实变函数考试题总汇 实变函数考试题总汇 1. 设 fn(x) ，f(x)是在集合E上定义的实函数，且 fn 单调增加，对任意的x E，有fn(x) f(x),(n ). 证明 x E:f(x) 0 n 1 x E:fn(x) 0 . 2. 证明：R中以互不相交的开区间为元素的集合是至多可数集. 证明：设该集合为K. 由于对任意的开区间(a,b) K，存在有理数rab (a,b). 这样，可作一映射f:K Q，使得f (a,b) rab. 由于K中的开区间是互不相交的，所以这一映射是一单射. 因此Kf(K) Q，也就说明白K是一至多可数集. 1 3. 设f(x)是可测集E R上几乎到处有限的函数，对任意的 0，存在闭集F E， 1 使m EF 且f(x)在F上连续. 证明f(x)是E上的可测函数. 证明：设E Ef ,En Ef n，则 En E是单减的可测集列，且 limn En E . 由于mE ，所以limn mEn mE . 又由于f是E上
