1、高考数学中的内切球和外接球问题一、 有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点。 一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例 1 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_ .解析：球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为 27.例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为 4，则该球的体积为_ 43_.2、求长方体的外接球的有关问题例 3 （2007 年天津高考题）一个长方体的
2、各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为 1,，则此球的表面积为 .解析：体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为 14，故球的表面积为 14.例 4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积为（ C ）. A. 16 B. 20 C. 24 D. 32解析：长、宽、高分别为 2，2，43.求多面体的外接球的有关问题例 5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为，则这个球的体积为 .98解 设正六棱柱的底面边长为 ，高为 ，则有 xh263,1,9384xxh正六棱柱的底
3、面圆的半径 ，球心到底面的距离 .外接球的半径12r3d. .21Rrd43V球小结 本题是运用公式 求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.22Rrd二、构造法(补形法)1、构造正方体例 5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3，则其外接球的表面积是_ 9_.解 把这个三棱锥可以补成一个棱长为 的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.则有 . .故表面积 .2222339R24R249SR小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 ，则就abc、 、可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为 ，
4、则有 .22abc出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。例 6 .一个四面体的所有棱长都为 2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ A ）A. 3 B. 4 C. 3 D. 6解析：联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，如图 2，四面体满足条件，由此可求得正方体的棱长为 1，体对角线为 3，从而外接球的直径也为 3例 7（2006 年山东高考题）在等腰梯形 ABCD中， =2， 0DAB=6，E为 AB的中点，将 DE与 分布沿 E、 向上折起，使 、 重合于点 P，则三棱锥 P-C的外接球的体积为（C ）.A. 4327B. 62C. 68
5、D. 624解析：（如图 3）AE=BDE=1，即三棱锥 P-DCE为正四面体，至此，这与例6 就完全相同了例 8 （2008 年浙江高考题）已知球 O的面上四点A、B 、 C、D， ABC平 面 ， ， DA=BC3，则球 O的体积等于 .解析： =3，则此长方体为正方体，所以 长即为外接球的直径，利A BED CD CEP图 3用直角三角形解出 CD=3.故球 O的体积等于92.（如图 4）2、构造长方体例 9.已知点 A、B、C、D 在同一个球面上， BCDA平 面 ， ，若6,=13,8，则球的体积是 .解析：构造下面的长方体，于是 为球的直径（如图 5）三.寻求轴截面圆半径法例 4
6、正四棱锥 的底面边长和各侧棱长都为 ，点 都SABCD2SABCD、 、 、 、在同一球面上，则此球的体积为 .解 球心 必在 所在的直线上.O1CDA BSO1图3DACBO图 4ACBDO图 5 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.ASC在 中，由 ，得 .2SAC， 22SCA .是 以 为 斜 边 的 Rt 是外接圆的半径，也是外接球的半径.故 .12AC43V球五 .确定球心位置法例 5 在矩形 中， ，沿 将矩形 折成一个直二面角ABCD4,3BCABCD，则四面体 的外接球的体积为 （ C ）BA. B. C. D.12125912561253解 点
7、到四面体的四个顶点 的距离相等，即点OABD、 、 、为四面体的外接球的球心， .故 2RO346VR球.【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球 的球面上， 且 ， ， ,求球 的体积。解： 所以知 所以 取斜边的中点 ，即为该四面体的外接球的球心 所以该外接球的体积为CA ODB图41. （陕西理6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A 43 B 3 C 43 D 123 答案 B2. 直三棱柱 1C的各顶点都在同一球面上，若2, 0A，则此球的表面积等于 。 解:在 AB中 , 12BC,可得 23B,由正弦定理,
8、可得 ABC外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O，球心为 ，在 RTO中，易得球半径 5R，故此球的表面积为 240R. 3正三棱柱 1ABC内接于半径为 的球，若 ,AB两点的球面距离为 ，则正三棱柱的体积为 答案 84.表面积为 23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A B 1 C 23 D 23答案 A【解析】此正八面体是每个面的边长均为 a的正三角形，所以由284a知，1a，则此球的直径为 2，故选 A。5.已知正方体外接球的体积是 3，那么正方体的棱长等于（ ）A.2 2 B. C. 324 D. 34答案 D6.（2006 山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积
9、之比为 ( )A. 1 3 B. 13 C. 13 D. 19答案 C7.（2008 海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 8，底面周长为 3，则这个球的体积为 答案 48. （2007 天津理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为 答案 9.（2007 全国理15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上。如果正四棱柱的底面边长为 1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.答案 2410.（2006 辽宁）如图，半径为 2 的半球内有一内
10、接正六棱锥 PABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是_答案 6711.（辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考）棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .答案 2 12.（2009 枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 （ ）A 3B 2C 16D以上都不对答案 C13.(吉林省吉林市 2008 届上期末 )设正方体的棱长为 ，则它的外接球的表面积为（ 233ABCPDEF）A 38 B2 C4 D 34答案 C1 （2012 新课标理）已知三棱锥 SAB的所有顶点都在球 O的求面上, ABC是边长为 的正三角形 ,S为球 O的直径,且 2;则此棱锥的体积为 （ ）A 26B 36C 3D 225 （2012 辽宁文）已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 3正方形 .若 PA=2 ,则OAB 的面积为_.
