第一讲-琴生不等式、幂平均不等式(共9页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上高二数学竞赛班二试讲义 第一讲 琴生不等式、幂平均不等式 班级 姓名 一、知识要点：1琴生不等式凸函数的定义：设连续函数的定义域为，对于区间内任意两点，都有，则称为上的下凸（凸）函数；反之，若有，则称为上的上凸（凹）函数。琴生(Jensen)不等式（1905年提出）：若为上的下凸（凸）函数，则 （想象边形的重心在图象的上方，个点重合时“边形”的重心在图象上） 琴生(Jensen)不等式证明： 1）时，由下凸（凸）函数性质知结论成立； 2）假设时命题成立，即 那么当时，设，所以所以，得证2加权平均琴生(Jensen)不等式： 若为上的下凸（凸）函数， 且， 则3曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数， （1）如果对任意xI,，则曲线y=f(x)在I内是下凸的； （2）如果对任意xI,，则y=f(x)在I内是上凸的。4幂平均不等式： 若，且，则