1、1应用回归分析证明题及答案一. 证明残差满足的约束条件： ， 。10nie10nixe证明：由偏导方程即得该结论： 2()iiQy证毕.二. 证明平方和分解式： 。STRSE证明： 221121()() ()nni iii i ni i iii i iyyyy01110 2()nnniiiiiieyexx上 式 第 三 项 2211()()即 nni ii iSTyyRSE证毕.三. 证明三种检验的关系：（1） ；(2) 12t= xLrn221/F= = t()xLSEn证明：由于 21 1R , ,STxyx xyLr rST22 ien2所以 1 2 ;1yxrLnrt SR21/ .(
2、)xSFEn证毕.四证明： 。2()1() ii xVaren证明：由于 011()()iiiiiiniiiixeyxyL于是 121112()() ()()(),(),() niiiiixniii i xniiiiixniiixyVarey yVararxLCovyCovyL2 2221()1i ix xixnLnL证毕.五证明：在一元回归中， 。201(,)xCovL证明：301111111()()(,) ,()(),()( niiiiixxnni ii ii xxnni ii ii xxnii xyyCovovyLLovyyLL22)ixxL证毕.六证明： 是误差项方差 的无偏估计。21
3、 SEnp2证明：由于 2()1() ii xDen而 22()()iiiiEEeD所以 2 2112() ()()niini ii iSeppehp证毕.七证明： ； 。()E21()DX证明： 111()()()EEyXy41112121(),(),(),()()DCovvXyI证毕.八证明：在多元线性回归中，假设 ，则随机向量2(,)nN0I。九证明：当 时，则：2(,)nNyXIyX（1） ；（2） 。1,() 2/(1)SEp证明：（1）因为 ， 是固定的设计矩阵，因此， 是 的线性变换。1()yy又当 时，有随机向量 ，所以 服从正态分布，且2,nN0I 2(,)nNXI，即有 。
4、1()()EDX1（2）：由于 0()Ne-H借助于定理：设 ， 为 对称阵，秩为 r，则当 满足：(,)nX0IAnA，二次型 ，只需证明： 即可。2A2:r ()1rkp因为 是幂等阵，所以有 ，故N()ktN11()()nrtrpIX证毕.5十证明：在多元线性回归中，最小二乘估计 与残差向量 不相关，即e。(,)0Cove证明： 1121(,)(),()()()0CovCoveXyIHIX证毕.十一证明： ，其中 。2(1)DW12nttte证明：由于 221112 2()nnnt ttttt teeeD如果认为 ，则有 ，所以21ntte12ntte.12()ntteDW证毕.十二. 试证明：在二元线性回归模型 012iiiiyx中，当 和 相互独立时，对回归系数 和 的 OLS 估计值，等于 分别1x2 12 iy对 和 做简单线性回归时回归系数的 OLS 估计值。
