1、2019 届云南师大附中高三上学期第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知全集 U 和集合 A，B 如图所示，则（ UA） B=（）A 5，6 B 3，5，6 C 3 D 0，4，5，6，7，82 （5 分） =（）A 2i B i C 1i D 1+i3 （5 分）在如下的四个电路图中，记：条件 M：“开关 S1”闭合；条件 N：“灯泡 L 亮” ，则满足 M 是 N的必要不充分条件的图为（）A B C D4 （5 分）下列命题中为真命题的是（）A 命题“若 xy，则 x|
2、y|”的逆命题B 命题“x1，则 x21”的否命题C 命题“若 x=1，则 x2+x2=0”的否命题D 命题“若 x20，则 x1”的逆否命题5 （5 分）等差数列a n的公差为 2，前 n 项和为 Sn，若 a1+1，a 3，a 6成等比数列，则 Sn=（）A n（n+1） B n2 C n（n1） D 2n6 （5 分）已知向量 ， 满足 | |= ， =1，则| + |=（）A B 2 C D 107 （5 分）在区间0，1内任取两个实数，则这两个实数的和大于 的概率为（）A B C D8 （5 分）在ABC 中，已知 sinC=2sinAcosB，那么ABC 一定是（）A 等腰直角三角
3、形 B 等腰三角形C 直角三角形 D 等边三角形9 （5 分）已知函数 f（x）及其导数 f（x） ，若存在 x0，使得 f（x 0）=f（x 0） ，则称 x0是 f（x）的一个“和谐点” ，下列函数中f（x）=x 2；f（x）= ；f（x）=lnx；f（x）=x+ ，存在“和谐点”的是（）A B C D 10 （5 分）将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得 BD=a，则三棱锥 DABC 的体积为（）A B C D11 （5 分）如图，网格纸上小方格的边长为 1（表示 1cm） ，图中粗线和虚线是某零件的三视图，该零件是由一个底面半径为 4cm，高为 3cm 的圆锥毛
4、坯切割得到，则毛坯表面积与切削得的零件表面积的比值为（）A B C D12 （5 分）若函数 f（x）=alnx+ 在区间（1，+）上单调递增，则实数 a 的取值范围是（）A （，2 B （，1 C 1，+） D 2，+）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）设 A、B 分别是椭圆 =1（ab0）的左、右顶点，点 P 在 C 上且异于 A、B 两点，若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 ，则 C 的离心率为14 （5 分）定义一种新运算“”：S=a b，其运算原理如图 3 的程序框图所示，则 3654=15 （5 分）设奇函数 f（x）在（0，+）上为单
5、调递增函数，且 f（2）=0，则不等式0 的解集为16 （5 分）已知数列a n中，a 1=1，前 n 项和为 Sn，且 Sn+1=2Sn+1（nN *） ，则 an=三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （12 分）已知函数 f（x）=cos 2x sinxcosx+2sin2x（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）若 x0， ，求函数 f（x）的值域18 （12 分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数 X 依次为 1，2，3，4，5现从一批该日用品中随机抽取 20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X 1 2 3 4 5f a
6、 0.2 0.45 b c（）若所抽取的 20 件日用品中，等级系数为 4 的恰有 3 件，等级系数为 5 的恰有 2 件，求 a、b、c 的值；（）在（）的条件下，将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1，x 2，x 3，等级系数为 5 的 2 件日用品记为 y1，y 2，现从 x1，x 2，x 3，y 1，y 2，这 5 件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同） ，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，四边形 ABCD 为长方形，AD=2AB，点 E、F 分别是线段 PD、PC 的
7、中点（）证明：EF平面 PAB；（）在线段 AD 上是否存在一点 O，使得 BO平面 PAC，若存在，请指出点 O 的位置，并证明 BO平面PAC；若不存在，请说明理由20 （12 分）如图，已知抛物线 C：y 2=2px 和M：（x4） 2+y2=1，过抛物线 C 上一点 H（x 0，y 0）作两条直线与M 相切于 A、B 两点，分别交抛物线为 E、F 两点，圆心点 M 到抛物线准线的距离为 （1）求抛物线 C 的方程；（2）当AHB 的角平分线垂直 x 轴时，求直线 EF 的斜率21 （12 分）已知函数 f（x）=ax1lnx，aR（）讨论函数 f（x）的单调区间；（）若函数 f（x）在
8、 x=1 处取得极值，对x（0，+ ） ，f（x）bx2 恒成立，求实数 b 的取值范围【选修 4-4：坐标系与参数方程】 （共 1 小题，满分 0 分）22在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为 （）求圆 C 的圆心到直线 l 的距离；（）设圆 C 与直线 l 交于点 A、B若点 P 的坐标为（3， ） ，求|PA|+|PB|【选修 4-5：不等式选讲】 （共 1 小题，满分 0 分）23已知一次函数 f（x）=ax2（1）解关于 x 的不等式|f
9、（x）|4；（2）若不等式|f（x）|3 对任意的 x0，1恒成立，求实数 a 的范围2019 届云南师大附中高三上学期第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知全集 U 和集合 A，B 如图所示，则（ UA） B=（）A 5，6 B 3，5，6 C 3 D 0，4，5，6，7，8考点： 交、并、补集的混合运算 专题： 计算题分析： 先由文氏图求出集合 U，A，B，再由集合的运算法则求出（C UA）B解答： 解：由图可知，U=0，1，2，3，4，5，6，7，8
10、，A=1，2，3，B=3，5，6，（C UA）B=0，4，5，6，7，83，5，6=5，6故选 A点评： 本题考查集合的运算和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意文氏图的合理运用2 （5 分） =（）A 2i B i C 1i D 1+i考点： 复数代数形式的乘除运算 专题： 数系的扩充和复数分析： 利用复数的运算法则即可得出解答： 解： = =i故选：B点评： 本题考查了复数的运算法则，属于基础题3 （5 分）在如下的四个电路图中，记：条件 M：“开关 S1”闭合；条件 N：“灯泡 L 亮” ，则满足 M 是 N的必要不充分条件的图为（）A B C D考点： 必要条件、充分条件与充要条件的
11、判断 专题： 简易逻辑分析： 根据充分条件和必要条件的定义结合物理知识进行判断即可解答： 解：对于图 A，M 是 N 的充分不必要条件对于图 B，M 是 N 的充要条件对于图 C，M 是 N 的必要不充分条件对于图 D，M 是 N 的既不充分也不必要条件故选：C点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，判断充分必要条件一般先明确条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性成立，若由结论能推出条件，则必要性成立4 （5 分）下列命题中为真命题的是（）A 命题“若 xy，则 x|y|”的逆命题B 命题“x1，则 x21”的否命题C 命题“若 x=1，则 x2+x2=0”的否命题D 命题“若 x20
12、，则 x1”的逆否命题考点： 四种命题的真假关系 专题： 阅读型分析： 根据题意，依次分析题意，A 中命题的逆命题是“若 x|y|，则 xy” ，正确；B 中命题的否命题是“x1，则 x21” ，举反例即可；C 中命题的否命题是“若 x1，则 x2+x20” ，当 x=2 时，x2+x2=0，故错误；D 中逆否命题与原命题同真假，只要判断原命题的真假即可解答： 解：A 中命题“若 xy，则 x|y|”的逆命题是“若 x|y|，则 xy” ，无论 y 是正数、负数、0 都成立；B 中命题的否命题是“x1，则 x21” ，当 x=1 时不成立；C 中命题的否命题是“若 x1，则 x2+x20” ，
13、当 x=2 时，x 2+x2=0，故错误；D 中逆否命题与原命题同真假，原命题假，故错误故选 A点评： 本题考查四种命题及真假判断，属基础知识的考查5 （5 分）等差数列a n的公差为 2，前 n 项和为 Sn，若 a1+1，a 3，a 6成等比数列，则 Sn=（）A n（n+1） B n2 C n（n1） D 2n考点： 等差数列的前 n 项和 专题： 等差数列与等比数列分析： 由题意列式求得等差数列的首项，然后直接代入等差数列的前 n 项和公式得答案解答： 解：由等差数列a n的公差为 2，且 a1+1，a 3，a 6成等比数列，得 ，即 ，解得 a1=2，S n= =n（n+1） 故选：
14、A点评： 本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，考查了等差数列的前 n 项和，是基础题6 （5 分）已知向量 ， 满足 | |= ， =1，则| + |=（）A B 2 C D 10考点： 平面向量数量积的运算 专题： 计算题；平面向量及应用分析： 运用向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方和完全平方公式，计算即可得到解答： 解：由已知得| |2=（ ） 2= 2+ 22 = 2+ 22=6，即 2+ 2=8，即有| + |2=（ + ） 2= 2+ 2+2 =8+2=10，即 故选 C点评： 本题考查向量的数量积的性质，主要考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题
15、7 （5 分）在区间0，1内任取两个实数，则这两个实数的和大于 的概率为（）A B C D考点： 几何概型 专题： 概率与统计分析： 由题意，本题符合几何概型的概率求法，所以只要求出区域面积以及满足条件的区域面积，由几何概型的公式解答即可解答： 解：设 x，y0，1，作出不等式组 所表示的平面区域，如图由几何概型知，所求概率 故选 D点评： 本题考查了几何概型公式的运用；当总体个数有无限多时的概率问题为几何概型，若事件与两个变量有关时，可归结为面积问题进行解答8 （5 分）在ABC 中，已知 sinC=2sinAcosB，那么ABC 一定是（）A 等腰直角三角形 B 等腰三角形C 直角三角形
16、D 等边三角形考点： 三角形的形状判断 专题： 计算题；解三角形分析： 三角形的内角和为 ，利用诱导公式可知 sinC=sin（A+B） ，与已知联立，利用两角和与差的正弦即可判断ABC 的形状；解答： 解：在ABC 中，sinC=sin（A+B）=sin（A+B） ，sinC=2sinAcosBsin（A+B）=2sinAcosB，即 sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，sinAcosBcosAsinB=0，sin（AB）=0，A=BABC 一定是等腰三角形故选 B点评： 本题考查三角形的形状判断，考查两角和与差的正弦，利用 sinC=sin（A+B）是关键，属于中档题9
17、 （5 分）已知函数 f（x）及其导数 f（x） ，若存在 x0，使得 f（x 0）=f（x 0） ，则称 x0是 f（x）的一个“和谐点” ，下列函数中f（x）=x 2；f（x）= ；f（x）=lnx；f（x）=x+ ，存在“和谐点”的是（）A B C D 考点： 导数的运算 专题： 导数的概念及应用分析： 分别求函数的导数，根据条件 f（x 0）=f（x 0） ，确实是否有解即可解答： 解：中的函数 f（x）=x 2，f（x）=2x要使 f（x）=f（x） ，则 x2=2x，解得 x=0 或 2，可见函数有和谐点；对于中的函数，要使 f（x）=f（x） ，则 ex =e x ，由对任意的
18、x，有 ex 0，可知方程无解，原函数没有和谐点；对于中的函数，要使 f（x）=f（x） ，则 lnx= ，由函数 f（x）=lnx 与 y= 的图象它们有交点，因此方程有解，原函数有和谐点；对于中的函数，要使 f（x）=f（x） ，则 ，即 x3x 2+x+1=0，设函数 g（x）=x 3x 2+x+1，g（x）=3x 22x+10 且 g（1）0，g（0）0，显然函数 g（x）在（1，0）上有零点，原函数有和谐点故答案为：故选：C点评： 本题主要考查导数的应用，以及函数的方程的判断，对于新定义问题，关键是理解其含义，本题的本质是方程有无实根问题10 （5 分）将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得 BD=a，则三棱锥 DABC 的体积为（）A B C D
