 原不等式的解集为 ),3(4、解关于 的不等式x12mxR解： 当 时，即 ，因 ，故原不等式的解集是空集。0120x 当 时，即 ，原不等式等价于212)12(xm解得： m6综上，当 时，原不等式解集为空集;当 时，不等式解集
7、为21m21mx15、解关于 的不等式x1312x解：当 时，得 ，无解3)()(当 ，得 ，解得： 2x13)1(2x2143x当 时，得 ，解得：1xx综上所述，原不等式的解集为 ，43()216、解关于 的不等式 x51（答案： ）),23,(解：五、巩固练习1、设函数 ;若 ，则 的取值范围是 .)2(,312)(fxxf则 2)(xf2、已知 ，若关于 的方程 有实根，则 的取值范围aR104aa是 3、不等式 的实数解为 12x4、解下列不等式7 ； ； ； 4321x|2|1|x|21|2|4x ； ； （ ）|74aR5、若不等式 的解集为 ，则实数 等于 （ ）6a,.A8.
8、B2.C.D86、若 ，则 的解集是（ ） xR10x且 且.0.1.1x.x17、 对任意实数 ， 恒成立，则 的取值范围是 ；1|2|aa对任意实数 ， 恒成立，则 的取值范围是 ；2x3x若关于 的不等式 的解集不是空集，则 的取值范围是 ； 3|4|8、不等式 的解集为（ ）02.A|1x.B|25x.C|25x.D|105xx9、解不等式： 10、方程 的解集为 ，不等式 的解集是 ； 32 x12、不等式 的解集是（ ）x0)1(.A2,.B)21,(,(.C),21(.D)21,0(11、不等式 的解集是 359.,7,.,4.,4,7.,4,712、 已知不等式 的解集为 ，求
9、 的值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ax)0(cxRx1| a13、解关于 的不等式：解关于 的不等式 ；3m2)(R14、不等式 的解集为（ ）.1|3.A(0,2)B(2,0)(,4).C(4,0).D(4,)(0,2)15、 设集合 ， ，则 等于 ( ) xxR12xyRCAB.R.,.16、不等式 的解集是 2117、设全集 ，解关于 的不等式： Ux10xax（参考答案）1、 6 ； ； 2、 4,083、 )23,(),(4、 1x或 21x 12x或 5272x或 7315x或 当 时， ；当 时，不等式的解集为0aa05、C 6、D 7、 ； ； ；34a8、C 9、 10、 ；251x或 02xx或02x或11、D 12、 15 13、 当 时， ；当 时， ；当 时，mR0mmx4mx24 当 ，即 时，不等式的解集为 ； 01a112a当 ，即 时，不等式的解集为 ；14、D 15、B 16、 ，0()17、当 ，即 时，不等式的解集为 ；x或当 ，即 时，不等式的解集为 ；01a11当 ，即 时，不等式的解集为 ； R
