1、2015 中考专题复习 轴对称之最值例题讲解1 （2013苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上顶点 B 的坐标为（3， ） ，点 C 的坐标为（ ，0） ，点 P 为斜边 OB 上的一个动点，则 PA+PC 的最小值为（ ）AB C D22 （2011本溪）如图，正方形 ABCD 的边长是 4，DAC 的平分线交 DC 于点 E，若点 P、Q 分别是 AD和 AE 上的动点，则 DQ+PQ 的最小值（ ）A2 B 4 C 2 D43 （2013宛城区一模）点 A，B 均在由边长为 1 的相同小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示，若 P
2、 是 x 轴上使得|PAPB| 的值最大的点，Q 是 y 轴上使得 QA+QB 的值最小的点，则OP+OQ=（ ）AB 4 C D54如图，A 是半圆上的一个二等分点， B 是半圆上的一个六等分点，P 是直径 MN 上的一个动点，O半径 r=1，则 PA+PB 的最小值是（ ）A2 B C D5如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，4） ，B（4，2） ，在 x 轴上取一点 P，使点 P 到点 A 和点 B 的距离之和最小，则点 P 的坐标是（ ）A （2 ，0 ）B （4，0） C （2，0） D（0，0）6如图，MN 是O 的直径，点 A 是半圆上的三等分点，点 B 是劣弧 AN 的中点，
3、点 P 是直径 MN 上一动点若 MN=2 ，则 PA+PB 的最小值是（ ）A2 B C 1 D27如图，正方形 ABCD 的面积为 16，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 BD 上有一点 P，使 PC+PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A4 B 2 C 2 D28 （2013资阳）如图，在 RtABC 中，C=90， B=60，点 D 是 BC 边上的点，CD=1，将ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，若点 P 是直线 AD 上的动点，则 PEB 的周长的最小值是 _ 9 （2012青岛）已知：如图，在 RtABC 中，C=9
4、0，AC=6cm，BC=8cm，D、E 分别是 AC、AB 的中点，连接 DE，点 P 从点 D 出发，沿 DE 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为 2cm/s，当点 P 停止运动时，点 Q 也停止运动连接 PQ，设运动时间为 t（s ）（0t4） 解答下列问题：（1）当 t 为何值时，PQ AB？（2）当点 Q 在 BE 之间运动时，设五边形 PQBCD 的面积为 y（cm 2） ，求 y 与 t 之间的函数关系式；（3）在（2）的情况下，是否存在某一时刻 t，使 PQ 分四边形 BCDE 两部分的面积之比为 SPQE：S 五边形 P
5、QBCD=1：29？若存在，求出此时 t 的值以及点 E 到 PQ 的距离 h；若不存在，请说明理由10 （2013南充）如图，公路 AB 为东西走向，在点 A 北偏东 36.5方向上，距离 5 千米处是村庄 M；在点 A 北偏东 53.5方向上，距离 10 千米处时村庄 N（参考数据；sin36.5=0.6，cos36.5 =0.8，tan36.5=0.75） （1）求 M，N 两村之间的距离；（2）要在公路 AB 旁修建一个土特产收购站 P，使得 M，N 两村到 P 的距离之和最短，求这个最短距离11 （2013日照）问题背景：如图（a） ，点 A、B 在直线 l 的同侧，要在直线 l 上
6、找一点 C，使 AC 与 BC 的距离之和最小，我们可以作出点 B 关于 l 的对称点 B，连接 A B与直线 l 交于点 C，则点 C 即为所求（1）实践运用：如图（b） ，已知，O 的直径 CD 为 4，点 A 在 O 上，ACD=30 ，B 为弧 AD 的中点，P 为直径 CD上一动点，则 BP+AP 的最小值为 _ （2）知识拓展：如图（c） ，在 RtABC 中，AB=10， BAC=45，BAC 的平分线交 BC 于点 D，E、F 分别是线段 AD和 AB 上的动点，求 BE+EF 的最小值，并写出解答过程12 （2010天津）在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标
7、原点，顶点 A、B 分别在 x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边 OB 的中点（1）若 E 为边 OA 上的一个动点，当 CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标；（2）若 E、F 为边 OA 上的两个动点，且 EF=2，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点 E、F 的坐标（温馨提示：可以作点 D 关于 x 轴的对称点 D，连接 CD与 x 轴交于点 E，此时CDE 的周长是最小的这样，你只需求出 OE 的长，就可以确定点 E 的坐标了 ）13 （2010淮安） （1）观察发现：如（a）图，若点 A，B 在直线 l 同侧，在直线 l 上找一点 P，使 AP+BP 的值最小做法如
8、下：作点 B 关于直线 l 的对称点 B，连接 AB，与直线 l 的交点就是所求的点 P再如（b）图，在等边三角形 ABC 中，AB=2 ，点 E 是 AB 的中点，AD 是高，在 AD 上找一点 P，使 BP+PE 的值最小做法如下：作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，则这点就是所求的点P，故 BP+PE 的最小值为 _ （2）实践运用：如（c）图，已知O 的直径 CD 为 4，AOD 的度数为 60，点 B 是 的中点，在直径 CD 上找一点 P，使 BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值（3）拓展延伸：如（d）图，在四边形 ABCD
9、 的对角线 AC 上找一点 P，使 APB=APD保留作图痕迹，不必写出作法14 （2009漳州）几何模型：条件：如下图，A、B 是直线 l 同旁的两个定点问题：在直线 l 上确定一点 P，使 PA+PB 的值最小方法：作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连接 AB 交 l 于点 P，则 PA+PB=AB 的值最小（不必证明） 模型应用：（1）如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P 是 AC 上一动点连接 BD，由正方形对称性可知，B 与 D 关于直线 AC 对称连接 ED 交 AC 于 P，则 PB+PE 的最小值是 _ ；（2）如图 2，O 的半径为 2，点
10、A、B 、C 在O 上，OA OB，AOC=60 ，P 是 OB 上一动点，求PA+PC 的最小值；（3）如图 3，AOB=45，P 是 AOB 内一点，PO=10 ，Q、R 分别是 OA、OB 上的动点，求 PQR 周长的最小值2013 年 12 月 1066077065 的初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共 7 小题）1 （2013苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上顶点 B 的坐标为（3， ） ，点 C 的坐标为（ ，0） ，点 P 为斜边 OB 上的一个动点，则 PA+PC 的最小值为（ ）AB C D2考点： 轴对称-最短路线问题；坐
11、标与图形性质 4204949专题： 压轴题分析： 作 A 关于 OB 的对称点 D，连接 CD 交 OB 于 P，连接 AP，过 D 作 DNOA 于 N，则此时PA+PC 的值最小，求出 AM，求出 AD，求出 DN、CN，根据勾股定理求出 CD，即可得出答案解答： 解：作 A 关于 OB 的对称点 D，连接 CD 交 OB 于 P，连接 AP，过 D 作 DNOA 于 N，则此时 PA+PC 的值最小，DP=PA，PA+PC=PD+PC=CD，B（3， ） ，AB= ，OA=3，B=60 ，由勾股定理得：OB=2 ，由三角形面积公式得： OAAB= OBAM，AM= ，AD=2 =3，AM
12、B=90， B=60，BAM=30，BAO=90，OAM=60，DNOA，NDA=30，AN= AD= ，由勾股定理得：DN= ，C（ ，0） ，CN=3 =1，在 RtDNC 中，由勾股定理得：DC= = ，即 PA+PC 的最小值是 ，故选 B点评： 本题考查了三角形的内角和定理，轴对称最短路线问题，勾股定理，含 30 度角的直角三角形性质的应用，关键是求出 P 点的位置，题目比较好，难度适中2 （2011本溪）如图，正方形 ABCD 的边长是 4，DAC 的平分线交 DC 于点 E，若点 P、Q 分别是 AD和 AE 上的动点，则 DQ+PQ 的最小值（ ）A2 B 4 C 2 D4考点
13、： 轴对称-最短路线问题；正方形的性质 4204949专题： 压轴题；探究型分析： 过 D 作 AE 的垂线交 AE 于 F，交 AC 于 D，再过 D作 DPAD，由角平分线的性质可得出 D是D 关于 AE 的对称点，进而可知 DP即为 DQ+PQ 的最小值解答： 解：作 D 关于 AE 的对称点 D，再过 D作 DPAD 于 P，DDAE，AFD=AFD，AF=AF，DAE=CAE，DAFDAF，D是 D 关于 AE 的对称点，AD=AD=4，DP即为 DQ+PQ 的最小值，四边形 ABCD 是正方形，DAD=45，AP=PD，在 RtAPD中，PD2+AP2=AD2，AD 2=16，AP
14、=PD，2PD2=AD2，即 2PD2=16，PD=2 ，即 DQ+PQ 的最小值为 2 故选 C点评： 本题考查的是轴对称最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键3 （2013宛城区一模）点 A，B 均在由边长为 1 的相同小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示，若 P 是 x 轴上使得|PAPB| 的值最大的点，Q 是 y 轴上使得 QA+QB 的值最小的点，则OP+OQ=（ ）AB 4 C D5考点： 轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质 4204949分析： 连接 AB 并延长交 x 轴于点 P，作 A 点关于 y 轴的对称点 A连接 AB 交 y 轴于点 Q，
15、求出点 Q 与y 轴的交点坐标即可得出结论解答： 解：连接 AB 并延长交 x 轴于点 P，由三角形的三边关系可知，点 P 即为 x 轴上使得|PA PB|的值最大的点，点 B 是正方形的中点，点 P 即为 AB 延长线上的点，此时 P（3，0）即 OP=3；作 A 点关于 y 轴的对称点 A连接 AB 交 y 轴于点 Q，则 AB 即为 QA+QB 的最小值，A（ 1，2） ， B（2，1） ，设过 AB 的直线为：y=kx+b，则 ，解得 ，Q（ 0， ） ，即 OQ= ，OP+OQ=3+ = 故选：C点评： 本题考查的是轴对称最短路线问题，根据题意得出 P、Q 两点的坐标是解答此题的关键
16、4如图，A 是半圆上的一个二等分点， B 是半圆上的一个六等分点，P 是直径 MN 上的一个动点，O半径 r=1，则 PA+PB 的最小值是（ ）A2 B C D考点： 轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系4204949分析： 本题是要在 MN 上找一点 P，使 PA+PB 的值最小，设 A是 A 关于 MN 的对称点，连接 AB，与MN 的交点即为点 P此时 PA+PB=AB 是最小值，可证 OAB 是等腰三角形，从而得出结果解答： 解：作点 A 关于 MN 的对称点 A，连接 AB，交 MN 于点 P，连接 OA，AA作 OQAB，点 A 与 A关于 MN 对称，
17、点 A 是半圆上的一个二等分点，AON=AON=90，PA=PA ，B 是半圆上的一个六等分点，BON=30，AOB=AON+BON=120，又 OA=OA=1， A=30，AQ=OAcos30= ，AB= PA+PB=PA+PB=AB= 故选：C点评： 此题考查了轴对称最短路线问题，正确确定 P 点的位置是解题的关键，确定点 P 的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要5如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，4） ，B（4，2） ，在 x 轴上取一点 P，使点 P 到点 A 和点 B 的距离之和最小，则点 P 的坐标是（ ）A （2 ，0 ）B （4，0） C （2，0）
18、D（0，0）考点： 轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质 4204949分析： 作 A 关于 x 轴的对称点 C，连接 AC 交 x 轴于 D，连接 BC 交交 x 轴于 P，连接 AP，此时点 P 到点 A 和点 B 的距离之和最小，求出 C（的坐标，设直线 CB 的解析式是 y=kx+b，把 C、B 的坐标代入求出解析式是 y=x2，把 y=0 代入求出 x 即可解答： 解：作 A 关于 x 轴的对称点 C，连接 AC 交 x 轴于 D，连接 BC 交交 x 轴于 P，连接 AP，则此时 AP+PB 最小，即此时点 P 到点 A 和点 B 的距离之和最小，A（ 2， 4） ，C（ 2，4）
19、 ，设直线 CB 的解析式是 y=kx+b，把 C、B 的坐标代入得： ，解得：k=1，b=2，y=x2，把 y=0 代入得：0=x 2，x=2，即 P 的坐标是（2，0） ，故选 C点评： 本题考查了轴对称最短路线问题，一次函数的解析式，坐标与图形性质等知识点，关键是能画出P 的位置，题目比较典型，是一道比较好的题目6如图，MN 是O 的直径，点 A 是半圆上的三等分点，点 B 是劣弧 AN 的中点，点 P 是直径 MN 上一动点若 MN=2 ，则 PA+PB 的最小值是（ ）A2 B C 1 D2考点： 轴对称-最短路线问题；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理4204949分析：
20、本题是要在 MN 上找一点 P，使 PA+PB 的值最小，设 A是 A 关于 MN 的对称点，连接 AB，与MN 的交点即为点 P此时 PA+PB=AB 是最小值，可证 OAB 是等腰直角三角形，从而得出结果解答： 解：作点 A 关于 MN 的对称点 A，连接 AB，交 MN 于点 P，连接 OA，OA，OB，PA，AA 点 A 与 A关于 MN 对称，点 A 是半圆上的一个三等分点，AON=AON=60，PA=PA ，点 B 是弧 AN 的中点，BON=30，AOB=AON+BON=90，又 OA=OA= ，AB=2PA+PB=PA+PB=AB=2故选 D点评： 本题结合图形的性质，考查轴对称最短路线问题其中求出 BOC 的度数是解题的关键
