1、12009-2017 全国高中数学联赛 分类汇编第 05 讲：集合函数1、 （2009 一试 1）若函数 且 ，则 21xf()nnfxffx91f【答案】 0【解析】 ， ， 故121xfxf21xfxf9219xf90f2、 （2009 一试 6）若方程 仅有一个实根，那么 的取值范围是 lg2l1kxk【答案】 或0k4【解析】当且仅当x102k对由求根公式得 ， 1x224kk或 240kk 4()当 时，由得 ，4k120xk所以 ， 同为正根，且 ，不合题意，舍去综上可得 或 为所求1x2120k43、 （20 10 一试 1）函数 的值域是 .xxf345)(【答案】 3,【解析
2、】易知 的定义域是 ，且 在 上是增函数，从而可知 的值域为 .)(xf8,)(xf8, )(xf3,24、 （2010 一试 5）函数 在区间 上的最大值为 8，则它在这个)1,0(23)(2aaxfx 1,x区间上的最小值是 .【答案】 1【解析】令 则原函数化为 , 在 上是递增的.,yax23)(2yg)(g3,+)2当 时， , ，10111max8ya所以 ；423)()2minyg当 时， ， ，a,1a 23)(2maxyg所以 .12)(miny综上 在 上的最小值为 .xf1,45、 （2011 一试 1）设集合 ，若 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为,4321aA
3、A，则集合 8,3B【答案】 .0266、 （2011 一试 2）函数 的值域为 1)(2xf【答案】 (,【解析】设 ，且 ，则 2,tanx4 )4sin(21cosin1taco)( xf设 ，则 ，且 ，所以 学科网)4si(2u1u0 ),1,()(uxf37、 （2012一试6）设 是定义在 上的奇 函数，且当 时， 若对任意的 ，()fxR0x()fx,2xa不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 (2fxaa【答案】 ,).【解析】由题设知 ,则 因此,原不等式等价于2(0)(xf()2).fx()(2).fxafx因为 在 上是增函数,所以 即 又 所以当 时,()fxR,a1
4、.x,2a取得最大 值 因此, 解得 故 取值范围是21(21).(2),.2).8、 （2013 一试 1）设集合 ，集合 .则集合 中所有元素的和为 .,03A2|,BxAxB【答案】-59、 （2013 一试 5）设 为实数，函数 满足：对任意 ，有 .则 的最大值为 .,abfxab0,1x1fxab【答案】 .14【解析】易知 ， ，则0afbf. 222110144abffffff 当 ，即 时， .故 的最大值为 .2ff2abab10、 （2014 一试 1）若正 数 满足 ,则 的值为_., )log(l3log2 ba1【答案】108【解析】 21234logll(),3,
5、kkaba设 则 2323166, 108kkab从 而411、 （2014 一试 3）若函数 在 上单调递增，则 的取值范围为_.|1|)(2xaxf ),0a【答案】-2,0.【解析】 21,)() 1,2.f在 上 ， 单 调 递 增 ， 等 价 于 -即 在20,(,0.2afxa上 ， 单 调 递 增 等 价 于 -， 即 2,0.a因 此 实 数 的 取 值 范 围 是12、(2015 一试 1)设 为不相等的实数 ,若二次函数 满足 ,则 的值是 .,b2()fxb()fb()f【答案】4【解析】由已知条件及二次函数图象的轴对称性，可得 ，即 ，所以2a0a(2)4fab13、
6、（2016 一试 3）正实数 均不等于 1，若 ， ，则wvu, 5loglwvvu 3loglvuwv的值为 .uwlog【答案】 5414、 （2017 一试 1）设 是定义在 上的函数，对任意实数 有 .又当()fxRx(3)(4)1ffxA时， ，则 的值为 .07x2log9(10)f【答案】 2【解析】由条件知， (14)().(7fxfxf所 以 211(10)(7)2.(5)logffff515、 （2011 一试 9）设函数 ，实数 满足 ， ，|)1lg(|)xf )(,ba)21()bfaf 2lg4)160(baf求 的值ba,【解析】因为 ，所以 ，)21()bfaf
7、 |)2lg(|)1l(|)21lg(|)1l(| bba所以 或 ，又因为 ，所以 ，所以 21ba1a又由 有意义知 ，从而 ，|)lg(|)af 10a210b于是 210b所以 12)(6)2()1(0)6( bbaa从而 0lg|6lg|210bf又 ，所以 ，l4)6(af 2l41)2(lb故 解得 或 （舍去） 120b3b把 代入 解得 所以 ， 3)(a52a52a31b16、 （2014 二试 3） （本题满分 50 分）设 S=1，2,3，100.求最大的整数 k，使得 S 有 k 个互不相同的非空 子集，具有性质：对这 k 个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则
8、它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同. 1,min()ax.(1)2.nij ijiAAm 且 显 然 只 需 对 的 情 形 证 明 上 述 结 论当 n=3 时，将1，2,3的全部 7 个非空子集分成 3 组，第一组：3，1,3，2,3；第二组：2，1,2；第三组：1，1,2,3.由抽屉原理，任意 4 个非空子集必有两个在同一组中，取同组中的两个子集分别记为 ，排在前面的记为 ，则满足（1）.,ij i假设结论在 n(n3)时成立，考虑 n+1 的情形.若 中至少有 个子集不含 n+1，对其中的12,nA 12n6个子集用归纳假设，可知存在两个子集满足（1）.2n若至多有
9、个子集不含 n+1,则至少有 个子集含 n+1,将其中 子集都去掉 n+1,得到n 12n12n1,2，n的 个子集.12由于1,2，n 的全体 子集可分成 组，每组两个子集互补，故由抽屉原理,1n在上述 个子集中一定有两个属于同一组，即互为补集.因此，相应地有两个子集1，满足 =n+1,这两个集合显然满足（1） ，故 n+1时结论成立.,ijAijA综上所述，所求 .学科*网9max2k17、 （2015 一试 10）(本题满分 20 分) 设 是四个有理数 ,使得 ,1234,a|14ijaj求 的值.3124,81234123248a2341112,.8aaa于 是 故 22314121
10、3,4,8aa1,.Q结 合 只 可 能 2341234,6,6.44aaaa由 此 易 知 ， 或 者 ，经 检 验 知 这 两 组 解 均 满 足 问 题 的 条 件 .12349.故 +18、 （2015 二试 2） (本题满分 40 分)设 ,其中 是 个互不相同的有限集合12,nSA 12,nA7,满足对任意 ,均有 ,若 ,证明:存在 ,使得 属于(2)n,ijASijAS1min|2ikA1nixAx中 的至少 个集合 (这里 表示有限集合 的元素个数)1nA k|XX.fst显 然 是 单 映 射 ， 于 是121212=,.,knsAAB设 ， ， 在 ， ， 中 除 去 ，
11、 ， ，tCst， ， 后 ， 在 剩 下 的 个 集 合 中 ， 设 包 含i),-tiax的 集 合 有 个 （ 由 于 剩 下 的 个 集 合 中1 iAa每 个 集 合 与 的 交 非 空 ， 即 包 含 某 个 ， 从 而12+.kxxnst11ma, ,ik nstxnstk不 妨 设 则 由 上 式 知 即 在 剩 下 的 个 集 合 中 ， 112(,),i tstACC包 含 的 集 合 至 少 有 个 ， 又 由 于 故 ， ， 都11,包 含 因 此 包 含 的 集 合 个 数 至 少 为()+(2)nstsktnstkk利 用 ()nts利 用19、 （2016 一试 10） （本题满分 20 分）已知 是 R 上的奇函数， ，且对任意 ，均有)(xf 1)(f 0x.)(1(xff求 的值.)981(3)91(20) ff )51(0f【解析】设 =1，2，3，） ，则 .nan 1a8在 中取 ，注意到 ，及 为奇函数.可知)(1(xff*)(1Nk 11kx)(xf)()()(fkfkf即 ，从而 .ak1)!1(11nkaannkn因此505049110()!)!()!ii ii98494990012!i iiiiCC
