1、第 1 页 共 12 页第三章 不等式一、选择题1已知 x ，则 f(x) 有( )25425A最大值 B最小值 C最大值 1 D最小值 142若 x0，y0，则 的最小值是( )21)(yx2xA3 B C4 D7 293设 a0，b0 则下列不等式中不成立的是( )Aab 2 B(ab)( )41 1C ab D 224已知奇函数 f(x)在(0，)上是增函数，且 f(1)0 ，则不等式 0xf)(的解集为( )A(1，0)(1，) B(，1)(0，1) C(，1)(1，) D(1，0)(0，1) 5当 0x 时，函数 f(x) 的最小值为( )2x2sin8co1A2 B C4 D3 3
2、46若实数 a，b 满足 ab2，则 3a3 b 的最小值是( )A18 B6 C2 D2347若不等式组 ，所表示的平面区域被直线 y kx 分为面积相等的两4 30yx部分，则 k 的值是( )A B 7C 43D 34 8直线 x2y30 上的点 P 在 xy1 的上方，且 P 到直线 2xy60 的距离为第 2 页 共 12 页3 ，则点 P 的坐标是( )5A(5，1) B( 1，5) C(7，2) D(2，7)9已知平面区域如图所示，zmxy(m 0)在平面区域内取得最优解(最大值)有无数多个，则 m 的值为( )A B 207207C D不存在110当 x1 时，不等式 x a
3、恒成立，则实数1a 的取值范围是( )A(，2 B2 ，) C3，) D(，3二、填空题11不等式组 所表示的平面区域的面积是 12设变量 x，y 满足约束条件 若目标函数 zaxy(a0)仅在点(3，0)处取得最大值，则 a 的取值范围是 13若正数 a，b 满足 abab3，则 ab 的取值范围是 14设 a，b 均为正的常数且 x0，y0， 1，则 xy 的最小值为 xayb15函数 ylog a(x3)1(a0，且 a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线mxny10 上，其中 mn 0，则 的最小值为 mn216某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为 p1，第三年比第二年增长的
4、百分率为 p2，若 p1p 2 为定值，则年平均增长的百分率 p 的最大值为 (xy5)(x y)00x3x2y30x3y30，y10(第 9 题)第 3 页 共 12 页三、解答题17求函数 y (x1)的最小值072x18已知直线 l 经过点 P(3，2)，且与 x 轴、y 轴正半轴分别交于 A，B 两点，当AOB 面积最小时，求直线 l 的方程(第 18 题)第 4 页 共 12 页19某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，销售每吨乙产品可获得利润
5、3 万元该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是多少？20(1)已知 x ，求函数 y4x 1 的最大值；455x(2)已知 x，yR (正实数集)，且 1，求 xy 的最小值；y9(3)已知 a0，b0，且 a2 1，求 的最大值b2ba第 5 页 共 12 页参考答案1D解析：由已知 f(x) ，425)(21x21x) x ，x20，5 1，1)(212x)(当且仅当 x2 ，即 x3 时取等号2C解析： 21)(yx2xx 2 22414 21x2yxy x 2 2 1，当且仅当 x2 ，x 时取等号；424x 4122
6、 1，当且仅当 y2 ，y 时取等号； 12y2y2 2(x0，y0)，当且仅当 ，y 2x 2 时取等号x 1124，前三个不等式的等号同时成立241241yxy时，原式取最小值，故当且仅当 xy 时原式取最小值 43D解析：方法一：特值法，如取 a4，b1，代入各选项中的不等式，易判断只有 ba2第 6 页 共 12 页不成立ab方法二：可逐项使用均值不等式判断A：ab 2 2 2 ，不等式成立1ab1ab1B： ab2 0， 2 0，相乘得 (ab)( )4 成立b1C： a 2b 2(ab) 22ab (ab) 22 2 ，2又 ， ab 成立1D： ab2 ， ，即 ba212ab2
7、不成立ab4D解析: 因为 f(x)是奇函数，则 f(x)f(x )，0 0 xf(x)0，满足 x 与 f(x)异xff2号的 x 的集合为所求因为 f(x)在(0， )上是增函数，且 f(1)0，画出 f(x)在(0，)的简图如图，再根据 f(x)是奇函数的性质得到 f(x) 在(，0)的图象由 f(x)的图象可知，当且仅当 x(1，0)(0，1)时，x 与 f(x)异号5C解析：由 0x ，有 sinx0，cosx02f(x) sin8co1cosin282xinscoi42 4，当且仅当 ，即 tan x 时，取“” xi xi 21 0x ， 存在 x 使 tan x ，这时 f(x
8、)min421Oyx1 1(第 4 题)第 7 页 共 12 页6B解析： ab2，故 3a3 b2 2 6，当且仅当 ab1 时取等号ba3ba故 3a3 b 的最小值是 67A解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分ABC由 得 A(1，1)，又 B(0，4)，C (0， )43 yx 3由于直线 y kx 过点 C(0， )，设它与直线33xy4 的交点为 D，则由 SBCD SABC ，知 D 为 AB 的中点，即 xD ， y D ，21215 k ， k 53478A解析：设 P 点的坐标为(x 0，y 0)，则 解得. 150yx 点 P 坐标是(5，1)9B解析：当直线
9、mxyz 与直线 AC 平行时，线段 AC 上的每个点都是最优解 kAC ，152307 m ，即 m 2210D解析：由 x (x 1) 1，x x1， x10，则有(x 1) 12 13，x )(则 a3. 5362010yx第 8 页 共 12 页二、填空题1124解析：不等式(xy 5)(x y)0 可转化为两个二元一次不等式组或 这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求第一个不等式组所对应的区域如图，而第二个不等式组所对应的区域不存在图中 A(3，8)，B(3，3)，C (0，5)，阴影部分的面积为 242513)(12 21 a解析：若 zaxy (a0)仅在点(3，0)处取得最大
10、值，则直线 zax y 的倾斜角一定小于直线x2y30 的倾斜角，直线 zax y 的斜率就一定小于直线 x2y30 的斜率，可得：a ，即 a21113a b9解析：由于 a，b 均为正数，等式中含有 ab 和 ab 这个特征，可以设想使用 2ba构造一个不等式 abab3 3，即 ab 3(当且仅当 ab 时等号成立)，22 ( )2 30，ab ( 3)( 1)0， 3，即 ab9(当且仅当 ab3 时等号成立)14( )2ab(xy5)(x y)00x3xy50xy00x3xy50x y00x3(第 11 题)第 9 页 共 12 页解析：由已知 ， 均为正数，xayb xy(x y)
11、( )ab ab ab2 ，xyyx 2即 xy( )2，当且仅当 即 时取等号a1yx158解析：因为 ylog a x 的图象恒过定点(1，0)，故函数 ylog a(x3)1 的图象恒过定点 A( 2，1)，把点 A 坐标代入直线方程得 m(2) n(1)10，即 2mn1，而由 mn0 知 ， 均为正，mn4 (2mn)( )4 4 8，当且仅当1n2nn42即 时取等号124nm21416 2p解析：设该厂第一年的产值为 a，由题意，a(1p) 2a(1p 1)(1p 2)，且1p 10，1p 20，所以 a(1p) 2a(1p 1)(1p 2)a a ，解得21p21pp ，当且仅当 1p 11p 2，即 p1p 2 时取等号所以 p 的最大值2是 1三、解答题17解：令 x1t0，则 xt1，y t 5 59，tt72)(452 t42当且仅当 t ，即 t2，x1 时取等号，故 x1 时，y 取最小值 94第 10 页 共 12 页
