三角形四心的向量性质(总8页).doc

三角形“四心”的向量性质及其应用一、三角形的重心的向量表示及应用命题一已知是不共线的三点，是内一点，若则是的重心证明：如图1所示，因为，所以 以，为邻边作平行四边形，则有，所以又因为在平行四边形中，交于点，所以，所以是的边的中线故是的重心点评：解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法例1如图2所示，的重心为为坐标原点，试用表示解：设交于点，则是的中点，图2而点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键变式：已知分别为的边的中点则证明：如图的所示， 图3 变式引申：如图4，平行四边形的中心为，为该平面上任意一点，则证明：，点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则（2）若与重合，则上式变为0