1、1函数的奇偶性一、关于函数的奇偶性的定义一般地，如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么函)(xf x)(xff数 就称偶函数；)(xf一般地，如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么f ff函数 就称奇函数；f二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个 都必须成立；x3、可逆性： 是偶函数； 奇函数；)(xff)(f )(ff)(f4、等价性： )(xff 0)(xff (|)(fxf1xf； ；f5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 轴对称；y6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类
2、为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。7、设 ()fx， g的定义域分别是 12,D，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇（函数） 偶 偶偶（函数）奇奇偶（函数） 偶 偶偶（函数）奇偶奇（函数）8、多项式函数 的奇偶性10()nnPxaxa多项式函数 是奇函数 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.P多项式函数 是偶函数 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.9、复合函数 的奇偶性)(xgfy若函数 的定义域都是关于原点对称的,那么由,)(的奇偶性得到 的奇偶性的规律是:,ufxu)(xgfy函数 奇偶性)(g奇函数 奇函数 偶函数 偶函数ufy奇函数 偶函数 奇函数 偶函数)(x奇
3、函数 偶函数 偶函数 偶函数即当且仅当 和 都是奇函数时,复合函数 是奇函数.g)(ufy)(xgfy三、函数的奇偶性的判断2函数奇偶性的因素有两个：定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。判断函数奇偶性的方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查 是否与 、()fx()fx相等，判断步骤如下：)(xf1、定义域是否关于原点对称；若定义域不对称，则为非奇非偶函数；若定义域对称，则有成为奇（偶）函数的可能2、数量关系 哪个成立；)()(xff判断分段函数的奇偶性判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断，在函数定义域中，对自
4、变量 X的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数，分段函数不是几个函数，而是一个函数，因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断 与 的关系，首先要特别注意 X 与 X 的范围，然后将它们代入相应段的函数表达式中， 与 对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较。四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定命题 1： 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。命题 2： 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函
5、数。此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如 ， ，可以看出函数 与 都是定义()(1,)fx(2,)gx()fxg域上的函数，它们的差只在区间 上有定义且 ，而在此区间上函1()0fx数 既是奇函数又是偶函数。fg命题 3： 是任意函数，那么 与 都是偶函数。()|()|f|f此命题错误。一方面，对于函数 不能保证,(),| 0xfx或 ；另一方面，对于一个任意函数 而言，不能保fxffxf ()fx证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数是偶函数。(|)
6、f命题 4： 如果函数 满足： ，那么函数 是奇函数或偶函数。()fxfxf()fx此命题错误。如函数 从图像上看， 的图像既不关2,(,),1nN于原点对称，也不关于 轴对称，故此函数非奇非偶。y命题 5： 设 f(x)是定义域关于原点对称的一个函数，则 F1(x)f(x) f(x)为偶函数，F2(x) f(x)f(x )为奇函数3此命题正确。由函数奇偶性易证。命题 6：已知函数 是奇函数，且 有定义，则 。()fx(0)f0f此命题正确。由奇函数的定义易证。命题 7：已知 是奇函数或偶函数，方程 有实根，那么方程 的所f fx()0fx有实根之和为零；若 是定义在实数集上的奇函数，则方程
7、有奇数个实根。()x ()f此命题正确。方程 的实数根即为函数 与 轴的交点的横坐标，由奇偶性0f()f的定义可知：若 ，则 。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有()0()f。故原命题成立。0f五、关于函数按奇偶性的分类全体实函数可按奇偶性分为四类：奇偶数、偶函数、既是奇函数也是偶函数、非奇非偶函数。六、关于奇偶函数的图像特征一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图像关于 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。y图象法：如二次函数 成为偶函数，必须要使对称轴 ，2yaxbc 02bxa即 ；若二
8、次函数 成为奇函数，必须要使 ；当 时，0b 0ac二次函数是非奇非偶函数。奇函数对称区间上的单调性相同，偶函数对称区间上的单调性相反。七、关于函数奇偶性的简单应用函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是每年高考的重点和热点内容之一，利用函数的奇偶性可求函数值、比较大小，求函数的解析式，讨论函数的单调性，求参数的值等。现分别举例说明如下：1、利用奇偶性求函数值【例 1】 已知 且 ，那么 。8)(35bxaxf 10)2(f )2(f【例 2】 设 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，若当 x0 时， f（ x）=lo g3（1+ x），则f（2）=_ _。【例 3】 是定义在 R 上的奇函数,
9、则 =_；若有 ，则)(f )(f)(f_；)(f若 ；则 _；755f【例 4】 已知函数 ,若 为奇函数，则 _；12)(xa)(R(xfa2、利用奇偶性比较大小【例 5】 已知偶函数 在 上为减函数，比较 ， ， 的大小。)(f0,)5(f1(f)34【例 6】 若 是 R 上的偶函数，且在0，+）上是增函数，则下列各式成立的是：)(xf（ ）)1(02.fffA )0(1)2(.ffB2)(1CD【例 7】 如果奇函数 x在区间 3,7上是增函数且最大值为 5，那么 )(xf在区间3,上是（ ）A增函数且最小值是 5 B增函数且最大值是 C减函数且最大值是 D减函数且最小值是【例 8】
10、 ， 为偶函数，试比较 的大小关系。【例 9】 为偶函数， ，若 ，求 取值范围。3、利用奇偶性求解析式【例 10】已知 为偶函数，当 时， ，当 时，求)(xf01x()1fx0x的解析式。)(xf【例 11】若 是定义在（-，0） （0，+ ）上的奇函数，当 x0 时，)(xf ，求当 时，函数 的解析式。1)(xf)(xf【例 12】设 是定义在 R 上的奇函数, 且当 ，试求)(xf 132)(0xxf时 ，函数 的解析式。f4、利用奇偶性讨论函数的单调性【例 15】若 是偶函数，讨论函数 的单调区间。3)()2()xkxf )(xf5、利用奇偶性求参数的值【例 16】定义在 R 上的
11、偶函数 在 是单调递减，若)(xf)0,，则 的取值范围是如何？123()12(afaf5【例 17】设定义在 2,2上的奇函数 f(x)在区间0,2上单调递减，若 f(1m)f(m)，求实数 m 的取值范围6、利用奇偶性证明不等式【例 18】求证 )0(21x7、函数奇偶性的判定问题【例 19】 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x +1|x1|；（2）f（x）=（x1） ；1（3）f（x）= ；2|x（4）f（x）= ).0()1(,x（5） 2)【例 20】判断下列函数的奇偶性21(0)()xg【例 21】判断函数 f(x)Error!的奇偶性【名师点拨】 分段函数的奇偶性应分段证
12、明 f(x)与 f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性也可根据图象判定8、奇偶函数的图象问题【例 22】下面四个结论中，正确命题的个数是偶函数的图象一定与 y 轴相交 奇函数的图象一定通过原点 偶函数的图象关于 y 轴对称 既是奇函数，又是偶函数的函数一定是 f（x）=0（xR ） ( )A.1 B.2 C.3 D.4【提高练习】1.已知定义域为 的偶函数 在 上为减函数，且有 ，则满足R)(xf),00)2(f的 的集合为_；0)(xf2.已知函数 为 R 上的奇函数，若 ，则)(xfy1)(3f_；32f63.已知偶函数 在区间 上为减函数且有最大值为 5，
13、则 在区间 上)(xf4,2 )(xf2,4为_函数且有最 _值为_ ；若是奇函数 在区间 上为增函数且有最小)(xf4,2值为 5，则 在区间 上为_ 函数且有最_ 值为_。f,4.若函数 是奇函数，则 2()log()axxa5.已知函数 )17()12mmf为偶函数，则 m的值是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.若偶函数 )(xf在 ,上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A)(13ffB)2(3()1fffC 23)(2fD127.函数 是 R 上的偶函数，且在 上是增函数，若 ,则实数yx(,0()2fa的取值范围是 （ ）aA. B. C. D. 或2a2a2a8.已知 )1lg()l()xf（1 ）判断函数的奇偶性；（2 ）判断 的单调性并证明。)(f9.若 f（ x）= 为奇函数，求实数 a 的值.12xa
