1、 1中考动点型问题专题一、中考专题诠释所谓“动点型问题” 是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题” 题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况
2、，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例 1 （2015兰州）如图，动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 运动至点 B 后，立即按原路返回，点 P 在运动过程中速度不变，则以点 B 为圆心，线段 BP 长为半径的圆
3、的面积 S 与点 P 的运动时间 t 的函数图象大致为（ ）A B C D思路分析：分析动点 P 的运动过程，采用定量分析手段，求出 S 与 t 的函数关系式，根据关系式可以得出结论解：不妨设线段 AB 长度为 1 个单位，点 P 的运动速度为 1 个单位，则：（1）当点 P 在 AB 段运动时，PB=1-t，S= （1-t） 2（0t1） ；（2）当点 P 在 BA 段运动时，PB=t-1，S= （t-1） 2（1t2） 综上，整个运动过程中，S 与 t 的函数关系式为：S=（t-1 ） 2（0t2 ） ，这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线结合题中各选项，只有 B 符合要求故选
4、B点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择对应训练1 （2015白银）如图，O 的圆心在定角 （0180）的角平分线上运动，且O 与 的两边相切，图中阴影部分的面积 S 关于O 的半径 r（r0）变化的函数图象大致是（ ）A B C D1C考点二：动态几何型题目点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点2为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力
5、.动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。 ）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。（一）点动问题例 2 （2015河北）如图，梯形 ABCD 中，AB DC， DEAB，CFAB，且 AE=EF=FB=5，DE=12 动点 P 从点A 出发，沿折线 AD-DC-CB 以每秒 1 个单位长的速度运动到点 B 停止设运动时间为 t 秒，y=S EPF，则 y 与 t 的函
6、数图象大致是（ ）A B C D思路分析：分三段考虑，点 P 在 AD 上运动，点 P 在 DC 上运动，点 P 在 BC 上运动，分别求出 y 与 t 的函数表达式，继而可得出函数图象解：在 RtADE 中，AD= ，在 RtCFB 中，BC= ， 213AED213BFC点 P 在 AD 上运动：过点 P 作 PMAB 于点 M，则 PM=APsinA= t，123此时 y= EFPM= t，为一次函数；1230点 P 在 DC 上运动，y= EFDE=30；12点 P 在 BC 上运动，过点 P 作 PNAB 于点 N，则 PN=BPsinB= （AD+CD+BC-t ）= ，12312
7、(3)t则 y= EFPN= ，为一次函数1230()1t综上可得选项 A 的图象符合故选 A点评：本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论 y 与 t 的函数关系式，当然在考试过程中，建议同学们直接判断是一次函数还是二次函数，不需要按部就班的解出解析式对应训练2 （2015北京）如图，点 P 是以 O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2设弦 AP 的长为 x，APO 的面积为 y，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ）3A BC D2A（二）线动问题例 3 （2015 荆门）如右图所示，已知等腰梯形 ABCD，ADBC，若动直线 l 垂直于 B
8、C，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为 S，BP 为 x，则 S 关于 x 的函数图象大致是（ ）A BC D思路分析：分三段考虑，当直线 l 经过 BA 段时，直线 l 经过 AD 段时，直线 l 经过 DC 段时，分别观察出面积变化的情况，然后结合选项即可得出答案解：当直线 l 经过 BA 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；直线 l 经过 DC 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；直线 l 经过 DC 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；结合选项可得，A 选项的图象符合故选 A点评：本题考查了动点问题的函数图象，类似此类问题，有时候
9、并不需要真正解出函数解析式，只要我们能判断面积增大的快慢就能选出答案对应训练3 （2015永州）如图所示，在矩形 ABCD 中，垂直于对角线 BD 的直线 l，从点 B 开始沿着线段 BD 匀速平移到D设直线 l 被矩形所截线段 EF 的长度为 y，运动时间为 t，则 y 关于 t 的函数的大致图象是（ ）4A BC D3A（三）面动问题 例 4 （2015牡丹江）如图所示：边长分别为 1 和 2 的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为 t，大正方形内去掉小正方形后的面积为 s，那么 s 与 t 的大致图象应为（ ）A B C D思路分
10、析：根据题意，设小正方形运动的速度为 V，分三个阶段；小正方形向右未完全穿入大正方形，小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，小正方形穿出大正方形，分别求出 S，可得答案解：根据题意，设小正方形运动的速度为 V，分三个阶段；小正方形向右未完全穿入大正方形，S=22-Vt1=4-Vt，小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=22-11=3，小正方形穿出大正方形，S=Vt1 ，分析选项可得，A 符合；故选 A点评：解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况对应训练4 （2015衡阳）如图所示，半径为 1 的圆和边长为 3 的正方形在同一水平线上，圆
11、沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为 t，正方形除去圆部分的面积为 S（阴影部分） ，则 S 与 t 的大致图象为（ ）A B C D4A考点三：双动点问题动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为中考试题的热点中的热点，双动点问题对同学们获取信息和处理信息的能力要求更高高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.例 5 （2015 攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是梯形，AB CD ，点 B（10 ， 0） ，
12、C（7，4） 直线 l 经过 A，D 两点，且 sinDAB= 动点 P 在线段 AB 上从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度向25点 B 运动，同时动点 Q 从点 B 出发以每秒 5 个单位的速度沿 BCD 的方向向点 D 运动，过点 P 作 PM 垂直于 x轴，与折线 ADC 相交于点 M，当 P，Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动设点 P，Q 运动的时间为 t 秒（t0 ） ，MPQ 的面积为 S（1）点 A 的坐标为 ，直线 l 的解析式为 ；（2）试求点 Q 与点 M 相遇前 S 与 t 的函数关系式，并写出相应的 t 的取值范围；（3）试求（2）中当 t 为何值时，
13、S 的值最大，并求出 S 的最大值；（4）随着 P，Q 两点的运动，当点 M 在线段 DC 上运动时，设 PM 的延长线与直线 l 相交于点 N，试探究：当 t 为何值时，QMN 为等腰三角形？请直接写出 t 的值思路分析：（1）利用梯形性质确定点 D 的坐标，利用 sinDAB= 特殊三角函数值，得到AOD 为等腰直角三2角形，从而得到点 A 的坐标；由点 A、点 D 的坐标，利用待定系数法求出直线 l 的解析式；（2）解答本问，需要弄清动点的运动过程：当 0t1 时，如答图 1 所示；当 1t2 时，如答图 2 所示；当 2t 时，如答图 3 所示67（3）本问考查二次函数与一次函数在指定
14、区间上的极值，根据（2）中求出的 S 表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定 S 的最大值；（4）QMN 为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论，避免漏解解：（1）C （7，4） ，ABCD，D（0，4） sinDAB= ，2DAB=45，OA=OD=4，A（-4，0） 设直线 l 的解析式为：y=kx+b，则有，4-bk解得：k=1，b=4，y=x+4点 A 坐标为（-4，0） ，直线 l 的解析式为：y=x+4 （2）在点 P、Q 运动的过程中：当 0t1 时，如答图 1 所示：6过点 C 作 CFx 轴于点 F，则 CF=4，BF=3 ，由勾股定理得 BC=5过点 Q 作 QEx 轴于
15、点 E，则 BE=BQcosCBF=5t =3t35PE=PB-BE=（14-2t）-3t=14-5t，S= PMPE= 2t（14-5t ）=-5t 2+14t；12当 1t2 时，如答图 2 所示：过点 C、Q 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 F，E，则 CQ=5t-5，PE=AF-AP-EF=11-2t-（5t-5）=16-7t，S= PMPE= 2t（16-7t ）=-7t 2+16t；12当点 M 与点 Q 相遇时，DM+CQ=CD=7 ，即（2t-4 ）+（5t-5）=7，解得 t= 167当 2t 时，如答图 3 所示：167MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5
16、）=16-7t，S= PMMQ= 4（16-7t）=-14t+3212（3）当 0t1 时，S=-5t 2+14t=-5（t- ） 2+ ，75497a=-50，抛物线开口向下，对称轴为直线 t= ，75当 0t1 时，S 随 t 的增大而增大，当 t=1 时，S 有最大值，最大值为 9；当 1t2 时，S=-7t 2+16t=-7（t- ） 2+ ，8764a=-70，抛物线开口向下，对称轴为直线 t= ，当 t= 时，S 有最大值，最大值为 ；87当 2t 时，S=-14t+3216k=-140，S 随 t 的增大而减小又当 t=2 时，S=4；当 t= 时，S=0，1670S4综上所述，
17、当 t= 时，S 有最大值，最大值为 8647（4）QMN 为等腰三角形，有两种情形：如答图 4 所示，点 M 在线段 CD 上，MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，MN=DM=2t-4 ，由 MN=MQ，得 16-7t=2t-4，解得 t= ；209如答图 5 所示，当点 M 运动到 C 点，同时当 Q 刚好运动至终点 D，此时QMN 为等腰三角形， t= 125故当 t= 或 t= 时，QMN 为等腰三角形2091点评：本题是典型的运动型综合题，难度较大，解题关键是对动点运动过程有清晰的理解第（3）问中，考查了指定区间上的函数极值，增加了试题的难度；另外，分
18、类讨论的思想贯穿（2）-（4）问始终，同学们需要认真理解并熟练掌握对应训练5 （2015 年山东）如图 2,在ABC 中,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC 上运动.设 BD= CE= .,xy(1)如果BAC=30,DAE=105,试确定 与 之间的函数解析式； yx(2)如果BAC 的度数为 ,DAE 的度数为 ,当 , 满足怎样的关系式时,(1)中 与 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在ABC 中,AB=AC,BAC=30, AEDCB图 28ABC=ACB=75, ABD=ACE=105.BAC=30,DAE=105, DAB+CAE=75, 又DAB+ADB=AB
19、C=75,CAE=ADB, ADBEAC, ,ACBDE , .1xy(2)由于DAB+CAE= ,又DAB+ADB=ABC= ,且函数关系式成立,290 = , 整理得 .290290当 时,函数解析式 成立.xy1四、中考真题演练一、选择题1 （2015新疆）如图，RtABC 中，ACB=90，ABC=60，BC=2cm，D 为 BC 的中点，若动点 E 以 1cm/s 的速度从 A 点出发，沿着 ABA 的方向运动，设 E 点的运动时间为 t 秒（0t6） ，连接 DE，当BDE 是直角三角形时，t 的值为（ ）A2 B2.5 或 3.5C3.5 或 4.5 D2 或 3.5 或 4.5
20、1D2 （2015安徽）图 1 所示矩形 ABCD 中，BC=x，CD=y，y 与 x 满足的反比例函数关系如图 2 所示，等腰直角三角形 AEF 的斜边 EF 过 C 点， M 为 EF 的中点，则下列结论正确的是（ ）A当 x=3 时，ECEMB当 y=9 时，ECEMC当 x 增大时，ECCF 的值增大D当 y 增大时，BEDF 的值不变2D3 （2015盘锦）如图，将边长为 4 的正方形 ABCD 的一边 BC 与直角边分别是 2 和 4 的 RtGEF 的一边 GF 重合正方形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度沿 GE 向右匀速运动，当点 A 和点 E 重合时正方形停止运动设正
21、方形的运动时间为 t 秒，正方形 ABCD 与 RtGEF 重叠部分面积为 s，则 s 关于 t 的函数图象为（ ）9CBPDAQA B C D3B4 （2015龙岩）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（0，2） ，B（0，6 ） ，动点 C 在直线 y=x 上若以 A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点 C 的个数是（ ）A2 B3 C4 D54B6如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以 2 厘米/ 秒的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1 厘米/秒的速度移动。如果、同时出发，用 t 秒表
22、示移动的时间（0 t 6） ，那么：（1）当 t 为何值时，三角形 QAP 为等腰三角形？（2）求四边形 QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论；（3）当 t 为何值时，以点 Q、A 、P 为顶点的三角形与ABC 相似？分析：（1）当三角形 QAP 为等腰三角形时，由于A 为直角，只能是 AQ=AP，建立等量关系， ，t62即 时，三角形 QAP 为等腰三角形；2t（2）四边形 QAPC 的面积=ABCD 的面积三角形 QDC 的面积三角形 PBC 的面积= =36，即当 P、Q 运动时，四边形 QAPC 的面积不变。6)21(6xx（3）显然有两种情况：PAQABC，QAPABC，由
23、相似关系得 或 ，解之得 或23x2.17（2015 年南安市）如图所示，在直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AD 在 x 轴上，点 A 在原点，AB3，AD5若矩形以每秒 2 个单位长度沿 x 轴正方向作匀速运动同时点 P 从 A 点出发以每秒 1 个单位长度沿 ABCD 的路线作匀速运动当 P 点运动到 D 点时停止运动，矩形 ABCD 也随之停止运动求 P 点从 A 点运动到 D 点所需的时间；设 P 点运动时间为 t（秒）.10当 t5 时，求出点 P 的坐标；若OAP 的面积为 s，试求出 s 与 t 之间的函数关系式（并写出相应的自变量 t 的取值范围）解:（1）P 点从 A 点
24、运动到 D 点所需的时间（3+5+3）111（秒）.（2）当 t5 时，P 点从 A 点运动到 BC 上，此时 OA=10,AB+BP=5，BP=2. 过点 P 作 PEAD 于点 E，则 PE=AB=3,AE=BP=2.OE=OA+AE=10+2=12.点 P 的坐标为（12，3）分三种情况：当 0t3 时，点 P 在 AB 上运动，此时 OA=2t,AP=t，s= 2tt= t2.当 3t8 时，点 P 在 BC 上运动，此时 OA=2t，s= 2t3=3 t.当 8t11 时，点 P 在 CD 上运动，此时 OA=2t,AB+BC+CP= t，DP=(AB+BC+CD)-( AB+BC+
25、CP)=11- t.s= 2t(11- t)=- t2+11 t.综上所述，s 与 t 之间的函数关系式是：当 0t3 时，s= t 2；当 3t8 时，s=3 t；当 8t11 时，s=- t2+11 t . 8 （2014 济南）如图，在梯形 ABCD中， 35425BADCAB ， ， ， ， 动点 M从 B点出发沿线段 BC以每秒 2 个单位长度的速度向终点 运动；动点 N同时从 点出发沿线段 CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D运动设运动的时间为 t秒（1）求 的长（2）当 MN 时，求 t的值（3）试探究： t为何值时， N 为等腰三角形解：（1）如图，过 A、 D分别作 KBC于 ， DHBC于 ，则四边形 ADHK是矩形 3KH 1 分
