1、 1圆锥曲线题型总结（2015）一圆锥曲线的定义第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点 F ，F 的距离的和等于常数 ，122a且此常数 一定要大于 ，当常数等于 时，轨迹是线段 F F ，当常数小于 时，无轨迹；2a21F21F1F双曲线中，与两定点 F ，F 的距离的差的绝对值等于常数 ，且此常数 一定要小于|F F |，定义aa2中的“绝对值”与 |F F |不可忽视。若 |F F |，则轨迹是以 F ，F 为端点的两条射线，若121212|F F |，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。2a12定义的试用条件：例 1：已知定点 ，在满足下列条件
2、的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的（ ）)0,3(,21A B C D42PF621PF1021F1221PF例 2：方程 表示的曲线是_2(6)()8xyxy利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离：例 3：如已知点 及抛物线 上一动点 P（ x,y）,则 y+|PQ|的最小值是_)0,2(Q42y例 4：点 A（3，2）为定点，点 F 是抛物线 的焦点，点 P 在抛物线 上移动，若2 y24x取得最小值，求点 P 的坐标。|PF利用定义求轨迹：例 5：动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹方程例 6：已
3、知 、 是椭圆的两个焦点, 是椭圆上的一个动点,如果延长 到 ,使得 ,那2 1FPQ2PF么动点 的轨迹是( )QA、椭圆 B、圆 C、直线 D、点例 7：已知动圆 过定点 ，并且在定圆 的内部与其相内切，求动圆圆心P)0,3(A64)3(:2yxB的轨迹方程.2例 8：已知 ， 是圆 （ 为圆心）上一动点,线段 的垂直平分线交)0,21(AB4)21(:yxFFAB于 ,则动点 的轨迹方程为 BFP定义的应用：例 9：椭圆 上一点 到焦点 的距离为 2， 为 的中点， 是椭圆的中心，则 的1925yxM1FN1MFOON值是 真题：【2015 高考福建，理 3】若双曲线 的左、右焦点分别为
4、 ，点 在双曲线 上，且2:196xyE12,FPE，则 等于（ ）13PF2A11 B9 C5 D3【2013 新课标卷文科 21】已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 外切并且与圆 内切，圆心 的2:(1)Mxy2:(1)9NxyPMNP轨迹为曲线 。C（）求 的方程；（） 是与圆 ，圆 都相切的一条直线， 与曲线 交于 ， 两点，当圆 的半径最长是，求lPlCABP。|AB【2015 新课标 1 卷文科 16】已知 是双曲线 的右焦点，P 是 C 左支上一点， ，当 周长最小时，该P2:18yCx0,6AAPF三角形的面积为 二.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时
5、的标准位置的方程）：3椭圆：焦点在 轴上时： 双曲线：焦点在 轴上时：x y焦点在 轴上时： 焦点在 轴上时：抛物线方程：求方程的方法：定义法、待定系数法、直接法、代入法、参数法、几何法等。关键是形数结合，建立等量关系例 10：设中心在坐标原点 ，焦点 、 在坐标轴上，离心率 的双曲线 C 过点 ，则O1F2 2e)10,4(PC 的方程为_例 11：与双曲线 有相同渐近线，且经过点 A（ ，3）的双曲线的方程是_9162yx例 12：已知直线 l:y=x+3 与双曲线 ，如果以双曲线的焦点为焦点作椭圆，使椭圆与 l 有公1432yx共点，求这些椭圆中长轴最短的椭圆方程。例 13：已知椭圆方程
6、焦点在 x 轴，且过 两点，则椭圆方程是_352,1，与例 14：双曲线的离心率等于 ，且与椭圆 有公共焦点，则该双曲线的方程_25492yx例 15：椭圆 的焦点坐标是（ ） 20()axbyabA B C DD (,0),(,0)ba(0,)ba例 16：已知中心在原点的椭圆 C 的两个焦点和椭圆 的两个焦点一个正方形的四个顶3694:22yx点，且椭圆 C 过点 A（2，3） ，求椭圆 C 的方程。真题：【2015 高考广东，理 7】已知双曲线 ： 的离心率 ，且其右焦点 ，则双曲C12byax54e25,0F线 的方程为（ ）CA B. C. D. 1342yx1962yx1692yx
7、1432yx4【2015 高考新课标 1，理 14】一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该2164xy圆的标准方程为 .【2015 高考天津，理 6】已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线210,xyab2,3的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为( )247yA B. C. D. 218x218x2134xy2143xy三.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）椭圆：由 , 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。双曲线：由 , 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。例 17：已知
8、方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是 12myx例 18：已知方程 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 k 的范围是 .ak例 19：如果方程 表示焦点在 轴上的椭圆，求实数 的取值范围。2yxy例 20：方程 ，k 为 时,方程为双曲线。当 k 为 时，方程为焦点为 x 轴的椭圆。1592k例 21：方程 表示双曲线的充要条件是什么？（ABC0，且 A，B 异号） 。2AxByC例 22：已知抛物线 ，则此抛物线的焦点坐标为 .准线方程为 .241x四.圆锥曲线的几何性质（离心率、渐近线等）离心率问题：椭圆（以 （ ）为例）：范围： ；焦点：两个焦点12byax0a,axb
9、y；对称性：两条对称轴 ，一个对称中心（0,0） ，四个顶点 ，其中长(,0)c,xy(,0)ab轴长为 2 ，短轴长为 2 ；离心率： ，椭圆 ， 越小，椭圆越圆； 越大，椭圆越cea01ee5扁。a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；注重数形结合思想不等式解法双曲线（以 （ ）为例）：范围： 或 ；焦点：两个焦点21xyab0,abxa,yR；对称性：两条对称轴 ，一个对称中心（0,0） ，两个顶点 ，其中实轴长为(,0)cxy(,0)a2 ，虚轴长为 2 ，特别地，当实轴和虚
10、轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；离心率： ，双曲线 ，等轴双曲线 ， 越小，开口越小，,xykcea1e2e越大，开口越大；两条渐近线：e byx抛物线（以 为例）：范围： ；焦点：一个焦点 ，其中 的几何2(0)ypx0,yR(,0)2p意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴 ，没有对称中心，只有一个顶点（0,0） ；准线：一条准线 ； 离心率： ，抛物线 。2xcea1e离心率求法：（1）画出图型，尽量把能表示的边都用关于 的式子表示cb,（2）通过几何关系，建立关于 的等式cba,（3）消去 ，同时除以 ，解关于 的方程b或2e例 23：椭圆 ： 的两焦点为 ，椭圆上存
11、在点 使G21(0)xyab12(,0)(,FcM. 则椭圆离心率 的取值范围是 .120FMe例 24：在平面直角坐标系 中，若双曲线 的离心率为 ，则 的值为 xOy214xym5m例 25：过椭圆 C： 的左焦点作直线 l x 轴，交椭圆 C 于 A， B 两点，若 OAB(O21(0)ab为坐标原点)是直角三角形，则椭圆 C 的离心率 为 .e例 26：设 12F是椭圆 的左、右焦点， 为直线 32ax上一点， 是底2:1(0)xyEabP12PF角为 30的等腰三角形，则 的离心率为 .6例 27：双曲线 （a0,b0）的两个焦点为 F1、F 2,若 P 为其上一点，且|PF 1|=
12、2|PF2|,则双曲线离21xyb心率的取值范围为 .真题：【2015 高考湖北，理 8】将离心率为 的双曲线 的实半轴长 和虚半轴长 同时增加1e1Ca()ba个单位长度，得到离心率为 的双曲线 ，则（ ）(0)m22A对任意的 ， B当 时， ；当 时，,ab12eb12e12eC对任意的 ， D当 时， ；当 时，aab【2015 高考新课标 2，理 11】已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上， ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则 E 的离心率为（ ）A B C D532【2015 高考湖南，理 13】设 是双曲线 ： 的一个焦点，若 上存在点 ，使线段
13、的FC21xyabCPF中点恰为其虚轴的一个端点，则 的离心率为 .【2015 高考山东，理 15】平面直角坐标系 中，双曲线 的渐近线与抛物xoy21:0,xyab线 交于点 ，若 的垂心为 的焦点，则 的离心率为 .2:0Cxpy,OAB2C1【2013 新课标卷文科 5】设椭圆 的左、右焦点分别为 是 上的点2:1(0)xyCab12,FPC，则 的离心率为( )2112,30PFA B C D36 13 12 33渐近线及其它问题：例 28：设 、 分别为双曲线 （ 0、 0）的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点1F221,xyababp，满足 ，且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长，
14、则该双曲线的渐近线方程为 212P21PF例 29：已知 、 为双曲线 的左、右焦点，点 在 上， ，则2:CxyPC12|FP12cosF例 30：过抛物线 的焦点 的直线交该抛物线于 两点，若 ，则 = 4yxF,AB|3|B7例 31：以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的最小值为 例 32：设双曲线 （a0,b0）中，离心率 e ,2,则两条渐近线夹角 的取值范围是 12byax 2真题：【2015 高考安徽，理 4】下列双曲线中，焦点在 轴上且渐近线方程为 的是（ ）y2yx（A） （B） （C） （D ）21yx21x214x214【2015 高
15、考重庆，理 10】设双曲线 （a0,b0）的右焦点为 1，过 F 作 AF 的垂线与双曲线交2y于 B,C 两点，过 B,C 分别作 AC，AB 的垂线交于点 D.若 D 到直线 BC 的距离小于 ，则该双2ab曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）A B C D(1,0),(,1)(,)(2,0)(,)2()【2015 高考上海，理 9】已知点 和 的横坐标相同， 的纵坐标是 的纵坐标的 倍， 和 的轨迹QQQ分别为双曲线 和 若 的渐近线方程为 ，则 的渐近线方程为 1C21 3yx2C五点、直线和圆锥曲线的关系：点与椭圆的位置关系：（1）点 在椭圆外 ；0(,)Pxy201xyab（2）点
16、在椭圆上 1；0(,)20（3）点 在椭圆内 ；0(,)Pxy02xyab直线与圆锥曲线的位置关系：P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的8两条切线，共四条；P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P 为原点时不存在这样的直线；例 33：当 为何值时,直线 和椭圆 (1)相交；(2)相切；(3)相离。mmxyl: 14692yx例 34：若直线 与椭圆 有两个公共点，则实数 的取值范围为 2
17、kxy32yxk例 35：已知椭圆 ， 是 轴正方向上的一定点，若过点 ，斜率为 1 的直线被椭圆截得的21AA弦长为 ，求点 的坐标314例 36：直线 ykx1=0 与椭圆 恒有公共点，则 m 的取值范围是_215xym例 37：过点 作直线与抛物线 只有一个公共点，这样的直线有_ )4,2(xy82例 38：若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点，则 k 的取值范围是_例 39：过点(0,2)与双曲线 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 _1692yx例 40：过双曲线 的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点，若AB4，则这样的直线有_21条例 41
18、：对于抛物线 C： ，我们称满足 的点 在抛物线的内部，若点xy42024xy),(0yM在抛物线的内部，则直线 ： 与抛物线 C 的位置关系是_),(0yxMl)(0例 42：直线 与双曲线 交于 、 两点。 当 为何值时， 、 分别在双曲线的1ax132yxABaAB两支上？当 为何值时，以 AB 为直径的圆过坐标原点？ 9真题：【2015 高考四川，理 5】过双曲线 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线213yx于 A，B 两点，则 （ ）(A) (B) (C)6 （D ）432 43六焦半径及弦长公式的计算方法： 若直线 与圆锥曲线相交于两点 A、B，且 分别为 A、
19、B 的横坐标，则 ykxb12,xAB，若 分别为 A、B 的纵坐标，则 ，若弦 AB 所在直线方程设2112,y 212yk为 ，则 。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一xkyb12ky般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解（了解） 。抛物线的焦点弦公式： （ 为直线的倾斜角）221sinpxAB例 43：过抛物线 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，则 ABC 重y心的横坐标为_例 44：已知抛物线方程为 ，若抛物线上一点到 轴的距离等于 5，则它到抛物线的焦点的距离等x82y于例 45：点 P 在椭圆
20、 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点 P 的横坐标为1925y_例 46：抛物线 上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5，则线段 AB 的中点到 轴的距离为_xy2 y七焦点三角形问题：1.椭圆焦点三角形面积 ；双曲线焦点三角形面积2tanbS 2cotbS2.常利用第一定义和正弦、余弦定理求解3. 四者的关系在圆锥曲线中的应用；2,mn周长为 ：a410例 47：已知 、 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于 、 两点。若1F21952yx1FAB，则 2BAA例 48：已知 的顶点 、 在椭圆 上，顶点 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个C132yx焦点在 边上，则 的周长
21、为 例 49：已知椭圆的方程是21(5)xya，它的两个焦点分别为 12F， ，且 128，弦 AB过 1F，则 2ABF 的周长为 例 50：短轴长为 ，离心率 的椭圆的两焦点为 、 ，过 作直线交椭圆于 A、B 两点，则532e121的周长为 _2椭圆焦点三角形面积 ；双曲线焦点三角形面积2tanbS 2cotbS例 51：设 P 是等轴双曲线 右支上一点，F 1、F 2是左右焦点，若 ，)0(yx 021FP|PF1|=6，则该双曲线的方程为 例 52：椭圆 的焦点为 F1、F 2，点 P 为椭圆上的动点，当 0 时，点 P 的横坐标的取值294xy PF2 PF1 范围是 例 53：已知双曲线的离心率为 2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 ，6021，求该双曲线的标准方程312FPS真题：【2015 高考新课标 1，理 5】已知 M（ ）是双曲线 C： 上的一点， 是 C 上的两个0,xy21xy12,F焦点，若 ，则 的取值范围是( )20FA.（- ， ） B.（- ， ） C.（ ， ） D.（ ， ）336233八抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1） ， （2） （3） （4）cospAFcos1pBFpBFA21221sinpxAB
