1、1第 3 章 确定性推理部分参考答案3.8 判断下列公式是否为可合一，若可合一，则求出其最一般合一。(1) P(a, b), P(x, y)(2) P(f(x), b), P(y, z)(3) P(f(x), y), P(y, f(b)(4) P(f(y), y, x), P(x, f(a), f(b)(5) P(x, y), P(y, x)解：(1) 可合一，其最一般和一为：=a/x, b/y。(2) 可合一，其最一般和一为：=y/f(x), b/z。(3) 可合一，其最一般和一为：= f(b)/y, b/x 。(4) 不可合一。(5) 可合一，其最一般和一为：= y/x。3.11 把下列谓
2、词公式化成子句集：(1) ( x)( y)(P(x, y)Q(x, y)(2) ( x)( y)(P(x, y)Q(x, y)(3) ( x)( y)(P(x, y)(Q(x, y) R(x, y)(4) ( x) ( y) ( z)(P(x, y)Q(x, y)R(x, z)解：(1) 由于( x)( y)(P(x, y)Q(x, y)已经是 Skolem 标准型，且 P(x, y)Q(x, y)已经是合取范式，所以可直接消去全称量词、合取词，得 P(x, y), Q(x, y)再进行变元换名得子句集：S= P(x, y), Q(u, v)(2) 对谓词公式( x)( y)(P(x, y)Q
3、(x, y)，先消去连接词 “”得：( x)( y)(P(x, y)Q(x, y)此公式已为 Skolem 标准型。再消去全称量词得子句集：S=P(x, y)Q(x, y)(3) 对谓词公式( x)( y)(P(x, y)(Q(x, y)R(x, y)，先消去连接词“”得：( x)( y)(P(x, y)(Q(x, y)R(x, y)此公式已为前束范式。再消去存在量词，即用 Skolem 函数 f(x)替换 y 得：( x)(P(x, f(x)Q(x, f(x)R(x, f(x)此公式已为 Skolem 标准型。最后消去全称量词得子句集：S=P(x, f(x)Q(x, f(x) R(x, f(
4、x)(4) 对谓词( x) ( y) ( z)(P(x, y)Q(x, y)R(x, z)，先消去连接词“”得：2( x) ( y) ( z)(P(x, y)Q(x, y) R(x, z)再消去存在量词，即用 Skolem 函数 f(x)替换 y 得：( x) ( y) (P(x, y)Q(x, y)R(x, f(x,y)此公式已为 Skolem 标准型。最后消去全称量词得子句集：S=P(x, y)Q(x, y)R(x, f(x,y)3-13 判断下列子句集中哪些是不可满足的：(1) PQ, Q, P, P(2) PQ , P Q, PQ, PQ (3) P(y)Q(y) , P(f(x)R(
5、a)(4) P(x)Q(x) , P(y)R(y), P(a), S(a), S(z)R(z)(5) P(x)Q(f(x),a) , P(h(y)Q(f(h(y), a)P(z)(6) P(x)Q(x) R(x) , P(y) R(y), Q(a), R(b)解：(1) 不可满足，其归结过程为：(2) 不可满足，其归结过程为：(3) 不是不可满足的，原因是不能由它导出空子句。(4) 不可满足，其归结过程略(5) 不是不可满足的，原因是不能由它导出空子句。(6) 不可满足，其归结过程略3.14 对下列各题分别证明 G 是否为 F1,F2,Fn 的逻辑结论：(1) F: ( x)( y)(P(x,
6、 y)G: ( y)( x)(P(x, y)(2) F: ( x)(P(x)(Q(a)Q(b)PQ QP PNILPQ PQQPQ PQQNIL3G: ( x) (P(x)Q(x)(3) F: ( x)( y)(P(f(x)(Q(f(y)G: P(f(a)P(y)Q(y)(4) F1: ( x)(P(x)( y)(Q(y) L(x.y)F2: ( x) (P(x)( y)(R(y)L(x.y)G: ( x)(R(x) Q(x)(5) F1: ( x)(P(x)(Q(x)R(x)F2: ( x) (P(x)S(x)G: ( x) (S(x)R(x)解：(1) 先将 F 和G 化成子句集：S=P(
7、a,b), P(x,b)再对 S 进行归结：a/x所以，G 是 F 的逻辑结论(2) 先将 F 和G 化成子句集由 F 得：S 1=P(x)，(Q(a)Q(b)由于G 为： ( x) (P(x)Q(x)，即( x) ( P(x) Q(x)，可得： S2= P(x) Q(x) 因此，扩充的子句集为：S= P(x)，(Q(a)Q(b) ， P(x) Q(x)再对 S 进行归结：a/ba/xa/x所以，G 是 F 的逻辑结论同理可求得(3)、(4) 和(5)，其求解过程略。 P(a,b) P(x,b)NILQ(a)Q(b)Q(a) P(x) Q(x) P(a) P(x)NIL43.15 设已知：(1
8、) 如果 x 是 y 的父亲，y 是 z 的父亲，则 x 是 z 的祖父；(2) 每个人都有一个父亲。使用归结演绎推理证明：对于某人 u，一定存在一个人 v，v 是 u 的祖父。解：先定义谓词F(x,y)：x 是 y 的父亲GF(x,z)： x 是 z 的祖父P(x)：x 是一个人再用谓词把问题描述出来：已知 F1：( x) ( y) ( z)( F(x,y)F(y,z) GF(x,z)F2：( y)(P(x)F(x,y) 求证结论 G：( u) ( v)( P(u)GF(v,u) ) 然后再将 F1，F2 和G 化成子句集： F(x,y)F(y,z)GF(x,z) P(r) F(s,r) P
9、(u) GF(v,u)对上述扩充的子句集，其归结推理过程如下：x/v,z/ux/s,y/ry/s,z/ry/zy/u由于导出了空子句，故结论得证。3.16 假设张被盗，公安局派出 5 个人去调查。案情分析时，贞察员 A 说：“赵与钱中至少有一个人作案” ，贞察员 B 说：“钱与孙中至少有一个人作案” ，贞察员 C 说：“孙与李中至少有一个人作案” ，贞察员 D 说：“赵与孙中至少有一个人与此案无关” ，贞察员 E 说：“钱与李中至少有一个人与此案无关” 。如果这 5 个侦察员的话都是可信的，使用归结演绎推F(x,y)F(y,z) GF(x,z) GF(v,u)F(x,y)F(y,z) P(r)
10、 F(s,r)F(y,z)P(y) P(r) F(s,r)P(y)P(z)P(y) P(u)NIL5理求出谁是盗窃犯。解：(1) 先定义谓词和常量设 C(x)表示 x 作案，Z 表示赵， Q 表示钱，S 表示孙，L 表示李(2) 将已知事实用谓词公式表示出来赵与钱中至少有一个人作案：C(Z)C(Q)钱与孙中至少有一个人作案：C(Q) C(S)孙与李中至少有一个人作案：C(S) C(L)赵与孙中至少有一个人与此案无关： (C (Z)C(S) ，即 C (Z) C(S)钱与李中至少有一个人与此案无关： (C (Q)C(L)，即 C (Q) C(L)(3) 将所要求的问题用谓词公式表示出来，并与其否
11、定取析取。设作案者为 u，则要求的结论是 C(u)。将其与其否) 取析取，得： C(u) C(u)(4) 对上述扩充的子句集，按归结原理进行归结，其修改的证明树如下：Q/u 因此，钱是盗窃犯。实际上，本案的盗窃犯不止一人。根据归结原理还可以得出：S/u 因此，孙也是盗窃犯。C(Z)C(Q) C (Z) C(S)C(Q)C(S) C(Q)C(S)C(Q) C(u)C(u)C(Q)C(S)C(L) C (Q) C(L)C(S)C(Q) C(Q)C(S)C(S) C(u)C(u)C(S)63.18 设有子句集：P(x)Q(a, b), P(a) Q(a, b), Q(a, f(a), P(x)Q(x
12、, b)分别用各种归结策略求出其归结式。解：支持集策略不可用，原因是没有指明哪个子句是由目标公式的否定化简来的。删除策略不可用，原因是子句集中没有没有重言式和具有包孕关系的子句。单文字子句策略的归结过程如下：b/f(a)a/xb/f(a)用线性输入策略（同时满足祖先过滤策略）的归结过程如下：a/xa/xb/f(a)3.19 设已知：(1) 能阅读的人是识字的；(2) 海豚不识字；(3) 有些海豚是很聪明的。请用归结演绎推理证明：有些很聪明的人并不识字。解：第一步，先定义谓词， 设 R(x)表示 x 是能阅读的；K(y)表示 y 是识字的；W(z) 表示 z 是很聪明的；P(x)Q(a, b)
13、P(a) Q(a, b)P(a) P(x)Q(x, b)Q(a,b) Q(a, f(a)NILP(x)Q(a, b) Q(a, f(a)P(a) P(x)Q(x, b)Q(a, b) Q(a, f(a)Q(a, b)7第二步，将已知事实和目标用谓词公式表示出来能阅读的人是识字的：( x)(R(x)K(x)海豚不识字：( y)(K (y)有些海豚是很聪明的：( z) W(z)有些很聪明的人并不识字：( x)( W(z)K(x) )第三步，将上述已知事实和目标的否定化成子句集：R(x)K(x)K (y)W(z)W(z)K(x)第四步，用归结演绎推理进行证明3.20 对子句集：PQ, QR, R W
14、, R P, W Q, Q R 用线性输入策略是否可证明该子句集的不可满足性？解：用线性输入策略不能证明子句集PQ, QR, RW, R P, W Q, Q R 的不可满足性。原因是按线性输入策略，不存在从该子句集到空子句地归结过程。3.21 对线性输入策略和单文字子句策略分别给出一个反例，以说明它们是不完备的。3.22 分别说明正向、逆向、双向与/或形演绎推理的基本思想。3.23 设已知事实为(PQ)R) (S(TU)F 规则为S(XY)Z试用正向演绎推理推出所有可能的子目标。解：先给出已知事实的与/或树，再利用 F 规则进行推理，其规则演绎系统如下图所示。由该图可以直接写出所有可能的目标子
15、句如下：PQ PQ PQY W(z)K(x) W(z)K(z) W(z)NIL8RTU RXZRYZ 3.24 设有如下一段知识：“张、王和李都属于高山协会。该协会的每个成员不是滑雪运动员，就是登山运动员，其中不喜欢雨的运动员是登山运动员，不喜欢雪的运动员不是滑雪运动员。王不喜欢张所喜欢的一切东西，而喜欢张所不喜欢的一切东西。张喜欢雨和雪。 ”试用谓词公式集合表示这段知识，这些谓词公式要适合一个逆向的基于规则的演绎系统。试说明这样一个系统怎样才能回答问题：“高山俱乐部中有没有一个成员，他是一个登山运动员，但不是一个滑雪运动员？”解：(1) 先定义谓词A(x) 表示 x 是高山协会会员S(x)
16、表示 x 是滑雪运动员C(x) 表示 x 是登山运动员L(x,y) 表示 x 喜欢 y (2) 将问题用谓词表示出来(PQ) R) (S(T U)(PQ) R) (S(T U)(PQ) RP QS TUT USXY ZX YP Q R X Y Z T U已知事实所有目标所有目标所有目标F规则 已知事实所有子目标9“张、王和李都属于高山协会A(Zhang)A(Wang)A(Li)高山协会的每个成员不是滑雪运动员，就是登山运动员( x)(A(x)S(x)C(x)高山协会中不喜欢雨的运动员是登山运动员( x)(L(x, Rain)C(x)高山协会中不喜欢雪的运动员不是滑雪运动员( x)(L(x, S
17、now) S(x)王不喜欢张所喜欢的一切东西( y)( L(Zhang, y) L(Wang ,y)王喜欢张所不喜欢的一切东西( y)( L(Zhang, y)L(Wang, y)张喜欢雨和雪L(Zhang , Rain)L(Zhang , Snow)(3) 将问题要求的答案用谓词表示出来高山俱乐部中有没有一个成员，他是一个登山运动员，但不是一个滑雪运动员？( x)( A(x)C(x) S(x)(4) 为了进行推理，把问题划分为已知事实和规则两大部分。假设，划分如下：已知事实：A(Zhang)A(Wang)A(Li)L(Zhang , Rain)L(Zhang , Snow)规则：( x)(A
18、(x)S(x)C(x)( x)(L(x, Rain)C(x)( x)(L(x, Snow) S(x)( y)( L(Zhang, y) L(Wang ,y)( y)( L(Zhang, y)L(Wang, y)(5) 把已知事实、规则和目标化成推理所需要的形式事实已经是文字的合取形式：f1: A(Zhang) A(Wang)A(Li)f2: L (Zhang , Rain)L(Zhang , Snow)将规则转化为后件为单文字的形式：r1: A(x)S(x)C(x)r2: L(x, Rain)C(x)r3: L(x, Snow) S(x)r4: L(Zhang, y) L(Wang ,y)r5
19、: L(Zhang, y)L(Wang , y)将目标公式转换为与/或形式 A(x)(C(x) S(x)(6) 进行逆向推理10逆向推理的关键是要能够推出 L(Zhang , Rain)L(Zhang , Snow)，其逆向演绎过程如下图所示。 A(x)(C(x) S(x) A(x) C(x) S(x)C(x) S(x)L(x, Rain) L(x, Snow)r2 r34L(Wang, y)L(Wang, y)Wang/x, y/Rainr4L(Zhang, y)L(Zhang, Rain)Rain/yWang /x, y/SnowL(Zhang, y)r4L(Zhang, Snow)Snow/y
