1、益阳市、湘潭市 2018 届高三 9 月调研考试试卷数学（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集 ，集合 ，则 （ RU 0)1(2|,2log|xBxA BCAU）A B C D)2,0(4,2)1,(4,(2.已知 ，则函数 为减函数的概率是（ ）53,1ba beaxfx2(A B C D03 53.已知命题 ：若复数 满足 ，则 ；命题 ：复数 的虚部为pz)(iiz6qi21，则下面为真命题的是（ ）i51A B C D)(qqp)()(pp4.已知等比数列 中， ，则
2、 的值为（ ）na45,375a759aA B C. D3925.若 ，则 的值Rxxx,)1( 201810218 20182133a为（ ）A B C. D20182018201820186.若将函数 的图象向右平移 个单位，再把所得图象上的点的横坐标)6sin()(xf 4扩大到原来的 倍，得到函数 的图象，则函数 图象的一条对称轴为（ ）2g)(xgA B C. D1x247x127677.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数学九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入
3、 的值分别为 .则输出 的值为（ xn,3,v）A B C. D151647488.已知 为数列 的前 项和，若 且 ，设 ，则nSna21anS1nab2log的值是（ ）20187321bbA B C. D08454320187201769.如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A B C. D3234410.如图，过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于点 ，交其准线 于)0(2pxyFBA、 l点 ，若点 是 的中点，且 ，则线段 的长为（ ）CFA4|BA B C. D5631632011.定义在 上的函数 ，满足 ，当 时， ，R)(x
4、f )(5(xff0,3(1)(xf当 时， ，则 的值等于（ ）2,0(x2log2182)1fA B C. D43405806912.设 是圆周率， 是自然对数的底数，在 六个数中，最小值与最大e ee,3,3值分别是（ ）A B C. D3,e e,33,e,e第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知变量 满足约束条件 ，记 的最大值时 ，则 yx,120yxyxz4a14.已知非零向量 满足： ，若 与 的夹角为 ，则 的值ba, |,atb ba3t为 15.已知 为双曲线 的左焦点，定点 为双曲线虚轴的一个端点，F)0,(12by
5、ax A过 两点的直线与双曲线的一条渐近线在 轴右侧的交点为 ，若 ，则此A, yBFA3双曲线的离心率为 16.已知三棱锥 的顶点都在球 的球面上， 是边长为 的正三角形，BCSOAC为球 的直径，且 ，则此三棱锥的体积为 SCO4三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知锐角 中，内角 的对边分别为 ，且 .ABCCB、 cba、 CBbacos2（1 ）求角 的大小；（2 ）求函数 的值域.ysin18. 某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况.若一个运动员出线
6、记 分，未出线记 分.假设甲、乙、10丙出线的概率分别为 ，他们出线与未出线是相互独立的.53,42（1 ）求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；（2 ）记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员所得分之和为随机变量 ，求随机变量的分布列和数学期望 .E19. 如图，四棱锥 的底面 为棱形，面 面ABCDPPAD,6,5,ABCD， 为 的中点.60E（1 ）证明： ；P（2 ）求二面角 的余弦值 .BA20.已知动圆 经过点 ，并且与圆 相切.P)0,1(N16)(:2yxM（1 ）求点 的轨迹 的方程；C（2 ）设 为轨迹 内的一个动点，过点 且斜率为 的直线 交轨迹 于 两),
7、(mGGklCBA、点，当 为何值时？ 是与 无关的定值，并求出该值定值.k22|BAm21. 设函数 .12)()(,)ln() xexgxaxf（1 ）若直线 是函数 的图象的一条切线，求实数 的值；32ln:xyl )(xf a（2 ）当 时， （i）关于 的方程 在区间 上有解，求 的取0a m31023,1m值范围， （ii）证明：当 时， .x)(xfg考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线 的参数方程为： （ 为参数）.以直角坐标系的Csinco2yx原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极
8、坐标系，直线 的极坐标方程为Ox l，直线 与曲线 交于 两点.21)3cos(lBA、（1 ）求直线 的直角坐标方程；l（2 ）设点 ，求 的值.)0,(P|P23.选修 4-5：不等式选讲设函数 .|4|12|)(xxf（1 ）解不等式 ；0f（2 ）若 对一切实数 均成立，求 的取值范围.|2|3)(mxxm试卷答案一、选择题1-5:ACCDB 6-10:DDBBC 11、12：BA二、填空题13. 14. 15. 16. 3323423三、解答题17.（1）由 ，利用正弦定理可得 ，CBcbaos BCBCAcosincsicosin2可化为： ，ABCAsin)si(cosin2.3
9、,20,1,0i （2 ） )si(siy.3,2( 1,23()6sin(,6,0,2, ,6ini1co3sinyAAABB18.（1）记“甲出线”为事件 ， “乙出线”为事件 ， “丙出线”为事件 ， “甲、乙、BC丙至少有一名出线”为事件 .D则 .3029541)()( CBAPD（2 ） 的所有可能取值为 .,0；3)()0(；6013)()(1CBAPCBAP；29)()2(.103所以 的分布列为 23P30160130910.22960E19.（1）取 的中点 ，连接 为菱形， ，ADOABCDEP, ACB分别为 的中点， .O、B, OE/为 的中点， ，P,又 面 面
10、，PADBC面 面 面 ，PO,ABCD，EO,面 .ACAP（2 ）连接 为菱形，BD,为等边三角形， 为 的中点， ，B，60OADADBO面 两两垂直.POAOPAC、,以 分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直接坐标系 ，则B、 xyz xyz为面 的法向量，)0,3(),40(),3,0(),3( BPD设面 的法向量 ，PA )0,3(4APzyxn则 即 ，取 ，则 ， ，0nB034yx1x43zyx)4,1(n，91631|,cos nO结合图形可知二面角 的余弦值为 .BPAD420.（1）由题设得： ，所以点 的轨迹 是以 为焦点的椭圆，4|PNMPCNM、椭圆方程为
11、 .,3,2,42cabca1342yx（2 ）设 ，直线 ，)(0,(),(21 mGyxBA )(:mxkl由 得 ，342yxmk 01248)4(22 kxk341,822121kxk.3462)()()( 2111 kmxmy.)4(221212121 kxk 212121212122112 )()()()()(| yymxxxyxyGBA 222)34()(6)(kkmk的值与 无关， ，2|GBA0342解得 .此时 .k7|22BA（方法 ：当 时，；当 时，设直线 ，；可以减少计算量.）20k0kmykxl:21.（1） ，设切点 ，1)(,)ln() axfxaxf),(0
12、P则 ，又 ，3,200a 32lnln000 x即得： .1,2,l3ln000 axx（2 ）当 时， （i）方程 即为mf3)( mx37ln2令 ，则 .37l)(2xxh xh)(1当 时， 随 变化情况如下表：,1)(,hx1)23,1( )3,2()(h 0x34极大值 23ln，4523ln)(,2ln)(,)1( h当 时， ，xx的取值范围为 .ml,3l（ii）证明：令 ，则)0(1ln)()( xexfgxF.)11)(ex令 ，则当 时， ，xG0(xexG函数 在 上递增， ，)(),01),01)存在唯一的零点 ，且当 时， ，x,(c(cx(x当 时， ，),(
13、c0)xG则当 时， ；当 时， .0x(F),(cx0)(xF在 上递减，在 上递增，从而 .)(,c), 1lncecx由 得 ，两边取对数得 ，G10xxeceln，从而证得 .)(,0)(FcF )(xfg22.（1）由 得： ，23os 213si3cos直线 的直角坐标方程为： .l 01yx（2 ）由 得曲线 的直角坐标方程为： ，sincyxC42yx在直线 上，设直线 的参数方程为：)0,1(Pllty213代入 得： ，42yx 712,0123712 ttt.| 121tPBA23.（1）当 时， ，原不等式即为 ，x54)(xxf 05x解得 ；4,5当 时， ，原不等式即为 ，2x 312)(xxf 3x解得 ；,1当 时， ，原不等式即为 ，x 54)(xxf 05x解得 ；5,综上，原不等式的解集为 或 .1|x（2 ） .9|)82(1|4|2|4|3)( xxf当 时，等号成立.1的最小值为 ，要使 成立，故 ，|)(xf 9|3)(mxf 9|2|解得 的取值范围是： .m17m
