1、1高级微观经济理论第 15-16 章习题解：本题目是在已知两个消费者效用函数和禀赋的条件下求提供曲线的问题。根据题设已知两个消费者的效用函数为：，aXU12211),( bXU1221),(各自相应的初始禀赋为，）（ 21,w）（ 2,题目要求均衡的价格比率，为此先求出两个消费者的提供曲线。提供曲线是在价格变化时单个消费者效用最大化点的轨迹，为此我们建立如下最大化问题拉格朗日方程，先考虑第一个消费者：MAX aXU12211),(St wPXP求解此最大化问题得： 1211/)(a22)所以第一个消费者的提供曲线就表示为 ），（ 2111211 /)(/)() PwaPwaPOC同理，第二个消
2、费者的提供曲线可以表示为： ），（ 2121212 /)(/)() bb为了求得均衡时的价格，还需利用均衡时两种商品是出清的特点，以商品 2 为例，商品 2 的总需求为： 212211 /)(/)( PwbPwa商品 2 的总供给为：+22由总供给等于总需求可得均衡时的价格比率为： 1212*21 )()(/ wbaP将此均衡价格比率带入到提供曲线中即可得在此均衡价格下的均衡配置， )()(,)() 121212121211 wbabawbbwPOC ), 121212112212a最后看以上几项怎样随着 的变化而变化： 0/)(1*1wPOC）（ /1*21）（ 0）（ /1*2wP）（12
3、32121(,)(),7uxx(,0)w1322211, ,121212xp我们可以令 =1，于是，这个式子可以写为2p121xp3下面就是求 之间的关系， 之间的关系12x与 12x与Max (,)us.t 121p令 则1()Fx120x12upx,所以，121=uxp由题意有,其中，A 是相同的部分312121()7ux求出 31xp再带入 2得到1134121377xpxp4同样地，我们可以求出 之间的关系21x，Max 21(,)uxs.t 2p令 则21()F120x我们有212upx212uxp其中，B 是相同的部分3112()7uxx32117xp（ ） （ ）,再由 ，得到3
4、22212x121312377xpxp我们知道 12于是，13311+7pp令 ,我们得到 ,得到13x33+127xx()34()0xx5所以， 431xx或 或11627pp或 或 122246或 或当两种商品的价格都为正时，两个消费者的提供曲线是；2,:pbpbpbOCxRx。在12的情况下没有内点解，不会发生交易。30,0,pbpb在 的情况下，根据 Walras 定律，有：,2pbpb，30x 20pbbbxp当 时， ， 。在均衡配0pb且 0pxx置下， 需要20 1/2，否则 会取 ，即 会选择全部消 12,pbuMin12bu费自己已持有的商品 b，不会与 进行交换；当 时，
5、 ， 。在均衡配0pb 且 3030ppxx0ppx置下， 需要 ，否则 会取 ，即 会选择全部消x,buinu6费自己已持有的商品 p，不会与 进行交换；当两种商品的其中一种的价格为零，提供曲线是： 12,0:0, .,2: ,000.pppbpbbpp pbpbbxifOCifx 且 且 且 且 所有的均衡点在埃奇沃斯盒的边界上，均衡价格比是 ，均衡配置是0pb。 （ ，均衡点都在1230,0:30pppxx 123x横轴涂黑实线上。 ）在 的情况下，根据 Walras 定律，有内点解5,0,20pbpb（解方程组 xb=xp, xb=-(xp-5)2+20961961961,5,2 而得
6、）在当两种商品的其中一种价格为零的情况下， 5 52020 =20pbpp ppbbb bx xxx ，边角均衡的价格比是 ，内点均衡配置是pb5,0,2:520bbxx当 从 30 降到 5 后， 的效用水平增加， 的效用水平p7降低，不论均衡点在内部还是在边角上，这是因为当 时，商品 p 相对30p于商品 b 来说太充足，其均衡价格为 0，商品 b 是交换经济中至关重要的禀赋。当 时，商品 p 足够稀缺以至于其产生了正的价格， 对两种商品的消费5p也就有了正数量。商品 b 的价格可以降到 0，在这种情况下他会消费经济中所有的禀赋。由于生产函数为 ，且劳动总禀赋 ,12()fz1L代入效用函
7、数 可得：112,lnuxx122(,)l()uzzz求一阶导数可得： ，所以0113z假定产出价格 ，由利润最大化条件可得：pmax()fzw12z求一阶导数可得： ，从而代入 得，013z12/w所以均衡利润12/(3)A同时可知，均衡消费为 /,)证明：可以加强斯托珀萨缪尔森定理的结论，即证明密集要素价格上升的比例要大于产品价格上升的比例。证明：由命题 15.D.1 可知8设 w=（w 1,w2）为要素价格向量cj（w）代表生产单位产品 j 的最小成本aj（w）=（a 1j（w） ，a 2j（w） ）代表这一最小成本达到时的投入组合。给定不变规模报酬的假设， （w 1*，w 2*）成为内
8、点均衡中的要素价格的必要条件是c1（w 1，w 2）=p 1 （1）c2（w 1，w 2）=p 2 （2） 又由谢波德引理可知12()(),()jjjcaw所以将（1） 、 （2）式全微分可得写成矩阵形式为又设产品 1 的生产比产品 2 相对更多地密集了要素 1，所以有1122()()aw可知假设 p1 上升而 p2 保持不变，那么可知 dp2=0，dp10所以*121*122()/()dwaAdppaw最后可证9证毕。（1）根据分散决策 15.D.1 和 15.D.2*f()Pjllljlzw根据利润最大化条件有 1/21/21121 12()Pfwzzwz110z22111/21/22 2()()Pfwzzwz21120z210根据上述式子可得： 2121zw另由于 ，121+=22z从而 ，*2144,55zz*12125,wz（2）社会计划者决策(,.)0Max()sijjjjPfzt建立拉格朗日函数 1211221(-)+(-)PfL=zz110z22111212L0z221L-0z21可得 211z*222144,55zzz又 1122L,w=
