1、1.1 因式分解1、 常用公式或变形方法（此处只列出教科书以外的常用于竞赛中的内容）1. 22222 1cbabcabca 2. 1b3. （在已知 和 时此公式222 2cbacabca cba22c常变形为 ）4. bcacbaabca 22332、 例题讲解例 1. 已知 a、b、c 是ABC 的三条边，且满足 ，试判断ABCbcacba22的形状.例 2. 若三个素数的乘积恰好等于它们和的 23 倍，求这三个素数.（2015 大同杯第四题）例 3. 已知实数 a、b 、c 满足 ， ，求 的值.0cb220.1abc44abc（2003 年宇振杯第 3 题）例 4. 已知 ， ，求证：
2、0cba033cba055cba3、 练习题1. 已知整数 a、b 满足 ，求 的值 .30196baba2. 已知 ， ， ，求 的值.12ma2b3mc bcaba223. 已知 a、b 、c 是不全相等的实数，且 ， ，求：0abcabc33（1 ） 的值（2 ） 的值abcabca114. 化简： （2014 大同杯第 1 题）2233ba5. 设非零实数 a，b，c 满足 ，求 的值.（2013 年全国初中0432cba22cba数学联赛第一试第 1 题）6. 已知正数 a、b 、c 满足 ，求 的3acbca1cb值.7. 已知： ， ， ，求5cba1522cba4733cba的
3、值.（2016 全国初中数学联赛第二试 B 组第 22222 cba题）1.2 对称式与轮换对称式一、定义1. 一个 元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，那么，就称这个代数n式为 元对称式，简称对称式。例如， 都是22xyzxyz， ， ， ，对称式。2. 如果一个多项式的各项的次数均等于同一个常数，那么称这个多项式为齐次多项式。3. 一个 元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，那么就称这个n代数式为 元交代式。例如， 均是交代式。()()xyxyz， ，4. 如果一个 元代数式，如果将字母 ：以 代 ， 代 代n12nxA， ， ， 2x132nxA， ，
4、代 后代数式不变，那么称这个代数式为 元轮换对称式，简称轮换式。对称式1nx，一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如， 是对称式也是轮换式；22()axyz是轮换式，但不是对称式。22()bxyzx二、例题讲解例 1. 已知， a，b，c 是ABC 的边，且 ， ， ，求此三角形21ca2ab21bc的面积.例 2. 满足方程 的非负整数解 有几组？2014zyxzyxz zyx,（2014 大同杯第 4 题）例 3. 设 x、y、 z 是三个互不相等的数，且 ，求 xyz 的值.xzyx11例 4. x1、x 2、y 1、y 2 满足 x12+x22=2，x 2y1x1y2=1，x 1y
5、1+x2y2=3求 y12+y22 的值.三、练习题1. 已知 ， ， ，求 的值.15ba71c6caacb2. 若数组（x ，y ，z ）满足下列三个方程：， ， ，求 xyz 的值.1zyx23zyx3zyx3. 已知 b0，且 a+b=c+1，b+c=d+2 ，c+d=a+3，求 a+b+c+d 的最大值4. 不定方程 的整数 解共有几组？（2015 大同杯第 7 题）22xyxy(,)x5. 已知 bca2=5，cab 2=1，ab c2=7，求 6a+7b+8c6. 已知实数 a、b、c，且 ，若实数 x1、x 2、y 1、y 2 满足0x12+ax22=b，x 2y1x1y2=a，x 1y1+ax2y2=c求 y12+ay22 的值.（2007 新知杯第 5 题）1.3 高斯函数1、 定义实数 x，用x表示不超过 x 的最大值整数，则 y=x称为高斯函数.二、例题讲解例 1. 表示不大于 的最大整数，求方程 的所有实数解.（2006 新知xx27832x杯第 6 题）
