1、 1二项式定理常见题型总结（2015 版）1二项式定理：，01() ()nnnrnrnabCabCabCbN 2基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做 的二项展开式。()n二项式系数:展开式中各项的系数 .rn0,12,)项数：共 项，是关于 与 的齐次多项式(1)rab通项：展开式中的第 项 叫做二项式展开式的通项。用 表示。rnrC 1rnrTCab3注意关键点：项数：展开式中总共有 项。(1)顺序：注意正确选择 , ,其顺序不能更改。 与 是不同的。ab()nab()na指数： 的指数从 逐项减到 ，是降幂排列。 的指数从 逐项减到 ，是升幂排列。各项的次数和等于 .n00 n系数：注
2、意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是 项的系数是 与 的12,.rnnCCab系数（包括二项式系数） 。4常用的结论：令 1,abx012() ()n rnnnCxxxN 令 , 1)rnC 5性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 ，0nC1knC二项式系数和：令 ,则二项式系数的和为 ，1ab012 2rnnnnC 变形式 。2rnC 奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令 ，则: ，1,ab0123(1)(1)0nnnnCC从而得到： 02421322r rnnnnnnC2奇数项的系数和与偶数项的系数和： 0120120
3、100123(), (1)nnnnn nnnnaxCaxxCaCaxxaxax 令 则 令 则 024135, ()2(1)(), nnnaa 得 奇 数 项 的 系 数 和 得 偶 数 项 的 系 数 和二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数 是偶数时，则中间一项的二项式系数 取得最大值。2nC如果二项式的幂指数 是奇数时，则中间两项的二项式系数 , 同时取得最大值。n12nC系数的最大项：求 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别()nabx为 ，设第 项系数最大，应有 ，从而解出 来。121,nAr12rrAr题型一：求二项展开式例 1：求 的展开式；4)3(x例
4、2：求 的展开式；4)1(x题型二：二项式定理的逆用例 3： 1232166 .nnnCC例 4：计算 ；cCnnn3)1(.2793133例 5： 12319.nnnCC题型三：利用通项公式求 的系数nx例 6： 展开式中 的系数是（ ） 92)1(x9例 7：在二项式 的展开式中倒数第 项的系数为 ，求含有 的项的系数？3241()nx3453x例 8：求 展开式中 的系数是 29)x6例 9： 的展开式中含 15x的项的系数为 183真题：【2015 高考陕西，理 4】二项式 的展开式中 的系数为 15，则 （ ）(1)nxN2xnA4 B5 C6 D7【2015 高考广东，理 9】在
5、的展开式中， 的系数为 .4)(【2015 高考四川，理 11】在 的展开式中，含 的项的系数是 （用数字作答）.521x2x【2015 高考天津，理 12】在 的展开式中， 的系数为 .642【2015 高考上海，理 11】在 的展开式中， 项的系数为 （结果用数值表示） 1025x2x题型四：利用通项公式求常数项例 10：求二项式 的展开式中的常数项 210()x例 11：求二项式 的展开式中的常数项 6()2x例 12：若 的二项展开式中第 项为常数项，则21()nx5_.n4题型五：二项式系数和问题（奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和）例 13：若 展开式中偶数项系数和为 ，求
6、 .231()nx256n例 14：若 的展开式中，所有的奇数项的系数和为 ，求它的中间项3521()nx 1024例15：设二项式 的展开式的各项系数的和为 ，所有二项式系数的和为 ,若 ,则 等于31()nxps27pn多少？例 16：若nx13的展开式中各项系数之和为 ，则展开式的常数项为多少？64【2015 高考湖北，理 3】已知 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式(1)nx系数和为（ ）A. B C D12 1210292题型六：最大系数，最大项；例 17：在二项式 的展开式中，系数最小的项的系数是 1)(x例 18：求 展开式中系数最大的项84)21
7、(x例 19：已知 ，若展开式中第 项，第 项与第 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最1(2)nx567大项的系数是多少？5例 20：在 的展开式中，只有第 项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？31()2nx5例 21：若展开式前三项的二项式系数和等于 ，求 的展开式中系数最大的项？791(2)nx题型七：含有三项变两项或两个二项式相乘例 22： 的展开式中，常数项是 3)21(x例 23： (1)naxby展开式中不含 x的项的系数绝对值的和为 243，不含 y的项的系数绝对值的和为 32，则,bn的值可能为（ ）A 2,5n B 2,1,6abn C 16a D 5 例
8、 24： 的展开式中， 项的系数是 72)(x（ 3x例 25： 的展开式中，常数项是 9)21(x例 27： 342(1)x求 展 开 式 中 的 系 数 .例 28： 61034()x求 展 开 式 中 的 常 数 项 .6真题：【2015 高考新课标 1，理 10】 的展开式中， 的系数为( )25()xy52xy（A）10 （B）20 （C）30 （D）60【2012 年高考安徽卷理科 7】 的展开式的常数项是（ ）2521()x()3()()D【2015 高考新课标 2，理 15】 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 _4()1a a题型八：赋值法例 29：设 ，则
9、0156.)1( axx 621.a例30： 209123209 20912(1) (),aaxaxaxxR若 则 的 值 为例 31： 54321012345(2) , _.xaxaxaa若 则例 32：若(x1) 4(x4) 8a 0(x3) 12a 1(x3) 11a 2(x3) 10a 11(x3)a 12，则 log2(a1a 3a 5a 11)_题型九：整除性例 33：求证： 能被 7 整除。15例 34：证明： 能被 64 整除2*389()nN7例 35：求 被 9 除的余数180真题：【2012 年高考湖北卷理科 5】设 aZ，且 0a13，若 512012+a 能被 13 整除，则 a= A.0 B.1 C.11 D.12例 36：求 的展开式中有理项共有 项103)(x例 37：在(3 2 )11 的展开式中任取一项，则所取项为有理项的概率 P_.x 3x
