1、1因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如
2、：（1）平方差公式：(a+b)(a-b) = a 2-b2 (2) 完全平方公式：(ab) 2 = a22ab+b2 (3) 立方和公式：a 3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) (4) 立方差公式：a 3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) （5）完全立方公式：(ab)a 3ab3ab b下面再补充两个常用的公式：(6)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(7)a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式： bnma分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式
3、可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式= )()(= 每组之间还有公因式！ nb= anm例 2、分解因式： xyx5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解：原式= 原式=)()(bay )510()2(byabxa= =52x 2= =5x练习：分解因式 1、 2、bca2 1yx（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式： ayx2分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因
4、式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 例 4、分解因式： 22cba解：原式= 解：原式=)()(2ayxyx )(= = 2= = (cba2练习：分解因式 3、 4、yx3922 yzx22综合练习：（1） （2）323yx baxbax2（3） （4）186922 ayx aba491262（5） （6）9234a ybxyax224（7） （8）22yzxy 122aba（9） （10）)1()2(my )2()(abca四、十字相乘法.（一）二次项系数为 1 的二次三项式直接利用公式 进行分解。)()(2 qxpqxpx3特点：（1）二次项系数是 1；（2）常数项是两个数的乘
5、积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知 0 5，且 为整数，若 能用十字相乘法分解因式，求符合条件的 .a23xa a解析：凡是能十字相乘的二次三项 式 ax2+bx+c，都要求 0 而且是一个完全平方数。24bac于是 为完全平方数，981例 5、分解因式： 652x分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5。由于 6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有 23 的分解适合，即 2+3=5。 62x1 2解： = 1 3 52x32)(2x= 12+13=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且
6、这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例 6、分解因式： 672x 672x解：原式= 1 -1 )6(1)(1= 1 -6 )(（-1） +（-6）= -7练习 5、分解因式(1) (2) (3)2412x 3652a 542x练习 6、分解因式(1) (2) (3)2x 152y 24102x（二）二次项系数不为 1 的二次三项式 cbxa2条件：（1） 2a11（2） 1c22（3） 12b11分解结果： =x2 )(21cxa例 7、分解因式： 03分析： 1 -23 -5 （-6）+（-5）= -11解： =2x)53(2x练习 7、分解因式：（1） （2）672732x4（3） （
7、4）31702x1062y（三）二次项系数为 1 的齐次多项式例 8、分解因式： 228ba分析：将 看成常数，把原多项式看成关于 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。ba1 8b1 -16b 8b+(-16b)= -8b解： =228ba)16(8)16(bb= (a练习 8、分解因式(1) (2) (3)223yx2nm2a（四）二次项系数不为 1 的齐次多项式例 9、 例 10、2267yx 232xy1 -2y 把 看作一个整体 1 -1 xy2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=)3)(yx )(xy练习 9、分解
8、因式：（1） （2）22475yx862a综合练习 10、 （1） （2）17836x 22151yx（3） （4）10)(3)(2yx 34)(2ba（5） （6）2265xyx 263422 nmnm5（7） （8）34242 yxxy 222 )(10)(3)(5baab（9） （10）1036422yxyx 222 )()(1)( yxxyx五、换元法。例 13、分解因式（1） 205)1205(xx（2） 63)1(解：（1）设 2005= ，则原式=aaa(= )= 2051205x（2）型如 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。ebcd原式= 2)6)(7(xx设 ，
9、则Ax65A72原式= = 2= =2)()(练习 13、分解因式（1） （2） )(42yxyx 90)384)(23(2 xx六、添项、拆项、配方法。例 15、分解因式（1） 432x解法 1拆项。 解法 2添项。原式= 原式=32x 432xx= = )1()1)( )()(= = =3 11=42 )2= =)(x (x练习 15、分解因式（2） （3） 4）424)1()()1(xx 1724x4a6第二部分：习题大全经典一：一、填空题1. 把一个多项式化成几个整式的_的形式，叫做把这个多项式分解因式。2 分解因式： m 3-4m= .3.分解因式： x 2-4y2= _ _.4、分
10、解因式： =_ _。4x5.将 xn-yn 分解因式的结果为(x 2+y2)(x+y)(x-y)，则 n 的值为 . 6、若 ，则 =_， =_。5,6yyx2xy二、选择题7、多项式 的公因式是( )322310mnnA、 B、 C、 D、555m25n8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )A、 B、239aa2ababC、 D、245452 332m10.下列多项式能分解因式的是（ ）(A)x2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2 (D)x2-4x+411把（xy） 2（yx）分解因式为（ ）A （xy） （xy1） B （yx） （xy1）C （yx） （yx1） D
11、（yx） （yx1）12下列各个分解因式中正确的是（ ）A10ab 2c6ac 22ac2ac（5b 23c）B （ab） 2（ba） 2（ab） 2（ab1）Cx（bca）y（abc）abc（bca） （xy1）D （a2b） （3ab）5（2ba） 2（a2b） （11b2a）13.若 k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么 k 应为（ ）A.2 B.4 C.2y2 D.4y2三、把下列各式分解因式：14、 15、 294nmnxy16、 17、 m32ab718、 19、 22)(16)(9nm； 2416xx五、解答题20、如图，在一块边长 =6.67cm 的正方形纸片中，挖去一个
12、边长 =3.33cm 的正方形。求纸片剩余部分a b的面积。21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径 ，外径 长 。45dcm75Dc，3lm利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？( 取 3.14，结果保留 2 位有效数字)22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。 2428416842() 1(3) 1(5) _xxxxx1.分解因式(1+y)-2x(1+y)+x 4(1-y)2.证明：对于任何数 x,y，下式的值都不会为 33x5+3x4y-5x3y2+4xy4+12y5ldD8因式分解小结7. 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用
13、一“提” 、二“公” 、三“分” 、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；1. 通过基本思路达到分解多项式的目的例 1. 分解因式分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把 分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把 ， ， 分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式解二：原式=2. 通过变形达到分解的目的例 1
14、. 分解因式解一：将 拆成 ，则有解二：将常数 拆成 ，则有 93. 在证明题中的应用例：求证：多项式 的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。证明：设 ，则4. 因式分解中的转化思想例：分解因式： 分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察 a+b，b+c 与 a+2b+c 的关系，努力寻找一种代换的方法。解：设 a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。中考点拨1、在 中，三边 a,b,c 满足 求证：2、 若 x 为任意整数，求证：
15、 的值不大于 100。3、 将10试卷（因式分解）一、填空：（30 分）1、若 是完全平方式，则 的值等于_。16)3(2xmx m2、 则 =_ =_3、 与 的公因式是2nn23yx614、若 = ，则 m=_，n=_。nmyx)(422yx5、在多项式 中，可以用平方差公式分解因式的2351有_ ，其结果是 _。6、若 是完全平方式，则 m=_。7、6)3(2xmx _)(2(_)2 xxx8、已知 则,012504x ._206x9、若 是完全平方式 M=_。)(62Mba10、 ， 22)3(_xx2)3(9_x11、若 是完全平方式，则 k=_。14、若 则 _。229yk 6,42yxx12、若 的值为 0，则 的值是_。42x5123x13、若 则 =_。15、方程 ，的解是_。)(152xaa042x二、选择题：（10 分）1、多项式 的公因式是（ ）)()(xbbxA、a、 B、 C、 D、aa)(ax2、若 ，则 m，k 的值分别是（ ）22)3(9xkmxA、m= 2， k=6，B、m=2，k=12，C、m=4，k=12、D m=4，k=12、3、下列名式： 中能用平方差公42222 ,)(, yxxyxy 式分解因式的有（ ）
