1、第 1 页（共 15 页）2017 高考复习 -排列组合与二项式定理1在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有 种（用数字作答） 2某学校开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种 （用数字作答）3把座位编号为 1、2 、3、4、5 的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为 （用数字作答）4将 A，B ，C，D，E，F 六个字母排成一排，且 A，B 均在 C
2、 的同侧，则不同的排法共有 种（用数字作答）5在某班进行的演讲比赛中，共有 5 位选手参加，其中 3 位女生，2 位男生如果 2 位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 6将序号分别为 1，2 ，3，4，5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1 张，如果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是 7 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于 8在二项式（x ） n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含 x2 项的系数是 9甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不
3、区分站的位置，则不同的站法总数是 10用数字 2，3 组成四位数，且数字 2，3 至少都出现一次，这样的四位数共有 个 （用数字作答）11如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种 （以数字作答）12若将函数 f（x ）=x 5 表示为 f（x）=a 0+a1（1 +x）+a 2（1+x） 2+a5（1+x） 5，其中第 2 页（共 15 页）a0，a 1，a 2，a 5 为实数，则 a3= 13由 1，2， 3，4，5，6 组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且 4 不在第四位，则这样的六位数共有 个
4、14 7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动若每天安排 3 人，则不同的安排方案共有 种（用数字作答） 15 的展开式中的常数项为 16在二项式 的展开式中，常数项等于 17设常数 aR，若（x 2+ ） 5 的二项展开式中 x7 项的系数为 10，则 a= 18某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为 19如图，一环形花坛分成 A，B，C ，D ，E 共 5 块，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块里种 1 种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法总数为 （用数字作答）20若 的展开式中各项
5、系数之和为 64，则展开式的常数项为 21将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答） 22若（1+mx） 6=a0+a1x+a2x2+a6x6，且 a1+a2+a6=63，则实数 m 的值为 23二项式 的展开式中，只有第 6 项的系数最大，则该展开式中的常数项为 24某单位有 7 个连在一起的停车位，现有 3 辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4 个空车位连在一起，则不同的停放方法有 种第 3 页（共 15 页）2017 年 03 月 25 日茅盾中学 09 的高中数学组卷 5参考答案与试题解析一填空题（共 24 小题）1 （ 20
6、14浙江）在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有 60 种（用数字作答） 【分析】分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得；一、二、三等奖，有 1 人获得 2 张，1 人获得 1 张【解答】解：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有 =24 种；一、二、三等奖，有 1 人获得 2 张，1 人获得 1 张，共有 =36 种，共有 24+36=60 种故答案为：60【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题2 （ 2010大纲版 ）某学校开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 4
7、门，一位同学从中共选3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 30 种 （用数字作答）【分析】由题意分类：（1） A 类选修课选 1 门，B 类选修课选 2 门，确定选法；（2 ） A 类选修课选 2 门，B 类选修课选 1 门，确定选法；然后求和即可【解答】解：分以下 2 种情况：（ 1）A 类选修课选 1 门， B 类选修课选 2 门，有 C31C42 种不同的选法；（2 ） A 类选修课选 2 门，B 类选修课选 1 门，有 C32C41 种不同的选法所以不同的选法共有 C31C42+C32C41=18+12=30 种故答案为：30【点评】本小题主要考查分类计数原理、组合知
8、识，以及分类讨论的数学思想3 （ 2015山东一模）把座位编号为 1、2、3 、4、5 的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数第 4 页（共 15 页）为 96 （用数字作答）【分析】根据题意，先将票分为符合题意要求的 4 份，可以转化为将 1、2、3、4、5 这五个数用 3 个板子隔开，分为四部分且不存在三连号的问题，用插空法易得其情况数目，再将分好的 4 份对应到 4 个人，由排列知识可得其情况数目，由分步计数原理，计算可得答案【解答】解：先将票分为符合条件的 4 份，由题意，4 人分 5 张票，且每人至少一张，至多两
9、张，则三人一张，1 人 2 张，且分得的票必须是连号，相当于将 1、2、3、4 、5 这五个数用 3 个板子隔开，分为四部分且不存在三连号在 4 个空位插 3 个板子，共有 C43=4种情况，再对应到 4 个人，有 A44=24 种情况，则共有 424=96 种情况故答案为 96【点评】本题考查排列、组合的应用，注意将分票的问题转化为将 1、2 、3、4、5 这五个数用 3 个板子隔开，分为四部分的问题，用插空法进行解决4 （ 2013浙江）将 A，B，C，D，E，F 六个字母排成一排，且 A，B 均在 C 的同侧，则不同的排法共有 480 种（用数字作答）【分析】按 C 的位置分类，在左 1
10、，左 2，左 3，或者在右 1，右 2，右 3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以 2 即可【解答】解：按 C 的位置分类，在左 1，左 2，左 3，或者在右 1，右 2，右 3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以 2 即可当 C 在左边第 1 个位置时，有 A ，当 C 在左边第 2 个位置时，A 和 B 有 C 右边的 4 个位置可以选，有 A A ，当 C 在左边第 3 个位置时，有 A A +A A ，共为 240 种，乘以 2，得 480则不同的排法共有 480 种故答案为：480【点评】本题考查排列、组合的应用，关键在于明确事件之间的关系，同时要掌握分类讨论的处理方
11、法5 （ 2016黄冈模拟）在某班进行的演讲比赛中，共有 5 位选手参加，其中 3 位女生，2 位第 5 页（共 15 页）男生如果 2 位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 60 【分析】若第一个出场的是男生，方法有 =36 种若第一个出场的是女生（不是女生甲） ，用插空法求得方法有 =24 种，把这两种情况的方法数相加，即得所求【解答】解：若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有 =36 种若第一个出场的是女生（不是女生甲） ，则将剩余的 2 个女生排列好，2 个男生插空，方法有 =24 种故所有的出场顺序的排法种数为 36+24
12、=60，故答案为：60【点评】本题主要考查排列组合、两个基本原理的应用，注意特殊位置优先排，不相邻问题用插空法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题6 （ 2013北京）将序号分别为 1，2，3 ，4，5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1张，如果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是 96 【分析】求出 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1 张，如果分给同一人的 2 张参观券连号的组数，然后分给 4 人排列即可【解答】解：5 张参观券全部分给 4 人，分给同一人的 2 张参观券连号，方法数为：1 和2， 2 和 3，3 和 4，4 和 5，四种连号，其它号码各
13、为一组，分给 4 人，共有 4 =96种故答案为：96【点评】本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力7 （ 2015哈尔滨校级模拟） 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开第 6 页（共 15 页）式中的常数项等于 180 【分析】如果 n 是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果 n 是偶数，那么是最中间那项的二次项系数最大，由此可确定 n 的值，进而利用展开式，即可求得常数项【解答】解：如果 n 是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果 n 是偶数，那么是最中间项的二次项系数最大 展开式中只有第六项的二项式系数最大，n=10
14、展开式的通项为 =令 =0，可得 r=2展开式中的常数项等于 =180故答案为：180【点评】本题考查二项展开式，考查二项式系数，正确利用二项展开式是关键8 （ 2016惠州三模）在二项式（x ） n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含 x2 项的系数是 56 【分析】先求出 n，在展开式的通项公式，令 x 的指数为 2，即可得出结论【解答】解：在二项式（x ） n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，n=8，展开式的通项公式为 Tr+1= （ 1） rx82r，令 82r=2，则 r=3，展开式中含 x2 项的系数是 =56故答案为：56【点评】本题考查二项展开式的
15、通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于基础题第 7 页（共 15 页）9 （ 2009浙江）甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是 336 【分析】由题意知本题需要分组解决，共有两种情况，对于 7 个台阶上每一个只站一人，若有一个台阶有 2 人另一个是 1 人，根据分类计数原理得到结果【解答】解：由题意知本题需要分组解决，对于 7 个台阶上每一个只站一人有 A73 种；若有一个台阶有 2 人另一个是 1 人共有 C31A72 种，根据分类计数原理知共有不同的站法种数是 A73+C31A72=336 种故答案为：
16、336【点评】分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数分步要做到步骤完整完成了所有步骤，恰好完成任务10 （ 2011北京）用数字 2，3 组成四位数，且数字 2，3 至少都出现一次，这样的四位数共有 14 个 （用数字作答）【分析】本题是一个分类计数问题，首先确定数字中 2 和 3 的个数，当数字中有 1 个2， 3 个 3 时，当数字中有 2 个 2，2 个 3 时，当数字中有 3 个 2，1 个 3 时，写出每种情况的结果数，最后相加【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，首先确定数字中 2 和 3 的个数，当数字中有 1 个 2，3 个
17、 3 时，共有 C41=4 种结果，当数字中有 2 个 2，2 个 3 时，共有 C42=6 种结果，当数字中有 3 个 2，1 个 3 时，共有有 C41=4 种结果，根据分类加法原理知共有 4+6+4=14 种结果，故答案为：14【点评】本题考查分类计数原理，是一个数字问题，这种问题一般容易出错，注意分类时要做到不重不漏，本题是一个基础题，也是一个易错题，易错点在数字中重复出现的数字不好处理第 8 页（共 15 页）11 （ 2003全国）如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 72 种 （以数字作答）【
18、分析】分类型，选 3 种颜色时，就是 同色，同色； 4 种颜色全用，只能或用一种颜色，其它不相同，求解即可【解答】解：由题意，选用 3 种颜色时：涂色方法 C43A33=24 种4 色全用时涂色方法：C 21A44=48 种所以不同的着色方法共有 72 种故答案为：72【点评】本题考查组合及组合数公式，考查分类讨论思想，避免重复和遗漏情况，是中档题12 （ 2012浙江）若将函数 f（x ）=x 5 表示为 f（x）=a 0+a1（1+x）+a 2（1+x）2+a5（1 +x） 5，其中 a0，a 1，a 2，a 5 为实数，则 a3= 10 【分析】将 x5 转化（x+1 ） 15，然后利用
19、二项式定理进行展开，使之与 f（x）=a0+a1（ 1+x）+ a2（1+x ） 2+a5（1+x） 5 进行比较，可得所求【解答】解：f（x）=x 5=（x+1 ）1 5= （x+1 ） 5+ （ x+1） 4（1）+ （x+1） 3（ 1） 2+（x+1） 2（1 ） 3+ （x +1） 1（1 ） 4+ （1 ） 5而 f（x）=a 0+a1（1+x ）+a 2（ 1+x） 2+a5（1+x） 5，a 3= （1） 2=10故答案为：10【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键利用 x5=（x +1）1 5 展开，同时考查了计算能力，属于基础题第 9 页（共 15 页）13 （
20、 2016天门模拟）由 1，2 ，3，4，5 ，6 组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且 4 不在第四位，则这样的六位数共有 120 个【分析】1，2 ，3 ，4，5，6 组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻，有 =144 个，4 在第四位，则前 3 位是奇偶奇，后两位是奇偶或偶奇，共有 2 =24 个，利用间接法可得结论【解答】解：1，2，3 ，4，5，6 组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻，有 =144个，4 在第四位，则前 3 位是奇偶奇，后两位是奇偶或偶奇，共有 2 =24 个，所求六位数共有 120 个故答案为：120【点评】本题考查排列组合知识，考查间接法的运用，属于基础
21、题14 （ 2009宁夏） 7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动若每天安排 3 人，则不同的安排方案共有 140 种（用数字作答） 【分析】由题意知本题需要先从 7 人中任取 6 人，共有 C76 种不同的取法再把 6 人分成两部分，每部分 3 人，最后排在周六和周日两天，有 A22 种排法，根据分步计数原理得到结果【解答】解：先从 7 人中任取 6 人，共有 C76 种不同的取法再把 6 人分成两部分，每部分 3 人，共有 种分法最后排在周六和周日两天，有 A22 种排法，C 76 A22=140 种故答案为：140【点评】本题是一个易错题，在平均分组上可能出错，可以这
22、样解：先从 7 人中选取 3 人排在周六，共有 C73 种排法再从剩余 4 人中选取 3 人排在周日，共有 C43 种排法，共有第 10 页（共 15 页）C73C43=140 种15 （ 2010辽宁） 的展开式中的常数项为 5 【分析】 展开式的常数项为 展开式的常数项与 x2 的系数和；利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数分别为 0，2 即得【解答】解： 的展开式的通项为 Tr+1=C6r（ 1） rx62r，当 r=3 时， T4=C63=20， 的展开式有常数项 1（20）= 20，当 r=4 时， T5=C64=15， 的展开式有常数项 x215x2=15，因此常数项为20 +15=5故答案为5【点评】本题考查等价转化的能力；考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具16 （ 2016西城区二模）在二项式 的展开式中，常数项等于 160 【分析】展开式的通项为 = ，要求常数项，只要令62r=0 可得 r，代入即可求【解答】解：展开式的通项为 =令 62r=0 可得 r=3常数项为 =160故答案为：160【点评】本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，属于基础试题
