矩阵的奇异值分解(共9页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上2 矩阵的奇异值分解定义 设是秩为的复矩阵，的特征值为.则称为A的奇异值.易见，零矩阵的奇异值都是零，矩阵的奇异值的个数等于的列数，的非零奇异值的个数等于其秩.矩阵的奇异值具有如下性质：（1）为正规矩阵时，的奇异值是的特征值的模；（2）为半正定的Hermite矩阵时，的奇异值是的特征值；（3）若存在酉矩阵，矩阵，使，则称A和B酉等价.酉等价的矩阵A和B有相同的奇异值.奇异值分解定理 设是秩为的复矩阵，则存在m阶酉矩阵与n阶酉矩阵，使得. 其中，为矩阵的全部非零奇异值.证明 设Hermite矩阵的n个特征值按大小排列为.则存在n阶酉矩阵，使得. 将分块为 ，其中，分别是的前r列与后列. 并改写式为.则有. 由的第一式可得.由的第二式可得.令，则，即的r个列是两两正交的单位向量.记作，因此可将扩