三次函数的切线问题(总4页).doc

高考中三次函数图象的切线问题镇江实验高中 杨勇一、已知斜率为与三次函数图象相切的切线三次函数1、,斜率时，有且只有一条切线；时，有两条不同的切线；时，没有切线；2、,斜率时，有且只有一条切线；时，有两条不同的切线；时，没有切线；证明 1、 当时， 当 时，方程有两个相同解，所以斜率为的切线有且只有一条；其方程为： 当时，方程，有两个不同的解，且=-，即存在两个不同的切点，且两个切点关于三次函数图象对称中心对称。所以斜率为的切线有两条。当时，方程无实根，所以斜率为的切线不存在。2、时，读者自己证明。二、过三次函数图象上一点的切线设点P为三次函数图象上任一点，则过点P一定有直线与的图象相切。若点P为三次函数图象的对称中心，则过点P有且只有一条切线；若点P不是三次函数图象的对称中心，则过点P有两条不同的切线。证明 设 过点P的切线可以分为两类。1 P为切点 切线方程为：2 P不是切点，过P点作图象的切线，切于另一点Q（） 又