1、高级中学高三数学（理科）试题一、选择题：（每小题 5 分，共 60 分）1、已知集合 A=xR|x|2，B=xZ|x 21，则 AB=（ ） A、1，1 B、2，2 C、 1，0 ，1 D、 2， 1，0，1 ，2【答案】C 解：根据题意，|x|22x2，则 A=xR|x|2=x|2x2， x211x1，则B=xZ|x21=1，0，1，则 AB=1，0，1；故选：C2、若复数 （a R，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值为（ ） 3iA、3 B、 3 C、0 D、 【答案】A 解： = 是纯虚数，则 ，解得：a=3故选 A3、命题“ x 0R， ”的否定是（ ） A、 xR，x 2x1
2、0 B、 xR，x 2x10C、 x0R， D、 x0R， 【答案】A 解：因为特称命题的否定是全称命题， 所以命题“ x0R， ”的否定为：xR，x 2x10故选：A4、 张丘建算经卷上第 22 题为：“今有女善织，日益功疾，且从第 2 天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织 5 尺布，现有一月（按 30 天计），共织 390 尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（ ） A、18 B、20 C、21 D、25 【答案】C 解：设公差为 d，由题意可得：前 30 项和 S30=390=305+ d，解得 d= 最后一天织的布的尺数等于 5+29d=5+29 =21故选：C5、已知二项式 的
3、展开式中常数项为 32，则 a=（ ） 43axA、8 B、 8 C、2 D、2【答案】D 解：二项式（x ） 4 的展开式的通项为 Tr+1=（a） rC4rx4 r，令 4 =0，解得 r=3，（a）3C43=32， a=2，故选：D6、函数 y=lncosx（ x ）的大致图象是（ ） A、 B、 C、 D、【答案】A 解：在（0 ， ）上，t=cosx 是减函数，y=lncosx 是减函数，且函数值 y0， 故排除B、C ；在（ ，0）上，t=cosx 是增函数，y=lncosx 是增函数，且函数值 y0，故排除 D，故选：A7、 若数列 满足 ，且 与 的等差中项是 5， 等于( B
4、 ) na*12(0,)Nnna+=2a412na+（A） （B） （C） （D）2-1-1n-8、 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A、1 B、 C、 D、【答案】B 解：由三视图知几何体是一个四棱锥， 四棱锥的底面是一个平行四边形，有两个等腰直角三角形，直角边长为 1 组成的平行四边形，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且侧棱长为 1，四棱锥的体积是 故选 B9、设 a0，b0，若 2 是 2a 与 2b 的等比中项，则 的最小值为（ ） A、8 B、4 C、2 D、1 【答案】C 解： 2 是 2a 与 2b 的等比中项， 2a2b=4，a+b=2， （a+b ）=1 ，而
5、a0，b 0， =（ ）（ + ）=1+ + 1+2 =2，当且仅当 a=b=1 时取等号故选：C10、若函数 f（x ）=2sin（ ）（2 x10）的图象与 x 轴交于点 A，过点 A 的直线 l 与函数的图象交于 B、C 两点，则（ + ） =（ ） A、32 B、 16 C、16 D、32 【答案】D 解：由 f（x）=2sin（ ）=0 可得 x=6k2，kZ ， 2x10 x=4 即 A（4，0） 设 B（x 1 ， y1），C（x 2 ， y2） 过点 A 的直线 l 与函数的图象交于 B、C 两点B，C 两点关于 A 对称即 x1+x2=8，y 1+y2=0 则（ + ） =（
6、x 1+x2 ， y1+y2）（4，0）=4（x 1+x2）=32 故选 D11、已知双曲线 =1（a0 ，b0）的右顶点为 A，若双曲线右支上存在两点 B，C 使得ABC 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是（ ） A、（1，2 ）B、（2，+ ）C、（1 ， ）D 、（ ， +）【答案】C 【解析】【解答】解：如图，由ABC 为等腰直角三角形，所以BAx=45， 设其中一条渐近线与 x 轴的夹角为 ，则 45，即 tan1，又上述渐近线的方程为 y= x，则 1，又 e= ， 1e ，双曲线的离心率 e 的取值范围（1 ， ），故选 C12、已知函数 f（x ）=x+xl
7、nx，若 kZ，且 k（x 1）f（x ）对任意的x1 恒成立，则 k 的最大值为（ ） A、2 B、3 C、4 D、5【 答案】B 解：由 k（x1） f（x ）对任意的 x1 恒成立， 得：k ，（x1），令 h（x）= ，（x1），则 h（x ）= ，令 g（x）=xlnx2=0，得：x2=lnx，画出函数 y=x2，y=lnx 的图象，如图示：g（x）存在唯一的零点，又 g（3）=1ln30，g（4）=2ln4=2（1 ln2）0，零点属于（3，4）；h（x ）在（ 1，x 0）递减，在（x 0 ， +）递增，而 3h（3 ）= 4 ， h（4 ）= 4， h（x 0）4，k Z，k
8、的最大值是 32、 填空题：（每小题 5 分，共 20 分）13、若 x，y 满足 则 z=x+2y 的最大值为_ 【答案】2 解：由足约束条件 作出可行域如图， 由 z=x+2y，得 y= + 要使 z 最大，则直线 y= + 的截距最大，由图可知，当直线 y= + 过点 A 时截距最大联立 ，解得 ，A（0，1），z=x+2y 的最大值为0+21=2故答案为：2 14、已知向量 =（1，2 ）， （ + ），则向量 在向量 方向上的投影为_ 【答案】 解：由 （ + ），则 （ + ）=0，即 2+ =0，则 =丨 丨 2 ， 向量 在向量 方向上的投影为 =丨 丨= = ，故答案为： 1
9、5、斜率为 k（k0）的直线 l 经过点 F（1 ，0）交抛物线 y2=4x 于 A，B 两点，若 AOF 的面积是BOF 面积的 2 倍，则 k=_ 【答案】2 【解析】【解答】解：S AOF=2SBOF ， yA=2yB ， 设 AB 的方程为 x=my+1（m0），与 y2=4x联立消去 x 得 y24my4=0，y A+yB=4m，y AyB=4由可得 m= ，k=2 。16、定义在 上的函数 对任意 都有 ，且函数 的图Rfx122,x120fxf1yfx象关于（1,0）成中心对称，若 满足不等式 ，则当 时， 的,st 2fsft14s2ts取值范围是 .【解析】不妨设 ，则 由
10、，知 ，即12x120x12()0fxf12()0fxf，所以函数 为减函数因为函数 的图象关于 成中心对称，所以12()fxf()f (yf,)为奇函数，所以 ，所以 ，即y222()sftt22st因为 ，而在条件 下，易求得()2)0st31tststs()014t，所以 ，所以 ，所以 ，即.1,ts,2ts,621ts35,2ts15,2ts三、解答题：17、（本小题满分 12 分）已知函数 （其中 0 ），若 f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为 (1)求 y=f（x）的单调递增区间； (2)在 ABC 中角 A、B、C 的对边分别是 a，b，c 满足（2b a）cosC=
11、ccosA，则 f（B）恰是 f（x）的最大值，试判断ABC 的形状 （1 ） 解： ， = ，f（x）的对称轴离最近的对称中心的距离为 ，T=， ，=1， 得：， 函数 f（x ）单调增区间为 ；（2 ）解：（2ba）cosC=ccosA，由正弦定理， 得（2sinB sinA）cosC=sinCcosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C），sin（A+C）=sin（B）=sinB0 ，2sinBcosC=sinB，sinB（2cosC1 ）=0， ，0C ， ， ， ，根据正弦函数的图象可以看出，f（B）无最小值，有最大值 ymax=1，此时 ，即 ，
12、， ABC 为等边三角形。18、（本小题满分 12 分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为 T，其范围为 0，10，分为五个级别，T0 ，2 ）畅通； T2，4）基本畅通；T4 ，6）轻度拥堵；T6，8）中度拥堵； T8，10严重拥堵早高峰时段（T3），从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的50 个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如右图 （）这 50 个路段为中度拥堵的有多少个？（）据此估计，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？（III）某人上班路上所用时间若畅通时为 20 分钟，基本畅通为 30 分钟，轻度拥堵为
13、 36 分钟；中度拥堵为 42 分钟；严重拥堵为 60 分钟，求此人所用时间的数学期望解：（）（0.2+0.16）150=18，这 50 路段为中度拥堵的有 18 个 （）设事件 A“一个路段严重拥堵”，则 P（A） =0.1，事件 B 至少一个路段严重拥堵”，则 P =（1 P（A） 3=0.729P（B） =1P（ ）=0.271，所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是 0.271（III）由频率分布直方图可得：分布列如下表：X 30 36 42 60P 0.1 0.44 0.36 0.1E（X）=300.1+360.44+420.36+600.1=39.96 此人经过该路段所用时间的数
14、学期望是 39.96 分钟 19、 （本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱 A1B1C1ABC 中，侧面 ABB1A1是边长为 2 的正方形，直角三角形边满足 AC=BC，E 是 CB1 上的点，且 BE平面 ACB1 （）求证：AC 平面 BB1C；（）求二面角 BAB1C 的平面角的余弦值证明：在直三棱柱 A1B1C1ABC 中， BB1平面 ABC，BB1AC，直角三角形边满足 AC=BC， ACBC，又 BCBB1 ， AC平面 BB1C（）解：以 C 为原点，CA 为 x 轴，CB 为 y 轴，CC 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，侧面 ABB1A1 是边长为 2 的正方形，直
15、角三角形边满足 AC=BC，2AC 2=4，解得 AC=BC= ，B（0， ，0），A（ ），B 1（0， ，2）， C（0 ，0，0），=（ ， ，2）， = ，设平面 BAB1 的法向量 =（x，y，z），则 ，取 x= ，得 =（1， 1，0），设平面 AB1C 的法向量 =（ a，b ，c ），取 b= ，得 =（0， ， 1），设二面角 BAB1C 的平面角为 ，cos=cos = = 20、已知 A（x 0 ， 0），B（ 0，y 0）两点分别在 x 轴和 y 轴上运动，且|AB|=1，若动点 P（x，y）满足 (1)求出动点 P 的轨迹对应曲线 C 的标准方程； (2)一条纵截距
16、为 2 的直线 l1 与曲线 C 交于 P，Q 两点，若以 PQ 直径的圆恰过原点，求出直线方程； (3)直线 l2：x=ty+1 与曲线 C 交于 A、B 两点，E（1 ，0），试问：当 t 变化时，是否存在一直线 l2 ， 使ABE 的面积为 ？若存在，求出直线 l2 的方程；若不存在，说明理由 （1 ）解：因为 ，所以 ，所以 ，又因为|AB|=1，所以 ，即： ，即 ，所以椭圆的标准方程为 （2 ）解：直线 l1 斜率必存在，且纵截距为 2，设直线为 y=kx+2 联立直线 l1 和椭圆方程 ，得：（3+4k 2）x 2+16kx+4=0，由0 ，得 （*），设 P（x 1 ，y 1）
17、，Q（x 2 ，y 2），则 （1）以 PQ 直径的圆恰过原点，所以 OPOQ， ，即 x1x2+y1y2=0，也即 x1x2+（kx 1+2）（kx 2+2）=0，即（1+k 2）x 1x2+2k（x 1+x2）+4=0，将（1）式代入，得 +4=0，即 4（1+k 2） 32k2+4（3+4k 2）=0，解得 ，满足（ *）式，所以 所以直线方程为 y= x+2（3 ）解：由方程组 ，得（3t 2+4）y 2+6ty9=0（*） 设 A（x 1 ， y1），B（x 2 ， y2），则 所以 ，因为直线 l：x=ty+1 过点 F（1，0 ），所以 SABE= |EF|y1y2|= 2 =
18、令= =2 ，则 不成立，故不存在直线 l 满足题意。21、已知函数 f（x ）=alnx+x 2+bx（a 为实常数） (1)若 a=2，b= 3，求 f（x）的单调区间； (2)若 b=0，且 a2e 2 ， 求函数 f（x）在1 ，e上的最小值及相应的 x 值； (3)设 b=0，若存在 x1，e，使得 f（x） （a+2 ）x 成立，求实数 a 的取值范围 （1 ）解：a= 2，b=3 时，f （x）= 2lnx+x23x，定义域为（0，+）， ，当 x（0，2 ）时，f（x ）0 ，当 x（2，+）时，f（x）0，所以函数 f（x）的单调增区间为（2，+ ）；单调减区间为（ 0，2）
19、；（2 ）解：因为 b=0，所以 f（x）=alnx+x 2，x 1，e，2x 2+aa+2，a+2e 2，（i） 若 a2，f （x ）在1，e上非负（仅当 a=2，x=1 时，f（x）=0），故函数 f（x）在1，e上是增函数，此时f（x） min=f（1 ）=1；（ii）若2e 2a 2，a+20， a+2e20 ，x1 ，e，当 时，f（x）=0， ，当 时，f （x ）0 ，此时 f（x ）是减函数；当 时，f （x ） 0，此时 f（x）是增函数故 ；（3 ）解：b=0，f（x）=alnx+x 2 不等式 f（x ）（a+2）x， 即 alnx+x2（a+2）x 可化为 a（xln
20、x）x22x因为 x1，e，所以 lnx1x 且等号不能同时取，所以 lnxx，即 xlnx0，因而 （x 1，e），令 （x1 ，e ），又 ，当 x1，e时，x10，lnx1，x+2 2lnx0，从而 g（x）0（仅当 x=1 时取等号），所以 g（x）在1，e上为增函数，故 g（x ）的最小值为 g（1）=1 ，所以实数 a 的取值范围是1，+）。请考生在 22,23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22、 （本题满分 10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数）在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位且以原点 O 为极点，以
21、x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为=6sin(1) 求圆 C 的直角坐标方程； (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A， B若点 P 的坐标为（1 ，2），求|PA|+|PB|的最小值 （1 ）解：由 =6sin 得 2=6sin，化为直角坐标方程为 x2+y2=6y，即 x2+（y 3） 2=9（2 ）解：将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得 t2+2（cos sin）t 7=0 由=（2cos 2sin） 2+470 ，故可设 t1 ， t2 是上述方程的两根，所以 又直线 l 过点（1，2 ），故结合 t 的几何意义得|PA|+|PB|= 所以|PA|+|PB|的最小值为 23（本题满分 10 分）设函数 f（x ）=|2x+2| |x2|（）求不等式 f（x）2 的解集；（）若 xR，f（x）t 2 t 恒成立，求实数 t 的取值范围 解：（）函数 f（x）=|2x+2| |x2|= ， 当 x1 时，不等式即x 42，求得 x6 ，x6 当1x2 时，不等式即 3x2，求得 x ， x2当 x2 时，不等式即 x+42，求得 x2，x2综上所述，不等式的解集为x|x 或 x6 （）由以上可得 f（x）的最小值为 f（1）= 3，若 xR，f（x）t 2 t 恒成立，只要3t 2 t，即 2t27t+60，求得 t2。
