1、相似三角形经典大题解析1.如图，已知一个三角形纸片 ， 边的长为 8， 边上的高为 ， 和 都ABCBC6BC为锐角， 为 一动点（点 与点 不重合） ，过点 作 ，交 于M、 MN A点 ，在 中，设 的长为 ， 上的高为 N Nxh（1）请你用含 的代数式表示 xh（2）将 沿 折叠，使 落在四边形 所在平面，设点 落在平A 面的点为 ， 与四边形 重叠部分的面积为 ，当 为何值时， 最大，1 Byxy最大值为多少？【答案】解：（1） MNBCA 68hx34（2） 1AN 的边 上的高为 ，1M h当点 落在四边形 内或 边上时， BC= （0 ）1AMNyS 213248x4x当 落在
2、四边形 外时，如下图 ， (8)设 的边 上的高为 ，1EF 1h则 326hx11MNAMN 1ABCEFABC 1216AEFSh BC824ABCS22363414EFxSx1 A112223988AMNEFyxxx 所以 294()x综上所述：当 时， ，取 ，0 238yx46y最 大当 时， ，48x21取 ，163y最 大当 时， 最大，x8y最 大M NCB E FAA12如图，抛物线经过 三点(40)1(02)ABC， ， ， ， ，（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过 P 作 轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使得以xA，P，M 为顶点的三角形与 相似？
3、若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不O存在，请说明理由；【答案】解：（1） 该抛物线过点 ， 可设该抛物线的解析式为(02)C2yaxb将 ， 代入，(40)A(1)B得 解得62ab.，125ab.，此抛物线的解析式为 21yx（2）存在如图，设 点的横坐标为 ，Pm则 点的纵坐标为 ，215当 时，14， AM2又 ，90COPA当 时，21AMOPC， 即 254m解得 （舍去） ， 124，(21)P，当 时， ，即 AMOCPAMCO 2152(4)m解得 ， （均不合题意，舍去）1m25当 时， 4(1)，类似地可求出当 时， 2)P当 时， 1m(3)，综上所述，符合条件
4、的点 为 或 或 (1)，5)，(314)，3如图，已知直线 128:3lyx与直线 2:6lyx相交于点 Cl12， 、 分别交 x轴于 AB、 两点矩形 DEFG的顶点 E、 分别在直线 12l、 上，顶点 FG、 都在 轴上，且点 G与点 重合（1）求 C 的面积；（2）求矩形 的边 与 的长；（3）若矩形 从原点出发，沿 x轴的反方向以每秒 1 个单位长度的速度平移，设移动时间为 (012)t 秒，矩形 DEFG与 ABC 重叠部分的面积为 S，求 关于 t的函数关系式，并写出相应的 t的取值范围ADBEOCF xyy y1l2l（G）【答案】 （1）解：由 2803x， 得 4xA
5、点坐标为 40， 由 260x， 得 B 点坐标为 ， 8412AB由 36yx， 解得 5xy， C点的坐标为 56， 112632ABCCS （2）解：点 D在 l上且 2883DBDxy， 点坐标为 ， 又点 E在 2l上且 2164EDEEyxx， 点坐标为 48， OF， （3）解法一： 当 03t 时，如图 1，矩形 DFG与 ABC 重叠部分为五边形CHFGR（ t时，为四边形 CHG） 过 作 M于 ，则tBM ADBEORF xyy 1ly2lM（图 3）GCADBEOCF xyy 1ly2lG（图 1）RM ADBEOCF xyy 1ly2lG（图 2）RM C， 即 36
6、t， tRtH ， 12283ABRGAFHSSttt 即 2413t当 时，如图 2，为梯形面积，G（8t,0 ）GR= ,8)(tt 0)(tts当 时，如图 3,为三角形面积， 43128ts4如图，矩形 中， 厘米， 厘米（ ） 动点 同时从ABCD3ABa3MN，点出发，分别沿 ， 运动，速度是 厘米秒过 作直线垂直于 ，1AB分别交 ， 于 当点 到达终点 时，点 也随之停止运动设运动时间NPQ， NC为 秒t（1）若 厘米， 秒，则 _厘米；4a1tM（2）若 厘米，求时间 ，使 ，并求出它们的相似比；5BPAD （3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形 与梯形 的面积相等，求 的
7、取值Qa范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形 ，梯形 ，MBNPQDA梯形 的面积都相等？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由PQCNa【答案】解： （1） ，34PM（2） ，使 ，相似比为tNBAD 3:2（3） ，CPBC ， ， 即 ，A ()attaMt，(1)taQ当梯形 与梯形 的面积相等，即PMBNQDA()()22QADPBN化简得 ，()3(1)()22tatat6at， ，则 ，t 63a 63 ， （4） 时梯形 与梯形 的面积相等 PMBNQDA梯形 的面积与梯形 的面积相等即可，则PQCCNPMD Q CP NBMAD Q CP NBMA
8、，把 代入，解之得 ，所以 ()3tat6a23a23a所以，存在 ，当 时梯形 与梯形 的面积、梯形 的面积相2PMBNQDAPQCN等5如图，已知ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点 Q 到达点 C 时，P、Q 两点都停止运动，设运动时间为 t（s） ，解答下列问题：（1）当 t2 时，判断BPQ 的形状，并说明理由；（2）设BPQ 的面积为 S（ cm2） ，求 S 与 t 的函数关系式；（3）作 QR/BA 交 AC 于点 R，连结 PR
9、，当 t 为何值时，APR PRQ ？【答案】 解：(1 )BPQ 是等边三角形,当 t=2 时,AP=21=2,BQ=22=4,所以 BP=AB-AP=6-2=4,所以 BQ=BP.又因为B=60 0,所以BPQ 是等边三角形.(2)过 Q 作 QEAB,垂足为 E,由 QB=2y,得 QE=2tsin600= t,由 AP=t,得 PB=6-t,3所以 SBPQ= BPQE= (6-t) t= t2+3 t；213(3)因为 QRBA, 所以QRC=A=60 0，RQC=B=60 0，又因为C=60 0,所以QRC 是等边三角形,所以 QR=RC=QC=6-2t.因为 BE=BQcos60
10、0= 2t=t,21所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以 EPQR,EP=QR,所以四边形 EPRQ 是平行四边形,所以 PR=EQ= t,又因为PEQ=90 0,所以APR=PRQ=90 0.因为APRPRQ,3所以QPR=A=60 0,所以 tan600= ,即 ,所以 t= ,PRQ326t56所以当 t= 时, APRPRQ566在直角梯形 OABC 中，CBOA ，COA 90，CB3，OA6，BA3 分别以5OA、OC 边所在直线为 x 轴、y 轴建立如图 1 所示的平面直角坐标系（1）求点 B 的坐标；（2）已知 D、E 分别为线段 OC、OB 上的点，OD5
11、，OE2EB，直线 DE 交 x 轴于点F求直线 DE 的解析式；（3）点 M 是（2）中直线 DE 上的一个动点，在 x 轴上方的平面内是否存在另一个点N使以 O、D、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由ABDE（第 26 题 图 1）FCOMNxy图 7-2ADOBC21MN图 7-1ADBMN12图 7-3ADOBC21MNO.7在图 15-1 至图 15-3 中，直线 MN 与线段 AB 相交于点 O，1 = 2 = 45（1）如图 15-1， 若 AO = OB， 请 写 出 AO 与 BD 的 数量关系和位置关系；（2）将图 15-1 中
12、 的 MN 绕 点 O 顺 时 针 旋 转 得到图 15-2，其中 AO = OB求证：AC = BD，AC BD；（3）将 图 15-2 中 的 OB 拉 长 为 AO 的 k 倍 得 到图 15-3，求 的值ACD【答案】 解：（1）AO = BD，AOBD ； （2）证明：如图 4，过点 B 作 BECA 交 DO 于 E，ACO = BEO又AO = OB，AOC = BOE，AOC BOEAC = BE 又1 = 45 ， ACO = BEO = 135 DEB = 452 = 45 ，BE = BD，EBD = 90AC = BD 延长 AC 交 DB 的延长线于 F，如图 4BE
13、AC ，AFD = 90ACBD （3）如图 5，过点 B 作 BECA 交 DO 于 E，BEO = ACO又BOE = AOC ， BOE AOC AOBCE又OB = kAO，由（2）的方法易得 BE = BD kACBD10如图，已知过 A（2，4）分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 M、N，若点 P 从 O 点出发，沿 OM 作匀速运动，1 分钟可到达 M 点，点 Q 从 M 点出发，沿 MA 作匀速运动，1 分钟可到达 A点。（1）经过多少时间，线段 PQ 的长度为 2？（2）写出线段 PQ 长度的平方 y 与时间 t 之间的函数关系式和 t 的取值范围；（3）在 P、Q 运动过程中，是否可能出现 PQMN？若有可能，求出此时间 t；若不可能，请说明理由；（4）是否存在时间 t，使 P、Q、M 构成的三角形与MON 相似？若存在，求出此时间 t；若不可能，请说明理由；YN AQO P M X图 4ADOBC21MNEFA O BC1D2图 5MNE
