1、2.如图 7，梯形 中， ， ， , ， ，点为线段 上一动点（不与点 重合） ， 关于 的轴对称图形为 ，连接 ，设 ， 的面积为 ，的面积为 （1）当点 落在梯形 的中位线上时，求 的值；(全等)（2）试用 表示 ，并写出 的取值范围；（相似）（3）当 的外接圆与 相切时，求 的值 （垂径定理+中线+等面积+相似）【答案】解：（1）如图 1， 为梯形 的中位线，则 ，过点 作于点 ，则有：在 中，有 在 中， 又 解得：（2）如图 2， 交 于点 ， 与 关于 对称，则有： ，又 又 与 关于 对称，（3）如图 3，当 的外接圆与 相切时，则 为切点.的圆心落在 的中点，设为则有 ，过点
2、作 ，连接 ，得 则又解得： （舍去） 3.已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原点，以 P（1，1）为圆心的P 与 x 轴，y 轴分别相切于点 M 和点 N，点 F 从点 M 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，连接 PF，过点 PEPF 交 y 轴于点 E，设点 F 运动的时间是 t 秒（t0）（1）若点 E 在 y 轴的负半轴上（如图所示） ，求证：PE =PF；（全等）（2）在点 F 运动过程中，设 OE=a，OF =b，试用含 a 的代数式表示 b；（全等+分类讨论）（3）作点 F 关于点 M 的对称点 F，经过 M、E 和 F三点的抛物线的对称轴交 x
3、轴于点Q，连接 QE在点 F 运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E 为顶点的三角形与以点 P、M、F 为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由 （讨论对称轴+全等+相似）【分析】：（1）连接 PM，PN，运用PMFPNE 证明，（2）分两种情况当 t1 时，点 E 在 y 轴的负半轴上，0t1 时，点 E 在 y 轴的正半轴或原点上，再根据（1）求解，（3）分两种情况，当 1t 2 时，当 t2 时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式求出时间 t【解答】：证明：（1）如图，连接 PM，PN，P 与 x 轴， y 轴分别相切于点 M 和点 N，PMM
4、F，PNON 且 PM=PN，PMF =PNE =90且NPM=90，PEPF，NPE=MPF =90MPE，在PMF 和 PNE 中， ，PMFPNE（ASA） ，PE=PF，（2）解：当 t1 时，点 E 在 y 轴的负半轴上，如图，由（1）得PMFPNE，NE =MF=t，PM=PN=1，b=OF=OM+MF=1+t，a=NEON=t1，ba=1+ t（ t1）=2，b=2+a，0t1 时，如图 2，点 E 在 y 轴的正半轴或原点上，同理可证PMFPNE，b=OF=OM+MF=1+t，a=ONNE =1t，b+a=1+t+1 t=2，b=2a，（3）如图 3， （）当 1t 2 时，F
5、（1+t，0） ，F 和 F关于点 M 对称，F （1t，0）经过 M、E 和 F三点的抛物线的对称轴交 x 轴于点 Q，Q（1 t，0）OQ=1 t，由（1）得PMFPNE 来源 :学,科,网NE=MF=t，OE= t1当OEQ MPF = = ，解得，t= ，当OEQMFP 时， = ，= ，解得，t= ，（）如图 4，当 t2 时，F（1+t，0） ，F 和 F关于点 M 对称，F （1t，0）经过 M、E 和 F三点的抛物线的对称轴交 x 轴于点 Q，Q（1 t，0）OQ= t1，由（1）得PMFPNE NE =MF=t，OE =t1当OEQ MPF = = ，无解，当OEQ MFP
6、时， = ， = ，解得，t=2 ，所以当 t= ，t= ，t=2 时，使得以点 Q、O、E 为顶点的三角形与以点P、M、F 为顶点的三角形相似【点评】：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角形相结合找出线段关系3.木匠黄师傅用长 AB=3，宽 BC=2 的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心 O1、O 2 分别在 CD、AB 上，半径分别是 O1C、O 2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；（圆心距+勾股）方案三：沿对角线 AC 将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；（相似+设半径）方案四
7、：锯一块小矩形 BCEF 拼到矩形 AFED 下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆（1）写出方案一中圆的半径；（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设 CE=x（0x1） ，圆的半径为 y （分类讨论）求 y 关于 x 的函数解析式；当 x 取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大【考点】： 圆的综合题【分析】： （1）观察图易知，截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为 3，2，那么直接取圆直径最大为 2，则半径最大为 1（2）方案二、方案三中求圆的半径是常规的利用勾股定理或三角形相似中对应边长成比例
8、等性质解直角三角形求边长的题目一般都先设出所求边长，而后利用关系代入表示其他相关边长，方案二中可利用O1O2E 为直角三角形，则满足勾股定理整理方程，方案三可利用AOMOFN 后对应边成比例整理方程，进而可求 r 的值（3）类似（1）截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，虽然方案四中新拼的图象不一定为矩形，但直径也不得超过横纵向方向跨度则选择最小跨度，取其 ，即为半径由 EC 为 x，则新拼图形水平方向跨度为 3x，竖直方向跨度为 2+x，则需要先判断大小，而后分别讨论结论已有关系表达式，则直接根据不等式性质易得方案四中的最大半径另与前三方案比较，即得最终结论【解答】： 解：（1）方案一中
9、的最大半径为 1分析如下：因为长方形的长宽分别为 3，2，那么直接取圆直径最大为 2，则半径最大为 1（2）如图 1，方案二中连接 O1，O 2，过 O1 作 O1EAB 于 E，方案三中，过点 O 分别作 AB，BF 的垂线，交于 M，N，此时 M，N 恰为O 与 AB， BF 的切点方案二：设半径为 r，在 RtO 1O2E 中，O 1O2=2r，O 1E=BC=2，O 2E=ABAO 1CO 2=32r，（2r） 2=22+（32r） 2，解得 r= 方案三：设半径为 r，在AOM 和OFN 中，AOMOFN， ， ，解得 r= 比较知，方案三半径较大（3）方案四：EC=x，新拼图形水平
10、方向跨度为 3x，竖直方向跨度为 2+x类似（1） ，所截出圆的直径最大为 3x 或 2+x 较小的1当 3x2+x 时，即当 x 时，r = （3x） ；2当 3x=2+x 时，即当 x= 时，r= （3 ）= ；3当 3x2+x 时，即当 x 时，r = （2+x） 当 x 时，r= （3x） （3 ）= ；当 x= 时，r= （3 ）= ；当 x 时，r= （2+x） （2+ ）= ，方案四，当 x= 时，r 最大为 1 ，方案四时可取的圆桌面积最大【点评】： 本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质讨论等内容，题目虽看似新颖不易找到思路，但仔
11、细观察每一小问都是常规的基础考点，所以总体来说是一道质量很高的题目，值得认真练习4.如图，已知 l1l 2，O 与 l1，l 2 都相切，O 的半径为 2cm，矩形 ABCD 的边 AD、AB分别与 l1，l 2 重合，AB=4 cm，AD =4cm，若O 与矩形 ABCD 沿 l1 同时向右移动，O的移动速度为 3cm，矩形 ABCD 的移动速度为 4cm/s，设移动时间为 t（s）（1）如图，连接 OA、AC，则OAC 的度数为 105 ；（2）如图，两个图形移动一段时间后，O 到达O 1 的位置，矩形 ABCD 到达A1B1C1D1 的位置，此时点 O1，A 1，C 1 恰好在同一直线上
12、，求圆心 O 移动的距离（即 OO1的长） ；（相似）（3）在移动过程中，圆心 O 到矩形对角线 AC 所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm） ，当 d2 时，求 t 的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图） （相似+切线） （数形结合+分类讨论）【考点】： 圆的综合题【分析】： （1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出OAD=45，DAC=60 ，进而得出答案；（2）首先得出，C 1A1D1=60，再利用 A1E=AA1OO 12=t 2，求出 t 的值，进而得出 OO1=3t 得出答案即可；（3）当直线 AC 与O 第一次相切时，设移动时间为 t1，当直线 AC 与
13、O 第二次相切时，设移动时间为 t2，分别求出即可【解答】： 解：（1）l 1l 2，O 与 l1，l 2 都相切，OAD =45，AB=4 cm，AD=4 cm，CD=4 cm，AD=4cm ，tanDAC= = = ，DAC=60 ， 来源: 学科网 ZXXKOAC 的度数为：OAD+ DAC=105 ，故答案为：105；（2）如图位置二，当 O1，A 1，C 1 恰好在同一直线上时，设O 1 与 l1 的切点为E，连接 O1E，可得 O1E=2，O 1El 1，在 RtA 1D1C1 中，A 1D1=4，C 1D1=4 ，tanC 1A1D1= ，C 1A1D1=60，在 RtA 1O1
14、E 中， O 1A1E=C 1A1D1=60，A 1E= = ，A 1E=AA1OO 12=t2，t2= ，t= +2，OO 1=3t=2 +6；（3）当直线 AC 与O 第一次相切时，设移动时间为 t1，如图，此时O 移动到O 2 的位置，矩形 ABCD 移动到 A2B2C2D2 的位置，设O 2 与直线 l1，A 2C2 分别相切于点 F，G，连接 O2F，O 2G，O 2A2，O 2Fl 1，O 2GA 2G2，由（2）得，C 2A2D2=60，GA 2F=120，O 2A2F=60，在 RtA 2O2F 中， O2F=2， A2F= ，OO 2=3t，AF=AA 2+A2F=4t1+
15、，4t 1+ 3 t1=2，t 1=2 ，当直线 AC 与O 第二次相切时，设移动时间为 t2，记第一次相切时为位置一，点 O1，A 1，C 1 共线时位置二，第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等， +2（2 ）= t2（ +2） ，解得：t 2=2+2 ，综上所述，当 d2 时，t 的取值范围是： 2 t 2+2 【点评】： 此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论以及数形结合 t 的值是解题关键5.如图，平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y= x+b（b 为常数，b0）的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B，半径为 4 的O 与 x 轴正半轴相交于点 C，与 y 轴相交于点D、E，点 D 在点 E 上方（1）若直线 AB 与 有两个交点 F、G 求CFE 的度数；用含 b 的代数式表示 FG2，并直接写出 b 的取值范围；（垂径定理+直线方程）（2）设 b5，在线段 AB 上是否存在点 P，使CPE=45？若存在，请求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由 （相切+圆周角）【考点】： 圆的综合题【分析】： （1）连接 CD，EA，利用同一条弦所对的圆周角相等求行CFE=45，
