1、牛吃草问题教学目标：1. 理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路.2. 初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系知识点拨：英国科学家牛顿在他的普通算术一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题” “牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定 “牛吃草”问题是小学应用题中的难点解“牛吃草”问题的主要依据： 草的每天生长量不变； 每头牛每天的食草量不变； 草的总量 草场原有的草量 新生的草量，
2、其中草场原有的草量是一个固定值 新生的草量 每天生长量 天数同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：设定 1 头牛 1 天吃草量为“1” ；草的生长速度 (对应牛的头数 较多天数 对应牛的头数 较少天数) (较多天数 较少天数)；原来的草量 对应牛的头数 吃的天数 草的生长速度 吃的天数；吃的天数 原来的草量 (牛的头数 草的生长速度)；牛的头数 原来的草量 吃的天数 草的生长速度“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题例题精讲：板块一、一块地的“牛吃草问题”【例 1】 青青一牧场，牧草喂
3、牛羊；放牛二十七，六周全吃光。改养廿三只，九周走他方；若养二十一，可作几周粮？（注：“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。）【解说】题目翻译过来是：一牧场长满青草，27 头牛 6 个星期可以吃完，或者 23 头牛 9 个星期可以吃完。若是 21 头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在生长）【解析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为“1” ，27 头牛吃 6 周共吃了 份；23 头牛吃 9 周共吃了2761份第二种吃法比第一种吃法多吃了 份草，这 45 份草是牧场的草23907 045周生长出来的，所以每周生长的草量为 ，那么原有草量为：6 352供 21 头牛吃，若有 15 头
4、牛去吃每周生长的草，剩下 6 头牛需要 (周)可将原有牧草吃7261完，即它可供 21 头牛吃 12 周3个个个21个个个个个个23个个9个个个27个个6个个个【巩固】 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长这片牧场可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10天供 25 头牛可吃几天？【解析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为“1” ，10 头牛吃 20 天共吃了 份；15 头牛吃 10 天共吃了102份第一种吃法比第二种吃法多吃了 份草，这 50 份草是牧场的草50 5天生长出来的，所以每天生长的草量为 ，那么原有草量为：2 供 25 头牛吃，若有 5 头牛去吃每天生长的草，剩下 20
5、头牛需要 (天)可将原有牧草1025吃完，即它可供 25 头牛吃 5 天【例 2】 牧场上有一片匀速生长的草地，可供 27 头牛吃 6 周，或供 23 头牛吃 9 周，那么它可供多少头牛吃 18 周？【解析】 设 1 头牛 1 周的吃草量为“1” ，草的生长速度为 ，原有草量为(2397)(615，可供 （头）牛吃 18 周(275)6271859【巩固】 有一块匀速生长的草场，可供 12 头牛吃 25 天，或可供 24 头牛吃 10 天那么它可供几头牛吃20 天？【解析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为“1” ，那么 天生长的草量为 ，所以每天25101254106生长的草量为 ；原有草量为
6、： 60544020 天里，草场共提供草 ，可以让 头牛吃 20 天28284【巩固】 一牧场放牛 58 头，7 天把草吃完；若放牛 50 头，则 9 天吃完假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛 6 天可以把草吃完?【解析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 个单位，则每天生长的草量为： ，原有(5087)(92草量为： ， (头)50925(2)4【巩固】 林子里有猴子喜欢吃的野果，23 只猴子可在 9 周内吃光，21 只猴子可在 12 周内吃光，问如果要 4 周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变）【解析】 设一只猴子一周吃的野果为“ ”
7、，则野果的生长速度是 ，原有的野1(2139)(12)5果为 ，如果要 4 周吃光野果，则需有 只猴子一起吃(2315)972745【例 3】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 15 头牛吃 6 天照此计算，可以供多少头牛吃 10 天？【解析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为“1” ，那么每天自然减少的草量为： ，原20516510有草量为： ；10 天吃完需要牛的头数是： (头)200【巩固】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供 25 头牛吃 4 天，或可供
8、 16 头牛吃 6 天，那么可供多少头牛吃 12 天？【解析】 设 1 头牛 1 天吃的草为“1” 。牧场上的草每天自然减少 ； (25416)(42原来牧场有草 ，(25)10812 天吃完需要牛的头数是： (头)或 （头） 。27108)7【例 4】 一块匀速生长的草地，可供 16 头牛吃 20 天或者供 100 只羊吃 12 天如果一头牛一天吃草量等于 5 只羊一天的吃草量，那么这块草地可供 10 头牛和 75 只羊一起吃多少天？【解析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为“1” ，由于一头牛一天吃草量等于 5 只羊一天的吃草量，所以 100 只羊吃 12 天相当于 20 头牛吃 12 天那
9、么每天生长的草量为 ，原16201201有草量为： 602110 头牛和 75 只羊 1 天一起吃的草量，相当于 25 头牛一天吃的草量；25 头牛中，若有 10 头牛去吃每天生长的草，那么剩下的 15 头牛需要 天可以把原有草量吃完，即这块草地可12058供 10 头牛和 75 只羊一起吃 8 天巩固：有一片草场，草每天的生长速度相同。若 14 头牛 30 天可将草吃完，70 只羊 16 天也可将草吃完(4 只羊一天的吃草量相当于 1 头牛一天的吃草量)。那么，17 头牛和 20 只羊多少天可将草吃完?【解析】 “4 只羊一天的吃草量相当于 1 头牛一天的吃草量” ，所以可以设一只羊一天的食
10、量为 1，那么14 头牛 30 天吃了 单位草量，而 70 只羊 16 天吃了 单位草量，所4306816702以草场在每天内增加了 草量，原来的草量为 草量，(2)(3016)44680所以如果安排 17 头牛和 20 只羊，即每天食草 88 草量，经过 天，可将草吃48()完。【巩固】 一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供 20 头牛吃 12 天，或可供 60 只羊吃 24 天。如果 1 头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量，那么 12 头牛与 88 只羊一起吃可以吃几天？【解析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为“1” ， 只羊的吃草量等于 头牛的吃草量， 只羊的吃草量等于6015
11、8头牛的吃草量，所以草的生长速度为 ，原有草量为2 (15240)(24)10，12 头牛与 88 只羊一起吃可以吃 （天）(0)20 5模块二、 “牛吃草问题”的变形【例 5】 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果 10 人淘水，3 小时淘完；如 5 人淘水，8 小时淘完.如果要求 2 小时淘完，要安排多少人淘水？【解析】 设 1 人 1 小时淘出的水量是“1” ，淘水速度是 ，原有水量(5810)(2，(02)34要求2小时淘完，要安排 人淘水14【巩固】 一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果 3 人淘水 40 分钟可以淘完；6 人淘水 16 分钟可
12、以把水淘完，那么，5 人淘水几分钟可以把水淘完？【解析】 设 1 人 1 分钟淘出的水量是“1” ， 分钟的进水量为 ，所以每分钟40162406124的进水量为 ，那么原有水量为： 5 人淘水需要 (分钟)243408850把水淘完【例 6】 在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过 20 级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过 30 级台阶到达地面从站台到地面有 级台阶【解析】 本题非常类似于“牛吃草问题” ，如将题目改为：“在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过
13、20 秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过 15 秒到达地面问：从站台到地面有多少级台阶？”采用牛吃草问题的方法，电梯 秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：2015阶，电梯的速度为 阶/ 秒，扶梯长度为 （阶） 。2150220(1)6【巩固】 两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走 3 级梯级，女孩每秒可走 2 级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了 100 秒，女孩走了 300 秒。问：该扶梯共有多少级梯级？【解析】 本题与牛吃草问题类似，其中扶梯的梯级总数相当于原有草量；而自动扶梯运行的速度则相当于草的增长速度。并且上楼的速度要分成两部分一部分是孩子自己的速度
14、，另一部分是自动扶梯的速度。自动扶梯的速度 （女孩每秒走的梯级 女孩走的时间男孩每秒走的梯级 男孩走的时间）（女孩走的时间男孩走的时间） ，自动扶梯的梯级总数(2301)(301).5女孩每秒走的梯级女孩走的时间自动扶梯的速度女孩走的时间（级）所以自动扶梯共有 150 级的梯级。2301.560451【例 7】 一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，则 分钟能把水池的水排完，如果同时打开进水阀及两个排水阀，则 分钟把水池的水10排完问：关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要多少分钟才能排完水池的水？【解析】 设一个排水阀 1 分钟排水量为“1”
15、，那么进水阀 1 分钟进水量为 ，3230.5水池原有水量为 关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要 (分钟)0.53 5才能排完水池的水【巩固】 一个蓄水池有 1 个进水口和 15 个出水口，水从进水口匀速流入当池中有一半的水时，如果打开 9 个出水口，9 小时可以把水排空如果打开 7 个出水口，18 小时可以把水排空如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过 时 分水池刚好被排空【解析】 本题是牛吃草问题的变形设每个出水口每小时的出水量为 1，则进水口每小时的进水量为： ，(7189)()5半池水的量为： ，所以一池水的量为 72(95)36如果打开全部 15 个出水口，排空水池所需要的
16、时间为 小时，即 7 小时 12 分725).2钟课后练习：1、仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，如果每天用 4 辆汽车，则 9 天恰好运完；如果每天用 5 辆汽车，则 6 天恰好运完。仓库里原有的存货若用 1 辆汽车运则需要多少天运完？【解析】 设 辆汽车 天运货为“ ”，进货速度为 ，原有存货为 ，11(94)(92(42)98仓库里原有的存货若用 1 辆汽车运则需要 （天）182、一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草 16 头牛可吃 15 天，或者可供 100 只羊吃 6 天，而 4 只羊的吃草量相当于 l 头牛的吃草量，那么
17、8 头牛与 48 只羊一起吃，可以吃多少天?【解析】 设头牛天的吃草量为“” ，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析16 头牛 15 天 1615240：原有草量 15 天生长的草量100 只羊（25 头牛） 6 天 256150： 原有草量6 天生长的草量从上易发现：1 天生长的草量10；那么原有草量：15010690；8 头牛与 48 只羊相当于 20 头牛的吃草量，其中 10 头牛去吃新生草，那么剩下的 10 头牛吃原有草，90 只需 9 天，所以 8 头牛与 48 只羊一起吃，可以吃 9 天。3、一水库原有存水量一定，河水每天匀速入库。5 台抽水机连续 20 天抽干，6 台同样的抽水
18、机连续 15天可抽干，若要 6 天抽干，要多少台同样的抽水机？【解析】 设 台抽水机 天的抽水量为“ ”则进水速度为 ，原有水量为11(2051)(2015)，若要 6 天抽干，要 台同样的抽水机205064、某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派 250 个工人砌砖墙，6 天可以把砖用完，如果派 160 个工人，10 天可以把砖用完，现在派 120 名工人砌了 10 天后，又增加 5 名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？【解析】 开工前运进的砖相当于“原有草量” ，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草” ，工人砌砖相当于“牛在吃草” 所以设 1 名工人 1
19、天砌砖数量为“1” ，那么每天运来的砖为，原有砖的数量为： 16025602525061350如果 120 名工人砌 10 天，将会砌掉 10 天新运来的砖以及 950 原有的砖，还剩的原有的砖未用，变成 人来砌砖，还需要： (天)394042545、一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库.5 台抽水机连续 20 天可抽干；6 台同样的抽水机连续 15天可抽干.若要求 6 天抽干，需要多少台同样的抽水机？【解析】 水库原有的水与 20 天流入的水可供多少台抽水机抽 1 天？ (台).2051水库原有的水与 15 天流入的水可供多少台抽水机抽 1 天？ (台).9每天流入的水可供多少台抽水机抽
20、1 天？(台).(109)(215原有的水可供多少台抽水机抽 1 天？(台).60若 6 天抽完，共需抽水机多少台？(台).021设立几个检票口(个)56、自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒向上走 1 梯级，女孩每 3 秒钟走 2 梯级。结果男孩用 50 秒到达楼上，女孩用 60 秒到达楼上。该楼梯共有多少级？【解析】 该题属于草匀速减少的情况，扶梯的运行速度： 。自动扶梯的梯(501632)(05)1级总数： (级)50(107、食品厂开工前运进一批面粉，开工后每天运进相同数量的面粉，如果派 5 个工人加工食品 30 天可以把面粉用完，如果派 4 个工人，40 天可以把面粉用完，现在派 4 名工人加工了 30 天后，又增加了 2 名工人一起干，还需要几天加工完？【分析】 开工前运进的面粉相当于“原有草量” ，开工后每天运进相同的面粉相当于“新生长的草” ，工人加工食品相当于“牛在吃草” 设 1 名工人 1 天用掉面粉的量为“1” ，那么每天运来的面粉量为 ，4053401原有面粉量为： 如果 4 名工人干 30 天，那么将会加工掉 30 天新运来的面粉53012量以及 90 原有的面粉量，原有还剩 未加工，而后变成 6 名工人，还需要093(天)可以加工完306
